從一道習題看電磁感應中變加速直線運動的數(shù)據(jù)制約關系

黎國勝

(成都雙流中學 四川 成都 610200)

近年來，由于新課改的普遍推行，很多學生不選《物理·選修3-5》，就意味著力學最難的“動量”部分不再進入這部分學生的注意力中．相應的高考試卷難度就下降了很多，因此“電磁感應”部分的難度就有上升的可能．因為“電磁感應”涉及的知識點多、面廣，受力分析、運動與力的關系、牛頓定律、能量轉化、電路計算等都可能涉及．很多“電磁感應”試題都涉及到變加速運動，能很好地考查學生的綜合能力，這類試題倍受命題者的青睞．但是這類試題由于合外力在變，導致加速度在變，速度也在變，這個過程中各種能量參與轉化，命題者給出的數(shù)據(jù)很容易出現(xiàn)科學性錯誤．合外力、加速度、速度、位移等數(shù)據(jù)相互制約，不能隨意給出，否則容易出現(xiàn)科學性錯誤．本文以一道熱門試題為例試圖探討這些數(shù)據(jù)間的制約關系．

題目：光滑平行的金屬導軌MN和PQ，間距為L=1.0 m，與水平面之間的夾角α=30°，勻強磁場磁感應強度B=2.0 T垂直于導軌平面向上，MP間連接有R=2.0 Ω的電阻，其他電阻不計，質量m=2.0 kg的金屬桿ab垂直導軌放置，如圖1(a)所示．用恒力F沿導軌平面向上拉金屬桿ab，使金屬桿由靜止開始運動，其v-t圖像如圖1(b)所示．g=10 m/s2，導軌足夠長．求：

(1)金屬桿的最大速度的大小；

(2)恒力F的大?。?/p>

(3)金屬桿速度為2.0 m/s時的加速度大?。?/p>

(4)根據(jù)v-t圖像估算在前1 s內電阻上產生的熱量．

圖1

這是一道典型的“電磁感應”綜合題，涉及受力分析、力的平衡、電路計算、牛頓第二定律、能量轉化與功能關系、物理圖像，綜合性非常強．請看編者給出的參考解答.

參考解答:

(1)由圖1(b)知，桿運動的最大速度為

vm=4 m/s

(2)桿運動到最大速度時，所受合外力等于零，受力分析如圖2所示.

圖2

有

F=mgsinα+F安

又因

代入數(shù)據(jù)得

F=18 N

(3)由牛頓第二定律可得

F-F安-mgsinα=ma

又因

代入數(shù)據(jù)得

a=2.0 m/s2

(4)由圖1(b)可知1 s末金屬桿的速度

v1=2.6 m/s

前1 s內圖線與t軸所包圍的小方格的個數(shù)為43個，面積為43×0.2×0.2=1.72，即前1 s內金屬桿的位移

x=1.72 m

由功能關系得產生的熱量為

代入數(shù)據(jù)得

Q=7 J

說明：前1 s內圖線與t軸所包圍的小方格的個數(shù)在42～44個之間，位移在1.68 ～1.76 m之間，產生的熱量在6.68～7.32 J之間均正確．

此題的第4問非常巧妙，速度-時間圖像的面積代表位移，學生都知道．筆者在用此題進行考試時，所教兩個班級的學生有一人應用了此法，做完后他感覺此法很粗糙，因為數(shù)方格的個數(shù)太不準確．他又另辟蹊徑，用微元法做了一遍.

某時刻，桿的速度為v，根據(jù)受力分析和牛頓第二定律有

F安=IBL

F-F安-mgsinα=ma

聯(lián)立以上各式得

上式中

vΔt=Δx

兩邊累加得

在本題中恒力F，質量m，角度α，B，L均已知，那么桿的速度、時間、位移之間的相互約束關系為

v=4t-x

即桿在做變加速直線運動的過程中，位移、速度、時間三者之間必須滿足這個方程，三個量之間相互制約．

1 s時速度是2.6 m/s，那么位移就該等于1.4 m．本題給出的數(shù)據(jù)就明顯不滿足這個關系．

微元法的實質是微分和積分思想的應用，高中階段雖然沒有學習積分，但這種累加的思想學生容易理解和接受．在高中階段學習過程中，學生早在高一學習v-t圖像的面積時就已接觸到．

因此，筆者強烈建議命題人員在給出這類運動的數(shù)據(jù)時一定要利用微元法進行驗算．

本題的數(shù)據(jù)問題出在哪里呢？

根據(jù)上面的方程有

解出上面的微分方程有

v=4(1-e-t)

從理論上講，速度要達到最大值，時間必是無限長，借助于Excel軟件，讓時間由零開始，每次增加0.1 s，算出速度，可知，1 s時速度為2.528 48 m/s，本題圖中卻是2.6 m/s；當時間t=7 s時速度等于3.996 35 m/s，還不到4 m/s，而此題所給時間不到4 s就達到最大速度了，計算表明，實際上4 s時速度只有3.926 73 m/s．這個圖像應該怎樣畫呢？筆者借助于電子表格軟件繪出其圖像如下.

圖3 速度-時間圖像

利用積分，可知x=4t+4(e-t-1)，用幾何畫板也可以作出位移-時間圖像，如圖4所示．

圖4 位移-時間圖像