一種小子樣情況下的彈道一致性評(píng)定方法

張領(lǐng)科,趙峰,余永剛

(1.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇南京 210094;2.中國人民解放軍63870部隊(duì),陜西華陰 714200)

一種小子樣情況下的彈道一致性評(píng)定方法

張領(lǐng)科1,趙峰2,余永剛1

(1.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇南京 210094;2.中國人民解放軍63870部隊(duì),陜西華陰 714200)

為在小樣本情況下進(jìn)行彈道一致性的評(píng)定,基于正態(tài)分布小樣本相容性理論給出一種彈道一致性評(píng)定方法。該方法主要通過將計(jì)算的順序統(tǒng)計(jì)量與計(jì)算機(jī)模擬的臨界值進(jìn)行比較判定。主要優(yōu)點(diǎn)是不需計(jì)算位置-尺度估計(jì)值,從而減小由于樣本容量小而帶來的計(jì)算誤差。通過算例分析表明:在樣本數(shù)量較少(n≤5)的情況下,該方法與常規(guī)的配對(duì)t檢驗(yàn)法和概率圓序貫檢驗(yàn)法相比,都具有一定的優(yōu)勢(shì)。

兵器科學(xué)與技術(shù)；彈道試驗(yàn)；彈道一致性；小樣本；相容性；評(píng)定方法

0 引言

隨著新型彈箭的不斷涌現(xiàn),同一門火炮配備幾種彈是常見的;為便于作戰(zhàn),希望多彈能通用射表,故要求其彈道基本一致。嚴(yán)格意義上的彈道一致是不存在的,為此,通常采用數(shù)量統(tǒng)計(jì)的方法檢驗(yàn)其平均彈道的一致性[1-2]。彈道一致性評(píng)定通常采用配對(duì)t檢驗(yàn)法,文獻(xiàn)[3]從工程應(yīng)用出發(fā),指出該檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)結(jié)果受樣本容量的影響較大,隨著樣本容量的增加,檢驗(yàn)界限縮小。文獻(xiàn)[4]從假設(shè)檢驗(yàn)的角度指出,增大樣本容量,有利于減小存?zhèn)胃怕?提高檢驗(yàn)質(zhì)量,并借鑒美國陸軍試驗(yàn)操作規(guī)程給出了一種調(diào)和接受界的彈道一致性界定方法,該方法是基于每組10發(fā)且均方差需通過F檢驗(yàn)為基本一致。文獻(xiàn)[1]從保證一定的棄真概率且減小存?zhèn)胃怕式嵌戎赋?兩種彈至少試驗(yàn)3組各7發(fā),這也是GJB349.17—1989中規(guī)定單個(gè)射距的最小試驗(yàn)用彈量。通用射表要求全射程范圍通用,因此,即便是只對(duì)遠(yuǎn)、中、近3個(gè)射距進(jìn)行彈道一致性試驗(yàn),用彈量至少126發(fā),耗費(fèi)巨大。自助法與隨機(jī)加權(quán)法是目前廣泛采用的小子樣數(shù)據(jù)處理方法,不必對(duì)未知分布做任何假設(shè),采用計(jì)算機(jī)再抽樣的方法將小樣本變成大樣本再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析[5-6],但與真實(shí)分布存在的偏差不容忽略,且與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有很強(qiáng)的依賴性[7]。文獻(xiàn)[8]給出了一種基于圓概率序貫法的彈道一致性檢驗(yàn)方法,在一定程度上能夠減小被檢驗(yàn)彈的用彈量,但需給出對(duì)比彈的概率圓半徑。本文基于來自正態(tài)分布小樣本的相容性理論,從“相容性”反映“一致性”的角度出發(fā),提出了一種小樣本情況下的彈道一致性評(píng)定方法。

1 彈道一致與通用射表的含義

平均彈道一致是在某種意義上的一致,如兩彈在同一射角上平均射程只要在允許的范圍內(nèi);兩彈同一射角和同一方位角對(duì)空中同一點(diǎn)射擊的坐標(biāo)與飛行時(shí)間差在允許的范圍;兩彈對(duì)目標(biāo)的命中概率大致相同等[1-2]。所謂的“允許范圍”就是某一檢驗(yàn)接受界,因此,彈道一致性的檢驗(yàn)就轉(zhuǎn)變成了兩樣本均值差值為0的假設(shè)檢驗(yàn)問題,通常采用配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。

通用射表強(qiáng)調(diào)彈道關(guān)鍵諸元相差不大,即是說可以存在略微差異,只要對(duì)射擊效果影響不大。因此,假如兩種彈在相同的射擊條件下射擊,落點(diǎn)坐標(biāo)或炸點(diǎn)坐標(biāo)認(rèn)為“基本”來自同一正態(tài)分布,就可認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性,從而可以通用射表。故從判定樣本相容性的角度出發(fā),可以對(duì)小樣本的彈道一致性進(jìn)行判定。

2 小樣本相容性檢驗(yàn)理論

2.1 小樣本相容性非參數(shù)檢驗(yàn)分析

小樣本數(shù)據(jù)的相容性檢驗(yàn)問題是已知數(shù)據(jù)的分布類型,檢驗(yàn)其是否服從同一總體分布,比如武器系統(tǒng)試驗(yàn)中的驗(yàn)前與驗(yàn)后樣本的相容性檢驗(yàn)。采用小樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷,通常犯錯(cuò)誤的概率較大。盡管Kolmogorov的非參數(shù)檢驗(yàn)理論可用于小樣本總體檢驗(yàn),但存在很大的局限性,甚至導(dǎo)致檢驗(yàn)失效。文獻(xiàn)[9]采用計(jì)算機(jī)仿真的方法針對(duì)t檢驗(yàn)法、K-S法與Wilcoxon秩和檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)功效進(jìn)行了比較分析,結(jié)果表明,在總體基本服從正態(tài)分布的情況下,t檢驗(yàn)功效最好,后兩種非參數(shù)檢驗(yàn)法最差。即便如此,要保證存?zhèn)胃怕市∮?0%,抽樣樣本容量應(yīng)大于10,因此,對(duì)于小樣本(t≤10)的情況,都是不適用的。

