常見平面坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換的方法研究
——以1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、2000國家大地坐標(biāo)系之間的平面坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換為例

何 林，柳林濤，許超鈐，梁星輝

(1.貴州電力設(shè)計(jì)研究院，貴州貴陽 550002；2.中國科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所

大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430077；3.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢 430079)

常見平面坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換的方法研究
——以1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、2000國家大地坐標(biāo)系之間的平面坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換為例

何 林1，柳林濤2，許超鈐3，梁星輝2

(1.貴州電力設(shè)計(jì)研究院，貴州貴陽 550002；2.中國科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所

大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430077；3.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢 430079)

針對(duì)我國在國土測(cè)圖、城市規(guī)劃、工程設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域中1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系和2000國家大地坐標(biāo)系等多種平面坐標(biāo)系長期并存的現(xiàn)狀，根據(jù)坐標(biāo)系建立的原理提出一種適用于1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系和2000國家大地坐標(biāo)系等平面坐標(biāo)系之間進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型，在此基礎(chǔ)上討論常見的問題及其對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響。結(jié)果證明，該模型進(jìn)行平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)控制點(diǎn)內(nèi)符合精度優(yōu)于1 mm，可滿足常見的各種工程應(yīng)用需求；橢球參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響在x方向可達(dá)42.346 m，在y方向可達(dá)4.981 m，故須選擇正確的橢球；大地高對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響在微米級(jí)，故可以忽略該項(xiàng)誤差。

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換；1954北京坐標(biāo)系；1980西安坐標(biāo)系；2000國家大地坐標(biāo)系；平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

一、引 言

1954北京坐標(biāo)系(BJ54)是我國土地初步調(diào)查時(shí)使用的坐標(biāo)系，也是我國目前使用最為廣泛的坐標(biāo)系統(tǒng)，在我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)中發(fā)揮了重要作用，但是該坐標(biāo)系存在著諸多不足[1]，無法滿足現(xiàn)代化測(cè)量的需求，盡管如此，在BJ54下完成了大量的大地測(cè)量及基礎(chǔ)系列地圖繪制工作，有著巨大的價(jià)值。1980西安坐標(biāo)系(XA80)的橢球參數(shù)能同時(shí)反映橢球的幾何物理特性，橢球定位與我國大地水準(zhǔn)面擬合較好，定向明確，因而在測(cè)繪行政主管部門的推動(dòng)下正在逐步得到應(yīng)用推廣。

這兩個(gè)坐標(biāo)系從本質(zhì)上來說都屬于參心坐標(biāo)系，在測(cè)圖方面有著巨大優(yōu)勢(shì)，但隨著空間測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國防建設(shè)和科學(xué)研究等迫切需要采用原點(diǎn)位于地球質(zhì)量中心的坐標(biāo)系統(tǒng)作為國家大地坐標(biāo)系。陳俊勇[2-3]、魏子卿[4]等建議我國改用的2000國家大地坐標(biāo)系(CGCS2000)是全球地心坐標(biāo)系在我國的具體體現(xiàn)，可以滿足大地測(cè)量、航天科技、地學(xué)研究、陸?？諏?dǎo)航和武器應(yīng)用等多種科學(xué)目的和實(shí)際應(yīng)用的要求。該項(xiàng)提議已獲國務(wù)院批準(zhǔn)，規(guī)定自2008年7月1日啟用CGCS2000，并用8～10年的時(shí)間完成現(xiàn)行國家大地坐標(biāo)系向CGCS2000的過渡和轉(zhuǎn)換。

由此可見，BJ54、XA80和CGCS2000在一個(gè)較長的時(shí)期內(nèi)并存是當(dāng)前整個(gè)測(cè)繪國土領(lǐng)域必須面對(duì)的現(xiàn)實(shí)，因此各個(gè)坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換也就是一個(gè)常見的極有意義的研究課題。魏子卿[4]等討論了大地坐標(biāo)系更新對(duì)地形圖的影響，黨亞民[5]等研究了BJ54和XA80在圖件更新中的轉(zhuǎn)換方法，王海棟[6]等分析了大地坐標(biāo)系換代對(duì)海圖的影響，曾安敏[7]提出了基于擬合推估的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法，黎舒[8]等研究了XA80到CGCS2000坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法，并根據(jù)實(shí)際情況提出了多個(gè)轉(zhuǎn)換模型。以上研究都有一定的創(chuàng)新性，但目前還沒有建立一種適用于BJ54、XA80和CGCS2000平面坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換的高精度通用模型，本文基于坐標(biāo)系建立的基本原理，提出一種基于布爾莎七參數(shù)變換的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型：首先簡要介紹了BJ54、XA80和CGCS2000坐標(biāo)系；然后詳細(xì)闡述了該轉(zhuǎn)換模型的原理和步驟；最后和傳統(tǒng)四參數(shù)模型及二維七參數(shù)模型進(jìn)行了結(jié)果對(duì)比，并討論了橢球參數(shù)和大地高在該模型中對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響。

