麥克斯韋速率分布函數(shù)的教學(xué)探討

曹劍英 葛俊峰 彭先華

(集寧師范學(xué)院物理系 內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000) (揚(yáng)州高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 江蘇 揚(yáng)州 225000)

麥克斯韋氣體分子速率分布律是普通物理學(xué)熱學(xué)部分中一個(gè)講授和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，然而現(xiàn)行教材中都是直接就給出結(jié)果，沒有任何推導(dǎo)過程，對(duì)大多初學(xué)者來說是充滿好奇而又不能夠自然地接受.通過運(yùn)用統(tǒng)計(jì)規(guī)律作出詳細(xì)地理論推導(dǎo)，為廣大師生作教學(xué)參考.

在1859年麥克斯韋用概率統(tǒng)計(jì)的理論建立了一個(gè)分子速率分布函數(shù)的形式,也稱速率分布律

其中k為玻爾茲曼常量，m和T分別為氣體分子量和溫度.

1 分子速率分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)定

由于分子速率分布律是從概率理論推導(dǎo)出來的，人們自然很關(guān)心它的實(shí)際可靠性，試圖通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證.

因受技術(shù)條件的限制，氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)，直到20世紀(jì)20年代才得以實(shí)現(xiàn).圖1是實(shí)驗(yàn)所用裝置.

圖1 測(cè)定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置

或

上式表明，彎曲板上不同弧長(zhǎng)l處沉積的分子具有不同的速率.測(cè)量沉積的分子層厚度，即可求得分子束中各種速率v附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，從而得出分子速率的分布律[1].

2 麥克斯韋速率分布函數(shù)

設(shè)容器內(nèi)有一定量的處于熱平衡態(tài)的氣體，氣體分子總數(shù)為N，分子速度在三維空間的分量為vx，vy，vz.在速率區(qū)間vx～vx+dvx，vy～vy+dvy，vz～vz+dvz內(nèi)分子數(shù)dN與總分子數(shù)N和速率體積元dvxdvydvz的乘積成正比，即

dN=NF(v2)dvxdvydvz

上式表示單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，對(duì)某一給定的速率，分子在各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率是相等的.各速率分量相互獨(dú)立，因此

令

F(v2)=f(vx)f(vy)f(vz)

(1)

假設(shè)

積分后得

令常量A1=A2=A3=A，代入式(1)得

若考慮到無限大速率分子出現(xiàn)的概率極小，λ必為負(fù)值，令λ=-α2，由速率分布具有歸一化條件得

將

代入上式得

于是

(2)

在溫度為T時(shí)，由能量均分定理，單原子分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為

由

(3)

若單原子氣體分子速率分布函數(shù)，用球坐標(biāo)描述方程，dvxdvydvz→v2dvdΩ(其中dΩ為立體角).所以氣體分子速率在v～v+dv區(qū)間的分布可表示為

(4)

將式(3)代入式(5)即可得出麥克斯韋速率分布律

圖2 麥克斯韋速率分布曲線

3 從速率分布函數(shù)f(v)推算分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值

在分子動(dòng)理論中，常用到以下三種速率.

3.1 最概然速率(最可幾速率)vp

因

所以

3.2 平均速率

對(duì)于連續(xù)分布，上式有

將b值代入

3.3 方均根速率

及

將麥克斯韋速率分布函數(shù)f(v)代入，可得理想氣體分子的方均根速率為

壓強(qiáng)公式推導(dǎo)出結(jié)果是一樣的[2].

4 總結(jié)

麥克斯韋速率分布律是一條很重要的物理定律，在內(nèi)容和方法上都與以往有較大的不同，是學(xué)生從學(xué)習(xí)力學(xué)、熱學(xué)以來所遇到的一種嶄新的研究方法，初學(xué)者既感到新鮮，又感到繁難.此知識(shí)點(diǎn)采用什么方法講授是廣大同行關(guān)注的問題.

筆者應(yīng)用統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)麥克斯韋速率分布函數(shù)進(jìn)行合理、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，對(duì)課堂上沒有充足時(shí)間推導(dǎo)的教師們給出一些參考，同時(shí)也對(duì)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中起到了橋梁的作用.

參考文獻(xiàn)

1 趙近芳.大學(xué)物理簡(jiǎn)明教程.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2008

2 陳秉巖，等.麥克斯韋速率分布律的推導(dǎo)方式探討.河海大學(xué)常州分校學(xué)報(bào)，2006(6):15～21

3 程守洙.普通物理學(xué)(第五版).北京：高等教育出版社，2006