綜合多種特征的后方交會法

付仲良,周 凡,俞志強

1．武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院,湖北武漢 430079;2．浙江省地理信息中心,浙江杭州 310012

綜合多種特征的后方交會法

付仲良1,周 凡1,俞志強2

1．武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院,湖北武漢 430079;2．浙江省地理信息中心,浙江杭州 310012

為了解決攝影測量、計算機視覺領(lǐng)域中缺乏明顯特征點給后方交會帶來的難題,基于廣義點攝影測量理論,提出利用水平線、垂直線、線段與水平圓的綜合多種特征的后方交會法,論述該方法的數(shù)學(xué)模型及適用范圍。模擬數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的試驗結(jié)果表明,該方法切實可行,能夠較大程度上減少傳統(tǒng)后方交會法對特征點的依賴,多余觀測量的引入也能夠在一定程度上提高計算結(jié)果的精度與穩(wěn)定性。

后方交會;廣義點理論;多種特征;直線;圓曲線

1 引 言

后方交會是攝影測量、計算機視覺等相關(guān)領(lǐng)域的一個基礎(chǔ)性問題,它是通過一定的物方控制點及其在影像上對應(yīng)像點的坐標(biāo)反算出相機的位置與姿態(tài)(也稱為相機的外方位元素)。它的解法有多種,如共線條件方程法[1-2]、角錐體法[3-4]、直接線性變換法[5-6]以及四元數(shù)法[7-10]。其中,共線方程法需要已知外方位元素的初始值,一般適用于垂直攝影;角錐體法也需要已知外方位線元素的初始值;直接線性變換法無須初始值,適合于非量測相機,能夠滿足中、低精度的測量任務(wù);四元數(shù)法是利用數(shù)學(xué)意義上的四元數(shù)來描述相機的旋轉(zhuǎn)矩陣,可以解決大傾角影像后方交會計算中初值不易選擇的問題。上述方法各有其獨自的優(yōu)點與適用范圍,主要是基于點來計算相機的外方位元素,但在相機成像的過程中,除了點之外,還存在著直線、曲線等幾何要素以及滅點、絕對二次曲線等概念要素。這些要素在投影變換中也蘊含了相機方位元素的相關(guān)信息,它們也可以用來求解相機的外方位元素。

廣義點攝影測量理論[11]擴展了共線方程的使用范圍,使其不再僅僅滿足空間點與像點之間嚴格的對應(yīng)關(guān)系,這非常適用于特征點較少但存在其他幾何特征情況下的相關(guān)問題求解?；谠摾碚摰南嚓P(guān)方法已經(jīng)在相對定向、絕對定向、三維重建等方面取得了較好的應(yīng)用。文獻[12—13]基于廣義點攝影測量理論提出了利用鉛垂線輔助的城區(qū)影像的絕對定向與空中三角測量;文獻[14—16]是借助于廣義點攝影測量理論在工業(yè)攝影測量方面的應(yīng)用;文獻[17—18]也基于廣義點攝影測量理論提出了綜合多種同名特征的航空影像相對定向方法。

本文在此基礎(chǔ)上提出了一種綜合多種特征的后方交會法,該方法將水平線、垂直線、線段與水平圓等多種特征都納入共線方程,構(gòu)成統(tǒng)一的平差解算模型,能夠較大程度上減少傳統(tǒng)后方交會法對特征點數(shù)量與分布的依賴,使基于共線方程的后方交會法具有更廣的適用范圍。在特征點數(shù)量一定的情況下,該方法由于引入了更多的觀測量,也能夠在一定程度上提高計算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性。

2 多種特征的后方交會

傳統(tǒng)攝影測量中的“點”指的是物理意義上的點,如圓點、端點、交叉點、拐點等,在現(xiàn)實世界中除了物理點外還存在著大量的線,如直線、曲線等,另外還有一些概念上的點或線,如滅點、絕對二次曲線等。將攝影測量中的一些特征歸結(jié)為“點”,代入共線方程,進行統(tǒng)一平差,即所謂的廣義點攝影測量。將盡可能多的數(shù)學(xué)特征歸結(jié)為“點”,既能夠在一定程度上提高計算結(jié)果的精度,也能夠減少對“物理”意義上對應(yīng)點的依賴。因此,基于該理論的方法非常適用于特征點相對較少、先驗知識比較缺乏的特殊環(huán)境。

攝影測量的基本理論公式為[1]