二、基于參數(shù)變換的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

該坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的基本思想為：采用不同的參考橢球和定位定向建立的坐標(biāo)系，均可以轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，不同的坐標(biāo)系之間的差異，實(shí)質(zhì)就是某些參數(shù)(平移尺寸、旋轉(zhuǎn)角度、伸縮系數(shù))的變化所造成，因此該轉(zhuǎn)換模型也可以叫作基于參數(shù)變換的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。接下來以BJ54向XA80轉(zhuǎn)換為例，詳細(xì)介紹該模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的原理和步驟。當(dāng)用戶獲取BJ54下的國家統(tǒng)一坐標(biāo)后，首先向高斯平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，經(jīng)高斯反算得到BJ54橢球下的大地坐標(biāo)；再將大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成空間直角坐標(biāo)，然后根據(jù)布爾莎模型和轉(zhuǎn)換參數(shù)將其轉(zhuǎn)換為XA80系下的空間直角坐標(biāo)，再將空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為XA80橢球的大地坐標(biāo)；最后經(jīng)高斯投影得到高斯平面坐標(biāo)，從而得到XA80下的國家統(tǒng)一坐標(biāo)。

1.國家統(tǒng)一坐標(biāo)向高斯平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

用戶獲得的坐標(biāo)一般為公共點(diǎn)在BJ54下的國家統(tǒng)一坐標(biāo)，故首先需將其轉(zhuǎn)換為高斯平面坐標(biāo)。高斯平面直角坐標(biāo)系以投影帶中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸x，以赤道的投影作為橫坐標(biāo)軸y，兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由此構(gòu)成高斯平面直角坐標(biāo)系。在每一個(gè)投影帶內(nèi)，y坐標(biāo)值都有正有負(fù)，這對(duì)于計(jì)算和使用都不方便，為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，我國規(guī)定在橫坐標(biāo)上加上500 km，此外還在橫坐標(biāo)前面冠以帶號(hào)來區(qū)分各帶坐標(biāo)，這就是國家統(tǒng)一坐標(biāo)[1]。故由國家統(tǒng)一坐標(biāo)獲取高斯平面坐標(biāo)時(shí)，x方向不變，y方向首先去掉帶號(hào)，再減去500 km。

2.高斯平面坐標(biāo)向大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

得到高斯平面坐標(biāo)后，可經(jīng)高斯投影反算獲取該點(diǎn)的大地坐標(biāo)。由高斯投影的性質(zhì)和投影反算的條件可推算出高斯坐標(biāo)反算公式，現(xiàn)直接給出公式如下

式中，e為橢球的第一偏心率；e為橢球的第二偏心率；tf＝tan B；η2＝e′2cos2B，B及l(fā)為弧度。當(dāng)l＜3.5°時(shí)，該公式的換算精度達(dá)到0.000 1″。此時(shí)是在BJ54下進(jìn)行高斯反算，故此處需采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)。式中，Bf表示底點(diǎn)緯度，即當(dāng)y＝0，x＝X時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的緯度，由子午線弧長反求出來。接下來給出由大地緯度B求子午線弧長X的公式，以從赤道開始到任意緯度B的平行圈之間的弧長X為例，則有

以上公式對(duì)XA80橢球、CGCS2000橢球都適用。

3.大地坐標(biāo)向空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

大地坐標(biāo)向空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)需要該點(diǎn)的大地高H，由于BJ54采用的為1956黃海高程基準(zhǔn)，故該點(diǎn)大地高可由1956黃海水準(zhǔn)高程加上該處高程異常即可。獲取該點(diǎn)的大地高之后，用下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換