式中,(x,y)為像點坐標(biāo);(x0,y0)為像主點坐標(biāo); (X,Y,Z)表示物方點在地面測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo);(Xs,Ys,Zs)表示相機所在的位置;f為相機的焦距;[aibici](i＝1,2,3)表示旋轉(zhuǎn)矩陣,是影像外方位角元素φ、ω、κ的函數(shù)。另外,像點在像空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)(x,y,－f)與在地面測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)(U,V,W)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

本文主要分析了水平線、垂直線、線段與水平圓對相機外方位元素的幾何約束,為了簡化公式,影像點的坐標(biāo)主要使用的是像點在地面測量坐標(biāo)系中的(U,V,W)坐標(biāo)。因此,基于式(2)可以實現(xiàn)相機外方位元素、像點坐標(biāo)觀測值與中間變量(U,V,W)之間的轉(zhuǎn)換。

2．1 水平線

如圖1所示,若在地面P上存在水平線L,線上有M、N兩點,它在像平面P0的成像為l,線上有m、n兩點,其中M、m、N、n不要求互為對應(yīng)點。

圖1 基于水平線的幾何關(guān)系Fig．1 Geometric relationships based on horizon lines

假設(shè)地面P的高程值Z為0,則可以列出L在地面測量坐標(biāo)系中的直線方程為

式中,A、B、C為直線方程的系數(shù),將直線方程進行歸一化處理,即然后可以由地面P上的M、N兩點計算得出。設(shè)在地面測量坐標(biāo)系中m點的坐標(biāo)為(U1,V1,W1),n點的坐標(biāo)為(U2,V2,W2),可以列出l在地面測量坐標(biāo)系中的直線方程為

由于直線L與l的相交于c點,且c點也在地面P上,因此,c的Z值為0,再將式(4)代入式(3),并結(jié)合c點Z值為0的條件可以推導(dǎo)得出

式中的地面測量坐標(biāo)(U1,V1,W1)與(U2,V2, W2)可以由m點與n點像點坐標(biāo)觀測值代入式(2)求得,Fhorizon表示由水平線所提供的等量關(guān)系,以該等量關(guān)系可以對相機的外方位元素提供一個約束條件。

2．2 垂直線

根據(jù)計算機視覺與攝影測量的滅點理論,物方空間的一組平行線在影像平面上的中心投影應(yīng)當(dāng)嚴格的相交于一點[5],即所謂的滅點。而垂直線是一組特殊的平行線,它在影像平面上的滅點既是投影垂直線的交會點,也是通過投影中心的垂直線與像平面的交點,稱為像底點。如圖2所示,設(shè)地面上存在垂直線L1與L2,在像平面上的成像為l1與l2,交點為d,那么d點即為像底點,對應(yīng)于過投影中心的垂直線上的無窮遠點(Xd, Yd,Zd),因此,Xd＝Xs,Yd＝Y(jié)s,Zd＝∞,代入式(1)可以求得像底點的像平面坐標(biāo)為式中,像底點(xd,yd)可以用兩條或多條垂直線的投影直線相交求得,以該等量關(guān)系可以對相機的內(nèi)方位元素中的f與外方位角元素提供兩個約束條件

圖2 基于垂直線的幾何關(guān)系Fig．2 Geometric relationships based on vertical lines

2．3 線 段

若視場中存在可以量測間距的線段,則由此可以計算出該線段方向上的滅點。如圖3所示,像平面上有直線l,線上存在端點a、b、c,間距比為d(a,b):d(b,c)＝d1:d2。以a為端點作另外一條直線L,設(shè)L上有端點A、B、C,其中A點與a點重合,其他幾點的間距比為d(A,B):d(B, C)＝d3:d4,再連接Cc與Bb的延長線交于O點,可以認為直線l是直線L的一維投影所成的像[4],O點為投影中心,a、b、c是A、B、C 3點一維投影所成的像。則可以列出上述6個點的一維齊次坐標(biāo)與轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中,H2×2為一維投影變換矩陣,自由度為3,由上述3組對應(yīng)點可以計算得出該變換矩陣。則L上的無窮遠點[1 0]T乘以H2×2,就可以算出l上滅點v的坐標(biāo)。

圖3 由線段計算滅點[4]Fig．3 Calculate vanishing point from line segment[4]

再假設(shè)該直線l所對應(yīng)的物方直線的方向即為地面測量坐標(biāo)系中的X軸方向,將式(1)中兩個等式的右端分子分母均除以X,并令X趨于無窮遠,可以獲得平行于X軸直線方向上對應(yīng)滅點v的方程為

因此,一條已知間距的線段可以對相機內(nèi)方位元素f與外方位角元素提供兩個約束條件

同理,若l所對應(yīng)的物方直線的方向為地面測量坐標(biāo)系中的Y軸或Z軸的方向,則可以獲得約束條件式(12)或式(13)

2．4 水平圓

如圖4所示,a、b、c、d分別為地面圓形上的任意4點A、B、C、D所對應(yīng)的像點,設(shè)A的坐標(biāo)為(Xa,Ya,Za),a點在地面測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(Ua,Va,Wa),由三點共線可得

再將式(15)、式(16)代入式(17),可以得到4個像點地面測量坐標(biāo)的關(guān)系方程,再結(jié)合式(2)轉(zhuǎn)換為像點坐標(biāo)與外方位元素的關(guān)系方程,能夠?qū)ν夥轿辉靥峁┮粋€約束條件。

圖4 基于水平圓的幾何關(guān)系Fig．4 Geometric relationships based on circle

2．5 聯(lián)合平差

傳統(tǒng)攝影測量中利用特征點求解相機外方位元素的線性化誤差方程式為式(18),再結(jié)合式(5)、式(7)、式(11)、式(17)可以列出水平線、垂直線、線段與水平圓的線性化誤差方程式為式(19)。其中,F0為外方位元素的近似值分別代入對應(yīng)式所計算的F值,d Xs、d Ys、d Zs、dφ、dω、dκ為外方位元素近似值的改正數(shù),聯(lián)合式(18)與式(19)可以列出統(tǒng)一的平差模型為式(20)

式(20)中的X為外方位元素近似值的改正數(shù); Vpoint、Vhorizon、Vvertical、Vsegment、Vcircular分別為特征點、水平線、垂直線、線段、水平圓的觀測值改正數(shù); Bpoint、Bhorizon、Bvertical、Bsegment、Bcircular為相應(yīng)的系數(shù)矩陣;Lpoint、Lhorizon、Lvertical、Lsegment、Lcircular為相應(yīng)觀測值的殘差項;Ppoint、Phorizon、Pvertical、Psegment、Pcircular為各個觀測值的權(quán)值,可以由觀測值的可靠性、穩(wěn)定度與多余觀測來決定[19]。具體的定權(quán)方法可以通過選權(quán)迭代的方式來實現(xiàn):將特征點、水平線、垂直線、線段、水平圓劃分為不同組的觀測值,設(shè)每組內(nèi)的觀測值具有相同的精度,觀測值互不相關(guān),則可按F?rstner提出的方法來計算各組觀測值的后驗方差[20]

式中,ri＝ni－pitr(AiQATi),是該組觀測值多余觀測數(shù)的分量。其中,Q為權(quán)系數(shù)矩陣;ni為該組的觀測值個數(shù);pi是該組觀測值的權(quán)值,迭代初始值設(shè)定為1,則下一步迭代中各組觀測值的權(quán)為

式中,v為迭代次數(shù);σ0為單位權(quán)均方差,計算方法為

式中,r是總的多余觀測數(shù)。

至此,就將常規(guī)意義上的特征點與水平線、垂直線、線段與水平圓納入了統(tǒng)一的平差模型中,構(gòu)建方程式的對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)不再局限于狹義上的點與點之間的對應(yīng)。另外,后方交會計算過程中共有6個未知數(shù),理論上講3個特征點就可以計算出外方位元素(為了保證數(shù)據(jù)的可靠性,一般多于3個特征點),加入多種特征后,相對于傳統(tǒng)的共線方程,水平線與水平圓可以提供1個約束條件,垂直線與線段可以提供兩個約束條件。

術(shù)后1年根據(jù)美國矯形足踝協(xié)會（AOFAS）踝-后足評分標(biāo)準(zhǔn)[2]進行足踝功能評估，優(yōu)：90～100分；良：80～89分；中：70～79分；差：70分以下。

3 試驗與討論

為了驗證該方法的正確性和實用性,特別是在特征點較少情況下對相機的定位效果,分別進行了模擬數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的對比試驗。

3．1 模擬數(shù)據(jù)

模擬試驗所采用的方法是先給出特征點的地面坐標(biāo)和外方位元素的模擬值,然后根據(jù)嚴格的共線方程生成模擬的像點坐標(biāo)數(shù)據(jù),在像點坐標(biāo)值中加入高斯噪聲以模擬像點的觀測值,再利用上述的方法來解算影像的外方位元素,以計算結(jié)果的均方差來檢驗方法的正確性與有效性。