上述方程中包括3個(gè)平移參數(shù)(X0，Y0，Z0)，3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)(εx，εy，εz)，1個(gè)尺度參數(shù)m。若已知這兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)，則可直接計(jì)算；若不知道轉(zhuǎn)換參數(shù)，則可根據(jù)兩坐標(biāo)系中公共點(diǎn)的坐標(biāo)，利用最小二乘原理求取轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后再進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。由于轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度直接關(guān)系到最終的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果，故推薦用嚴(yán)密平差法。當(dāng)利用3個(gè)以上公共點(diǎn)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，建議采用配置法[1]。

5.空間直角坐標(biāo)系向大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

已知某點(diǎn)空間直角坐標(biāo)(X，Y，Z)，計(jì)算可得其大地坐標(biāo)(B，L，H)。對(duì)于大地經(jīng)度L可選擇下式中的任一等式直接求解

6.大地坐標(biāo)系投影到高斯平面

按照高斯投影的性質(zhì)，則可推出高斯投影正算公式，推導(dǎo)過程略，現(xiàn)直接給出公式如下

式中，X為對(duì)應(yīng)緯度的子午線弧長，按式(2)進(jìn)行計(jì)算；其余各符號(hào)與式(1)定義相同。當(dāng)l＜3.5°時(shí)，該公式能夠精確到0.001 m。

7.高斯平面坐標(biāo)向國家統(tǒng)一坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

得到高斯平面坐標(biāo)之后，根據(jù)國家對(duì)統(tǒng)一坐標(biāo)的規(guī)定，將橫坐標(biāo)y加上500 km，并在其前面加上帶號(hào)即可得最終所需的XA80坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)。

其他的平面坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換，如XA80向BJ54，BJ54向CGCS2000，CGCS2000向BJ54，XA80向CGCS2000，CGCS2000向XA80等，原理與步驟和BJ54系向XA80系一致，只是在轉(zhuǎn)換的時(shí)候所選取的橢球不同。

8.轉(zhuǎn)換結(jié)果分析

根據(jù)以上算法編制相應(yīng)的軟件，并用某市的控制點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)(不考慮控制點(diǎn)坐標(biāo)精度的影響(見表1))，這里給出部分控制點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的結(jié)果與真值之間的差值。

表1 基于參數(shù)變化的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果比較分析mm

由以上數(shù)據(jù)可以看出，用該算法對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結(jié)果內(nèi)符合精度在x方向約0.9 mm，在y方向約1.0 mm，總體內(nèi)符合精度優(yōu)于1 mm，可滿足常見的各種工程需求。當(dāng)工程應(yīng)用要求更高精度時(shí)，本模型只需進(jìn)行適當(dāng)修改即可滿足要求，即在高斯投影正反算公式多保留幾項(xiàng)。

三、平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型比較

目前，在全國及省級(jí)范圍的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，一般選擇的二維七參數(shù)模型，其公式如下

式中，ΔB、ΔL分別為同一點(diǎn)位在兩個(gè)坐標(biāo)系下的緯度差、經(jīng)度差，單位為弧度；Δa、Δf分別為橢球長半軸差(單位m)、扁率差(無量綱)；ΔX、ΔY、ΔZ為平移參數(shù)，單位m；εx、εy、εz為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，單位為弧度；m為尺度參數(shù)(無量綱)。

省級(jí)以下的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換一般采用平面四參數(shù)模型。平面四參數(shù)模型定義如下：對(duì)于兩個(gè)不同的平面直角系xoy和x′o′y′，存在著4個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，即2個(gè)平移參數(shù)(Δx，Δy)，1個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)ε和1個(gè)尺度參數(shù)m，轉(zhuǎn)換公式為

以BJ54向XA80轉(zhuǎn)換為例，用某市的控制點(diǎn)對(duì)這3種算法進(jìn)行了比較，部分控制點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 常用平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型結(jié)果比較mm

試驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)典四參數(shù)模型的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換內(nèi)符合精度約4.5 mm，基于參數(shù)變化的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的內(nèi)符合精度約0.8 mm，二維七參數(shù)模型的內(nèi)符合精度約1.1 mm。當(dāng)對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度要求較低或控制范圍較小時(shí)，經(jīng)典四參數(shù)模型即可滿足要求；當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度要求更高或控制范圍更大時(shí)，則需要采用本文提出的基于參數(shù)變化的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型或二維七參數(shù)模型。經(jīng)分析，目前常用的二維七參數(shù)模型在本質(zhì)上與本模型一樣，轉(zhuǎn)換時(shí)均采用布爾莎模型，但本模型的物理意義更為明確，在實(shí)用中也更加方便，且大地緯度的解算采用迭代算法，較直接算法精度更高。

四、相關(guān)問題討論分析

這里對(duì)本算法在應(yīng)用中常見的錯(cuò)誤進(jìn)行了討論，并分析了其對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響。

1.橢球參數(shù)對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的影響分析

本文分析了在這3種坐標(biāo)系之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換的過程中橢球參數(shù)對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響，結(jié)果見表3。

由以上數(shù)據(jù)可以看出，在該模型進(jìn)行平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，當(dāng)某一步選錯(cuò)了橢球元素時(shí)，對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響主要表現(xiàn)在x方向上，誤差可達(dá)42.346 m，在y方向上誤差比x方向稍小，但也達(dá)4.981 m。不同的橢球，在同一轉(zhuǎn)換方向中影響是不同的，即使同一橢球，在不同的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中的影響也不同，由此可見，在該模型中橢球元素的選擇很重要。

表3 橢球參數(shù)對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響m

2.大地高對(duì)平面結(jié)果的影響

在大地坐標(biāo)向空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，涉及大地高，而大地高的獲取有時(shí)并不方便，為了在使用中更加方便，此處討論了不同的大地高對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響，并以某市為例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)說明(見表4)。

表4 大地高對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響m

從以上數(shù)據(jù)可用看出，設(shè)置不同的大地高，對(duì)轉(zhuǎn)換后的平面坐標(biāo)的影響在10-7～10-6m級(jí)，即微米級(jí)，而坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度一般在1 mm左右，這表明在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中高程對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響很小，在一般情況下可以忽略大地高的影響。在一般的工程應(yīng)用中，當(dāng)大地高無法獲取時(shí)，可考慮將其設(shè)為一常數(shù)。當(dāng)然，在高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，還需考慮大地高的影響。由以上數(shù)據(jù)可以看出，隨著大地高的增加，轉(zhuǎn)換后的平面坐標(biāo)的誤差也隨之增加，且y方向的影響一般大于x方向。

五、結(jié) 論

本文根據(jù)我國多種坐標(biāo)系統(tǒng)共存的現(xiàn)實(shí)，基于坐標(biāo)系建立的原理提出了一種基于參數(shù)變換的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，得到了以下結(jié)論：

1)該模型理論嚴(yán)密，使用方便，精度較高，能夠滿足大多數(shù)工程應(yīng)用的需要。相對(duì)于二維七參數(shù)模型，其轉(zhuǎn)換參數(shù)物理意義更加明確，且大地緯度解算采用迭代算法，精度更高；相對(duì)于經(jīng)典四參數(shù)模型，其適用范圍更廣，且解算精度更高。

2)橢球元素在該模型中影響較大，x方向上的誤差可達(dá)42.346 m，y方向上誤差相對(duì)較小，但也達(dá)4.981 m，不能忽略，故在使用該模型時(shí)須選擇正確的橢球。

3)在進(jìn)行平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中，大地高的影響較小，一般在微米級(jí)，而平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度一般在毫米級(jí)，因此可以忽略大地高對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響，故當(dāng)大地高獲取不方便時(shí)，可以考慮將其設(shè)為一常數(shù)。

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Study on Common Plane Coordinate System Conversion—Plane Coordinate Conversion between BJ54，XA80 and CGCS2000

HE Lin，LIU Lintao，XU Chaoqian，LIANG Xinghui

P226

B

0494-0911(2014)09-0006-06

2013-08-01

國家自然科學(xué)基金(41021003)；大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(SKLGED2013-4-3-E)

何 林(1989—)，男，湖南常德人，碩士，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量。引文格式:何林，柳林濤，許超鈐，等.常見平面坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換的方法研究——以1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、2000國家大地坐標(biāo)系之間的平面坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換為例[J].測(cè)繪通報(bào)，2014(9)：6-11.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014.0281