模擬生成的影像包括6個特征點、4條水平線、4條垂直線、3條線段以及2個水平圓,在影像上均勻分布;模擬的影像數(shù)據(jù)分為3組,分別模擬近景影像、航空大傾角影像與航空小傾角影像,相關(guān)參數(shù)如表1所示。

在所有模擬的像點坐標(biāo)值中加入均值為0、均方差為兩個像素的高斯噪聲,進行對比試驗,結(jié)果如表2所示,表中的(pt．sp．cz．xd．yh)依次表示特征點、水平線、垂直線、線段與水平圓的個數(shù),計算結(jié)果均取小數(shù)點后6位。另外,為了保證多條線段的約束條件同時有效,模擬的3條線段是相互垂直的。

表1 模擬影像的參數(shù)值Tab．1 Simulation data for photo parameters

表2 模擬數(shù)據(jù)的解算結(jié)果Tab．2 Results for simulation data

續(xù)表2

從表2可以看出:在模擬的3種影像環(huán)境下,利用少量的特征點與水平線、垂直線、線段與水平圓進行綜合求解均可以獲得比較理想的結(jié)果,證明了綜合多種特征的后方交會法有比較廣泛的適用范圍。再比較各組數(shù)據(jù)在不同約束條件下的外方位元素計算結(jié)果的均方差可以看出:6個特征點聯(lián)合4個水平線、4個垂直線、3個線段與2個水平圓計算獲得的均方差最小,對噪聲的敏感性最低,這也說明了聯(lián)合更多的幾何特征與特征點進行求解,對噪聲的抑制能力更強。

另外,為了進一步分析在特征點逐漸減少情況下綜合多種特征后方交會法的效果,以上述模擬的近景試驗數(shù)據(jù)為例,作兩組對比試驗:使用6個特征點作為控制條件,進行傳統(tǒng)后方交會計算;使用6個特征點加上4條水平線、4條垂直線、3條線段以及2個水平圓作為控制條件,進行綜合多種特征的后方交會計算。逐漸減少兩組對比試驗中的特征點的個數(shù),以外方位元素結(jié)果值的均方差為評價依據(jù),結(jié)果如圖5所示,圖中的(Xs′,Ys′,Zs′,φ′,ω′,κ′)為僅使用特征點的后方交會法結(jié)果;(Xs,Ys,Zs,φ,ω,κ)為綜合多種特征的后方交會法結(jié)果。

圖5 減少特征點情況下兩種后方交會方法對比結(jié)果Fig．5 The results of two space resection method under the reducing control points

從圖5可以看出,綜合多種特征后方交會法相對于傳統(tǒng)后方交會法外方位元素計算結(jié)果的均方差更小,隨著特征點數(shù)量逐漸減少,前者均方差的增長幅度也更小一些。另外,當(dāng)特征點數(shù)量少于3個,傳統(tǒng)后方交會法無法進行計算時,綜合多種特征的后方交會法依然能夠求得比較合理的結(jié)果值。因此,綜合多種特征后方交會法能夠在一定程度上解決特征點不足時的后方交會難題。同時,引入多余的觀測量也能在一定程度上提高計算結(jié)果的精度與穩(wěn)定性。

3．2 真實數(shù)據(jù)

如圖6所示,試驗數(shù)據(jù)為同一場景的兩幅航空影像,影像大小為3000像素×4000像素,鏡頭焦距為105．2 mm,像素大小為0．009 mm。

在該場景中選取8個特征點,分別以全部的8個特征點(圖6中以“×”與“＋”表示)和其中的4個特征點(圖6中以“×”表示)為控制條件,使用傳統(tǒng)后方交會法計算兩幅影像的外方位元素。再以其中的4個特征點加上3條水平線、3條垂直線與4個水平圓為控制條件,使用綜合多種特征的后方交會法計算兩幅影像的外方位元素。為了評價3組試驗的結(jié)果,引入6個檢查點(圖6中以“Δ”表示)以檢驗物方實際測量點的精度,考慮到單張影像無法獲得物方點的三維坐標(biāo)值,所以采用該航向相鄰的兩張影像通過“后方交會＋前方交會”的計算方式得到6個檢查點的物方三維坐標(biāo)值,驗證結(jié)果如表3所示。另外,在表4中列出了綜合多種特征后方交會法中各組觀測值的權(quán)值。

圖6 基于多種特征的后方交會影像圖Fig．6 Space resection based on multiple features

表3 物方檢查點的驗證結(jié)果Tab．3 The validation results of object checkpoints

表4 各組觀測值的權(quán)值Tab．4 The weight of each observed values

從表3可以看出,傳統(tǒng)后方交會法在特征點為4個時,計算獲得的結(jié)果精度較低,檢查點的均方差和最大殘差都比較大,當(dāng)特征點為8個時,計算獲得的結(jié)果精度得到了明顯的提高。而綜合多種特征的后方交會法使用了4個特征點及3條水平線、3條垂直線與4個水平圓,檢驗結(jié)果與使用8個特征點的傳統(tǒng)后方交會法精度相當(dāng)。這說明了當(dāng)特征點比較少時,利用多種特征進行后方交會計算能夠在一定程度上提高計算結(jié)果的精度與穩(wěn)定性,減少對特征點的依賴。

從表4中可以看出:各組觀測值在運算中的權(quán)值是不同的,水平圓的權(quán)值最大,其次是水平線,特征點的權(quán)值較小,垂直線的權(quán)值最小。這主要是由于水平線與水平圓的等量方程式(式(5)與式(17))包含了多個地面控制點,且水平線與水平圓在像平面上的觀測值可以由多個特征點擬合而來,因此在平差運算中的殘差較小,權(quán)值較大。而垂直線雖然也可以通過多個特征點來進行擬合,但是該試驗數(shù)據(jù)是航空小傾角影像,圖6中樓房邊緣的垂直線幾何特征相對來說并不十分明顯。另外,基于垂直線的等量方程式(式(7))僅包含像底點的像平面坐標(biāo),不包含地面控制點。因此,垂直線的觀測值在平差運算中的殘差最大,權(quán)值最小。

在實際的運用中,近景影像的外方位線元素初始值可以由相機安裝的位置與高度嘗試進行估計判斷,外方位角元素中的φ、ω的初始值可由圖像中心點所對應(yīng)的地面點位置和相機位置的連線(即主光軸)估算得出,相機的云臺一般是水平安裝,所以κ的初始值可以設(shè)定為0°。航空影像的外方位線元素初始值可以由GPS等輔助手段獲得,角元素可以設(shè)定為0°或者由航線朝向估算得出。另外,如果影像上存在3個以上的特征點,也可以先使用其他類型的后方交會方法獲得影像外方位元素的初始值。

4 結(jié) 論

本文詳細論述了綜合多種特征的后方交會法,該方法可以將水平線、垂直線、線段與水平圓等都納入共線方程中進行聯(lián)合平差,通過模擬數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的后方交會對比試驗,驗證了該方法的有效性與實用性。它解決了特征點數(shù)不足時的后方交會問題,引入更多的觀測值也能夠保證后方交會計算結(jié)果的精度和可靠性,相對于傳統(tǒng)的方法具有更強的優(yōu)越性。但文中僅討論了水平線、垂直線、線段與水平圓4種特征,對于一般意義上的直線與圓并未涉及,另外,本文的方法是基于共線方程改進而來的,對選取合適的初始值存在著一定的依賴,上述問題有待進一步研究解決,以增強該方法的普適性。

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(責(zé)任編輯:陳品馨)

A Space Resection Synthesized the Multiple Features

FU Zhongliang1,ZHOU Fan1,YU Zhiqiang2
1．School of Remote Sensing and Information Engineering,Wuhan University,Wuhan 430079,China;2．Geographic Information Center of Zhejiang Province,Hangzhou 310012,China

In order to resolve the current problems of space resection caused by lacking of obvious feature points in applications of photogrammetry,computer vision field,a new method of space resection based on the generalized point photogrammetry theory was proposed,which uses horizontal and vertical line．At the same time,line segment and circle,the mathematics model of the method and its application range were discussed．Simulated and real experimental results show that the proposed approach is feasible in practice, and can greatly reduce the dependence of traditional resection method on feature points,and the introduction of the redundant observation value can also improve the accuracy and stability of the calculation results to a certain extent．

space resection;generalized point photogrammetry;multiple features;straight line; circular curves

FU Zhongliang(1965—),male,PhD,professor,PhD supervisor,majors in GIS,remote sensing image processing and analysis．

ZHOU Fan

P231

A

1001-1595(2014)08-0827-08

國家科技支撐計劃(2011BAK07B02)

2013-04-09

付仲良(1965—),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為GIS、圖像處理與分析。

E-mail:fuzhl＠263．net

周凡

E-mail:carter1zf1＠126．com

FU Zhongliang,ZHOU Fan,YU Zhiqiang．A Space Resection Synthesized the Multiple Features[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(8):827-834．(付仲良,周凡,俞志強．綜合多種特征的后方交會法[J]．測繪學(xué)報,2014,43(8):827-834．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0135

修回日期:2014-02-20