2.2 正態(tài)分布小樣本相容性檢驗(yàn)基本思路

目前,對(duì)于服從正態(tài)分布的小子樣相容性檢驗(yàn)的基本思路是:1)對(duì)兩組樣本按照從小到大的次序排列,產(chǎn)生順序樣本;2)構(gòu)造變尺度順序統(tǒng)計(jì)量K; 3)通過計(jì)算機(jī)仿真、確定顯著水平α下的臨界值; 4)將順序統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值與臨界值比較,做出推斷。

設(shè)總體X:N(μ,σ2),x1,x2,…,xn是X的一個(gè)樣本,將x1,x2,…,xn按從小到大的順序排列,得到次序統(tǒng)計(jì)量x(1),x(2),…,x(n).計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量

式中:1≤i＜j＜k≤n.

文獻(xiàn)[10]給出了一種針對(duì)n=3,n=4與n≥5時(shí)的判定準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[11]對(duì)統(tǒng)計(jì)量Kijk進(jìn)行了重新的證明,并指出了文獻(xiàn)[10]中存在的缺陷,針對(duì)n= 3給出了概率密度函數(shù),對(duì)于n≥4的情況,建議采用計(jì)算機(jī)模擬的方法計(jì)算臨界值。文獻(xiàn)[12]試圖不通過求解臨界值,采用相關(guān)函數(shù)的方法對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的融合性進(jìn)行判斷,但建議采用Bootsrap方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣,這樣就會(huì)可能出現(xiàn)文獻(xiàn)[7]中提到數(shù)據(jù)依賴情況。文獻(xiàn)[13]把對(duì)全體順序樣本統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)簡(jiǎn)化為只對(duì)最小與最大兩端數(shù)據(jù)的相容性判定,類似于“極差法”異常值剔除,操作方便,但對(duì)數(shù)據(jù)的“同分布”檢驗(yàn),本文認(rèn)為證據(jù)不足。文獻(xiàn)[14]將3樣本統(tǒng)計(jì)量Kijk擴(kuò)充到4樣本統(tǒng)計(jì)量Zr,p,q,s,

式中:1≤r＜p＜q＜s≤n,采用計(jì)算機(jī)模擬的方法給出了顯著水平為α?xí)r的上下α/2的分位數(shù)。文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[13]的基本思路是一致的,計(jì)算機(jī)模擬統(tǒng)計(jì)量臨界分位數(shù)是可行的[15-16]。

3 小樣本彈道一致性評(píng)定方法

3.1 問題的提出

假如檢驗(yàn)彈在某射距上的落點(diǎn)坐標(biāo)為(x1i, z1i),1≤i≤m;被檢驗(yàn)彈在該射距上的落點(diǎn)坐標(biāo)為(x2j,z2j),1≤j≤n;為體現(xiàn)被檢驗(yàn)彈的小子樣特性,取n≤m≤10,檢驗(yàn)兩種彈是否滿足彈道一致性。

3.2 評(píng)定方法

以坐標(biāo)x進(jìn)行說明。將x1i與x2j按從小到大的順序進(jìn)行排列,得到順序統(tǒng)計(jì)量x(1),x(2),…,x(M), M=m+n,取3樣本Kijk作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,計(jì)算方法如(1)式。給定顯著水平α,確定臨界值z(mì),對(duì)于M個(gè)樣本,將有C個(gè)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)應(yīng)C個(gè)臨界值z(mì).

評(píng)定方法:若Kijk(1≤i＜j＜k≤M)均滿足Kijk≤z,則有理由認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性;若出現(xiàn)任一Kijk滿足Kijk＞z,則有理由認(rèn)為兩彈不滿足彈道一致性。

3.3 臨界值的確定

3.3.1 樣本容量n=3

設(shè)總體X～N(μ,σ2),X(1),X(2),X(3)是來自總體X的樣本順序統(tǒng)計(jì)量,則順序比率統(tǒng)計(jì)量K123= (X(2)-X(1))/(X(3)-X(1)),0≤K123≤1.K123的概率累積分布函數(shù)

基于F1(z),可以反求出置信水平為α?xí)r的臨界值,當(dāng)α=0.05時(shí),下分位數(shù)z0.05=0.058 7,上分位數(shù)z0.95=0.941 3.

3.3.2 樣本容量n=4,5

設(shè)總體X～N(μ,σ2),X(1),X(2),X(3),…,X(n)是來自總體X的樣本順序統(tǒng)計(jì)量,則順序比率統(tǒng)計(jì)量Kijl=(x(j)-x(i))/x(l)-x(i),1≤i＜j＜l≤n,0≤Kijl≤1.因此,當(dāng)n=4時(shí),共有=4個(gè)統(tǒng)計(jì)量,分別為K123、K124、K134與K234;當(dāng)n=5時(shí),這種情況下,共有=10個(gè)統(tǒng)計(jì)量,分別為K123、K124、K125、K134、K135、K145、K234、K235、K245與K345.對(duì)于上述兩種情況或樣本量更大時(shí),是無法給出Kijl的具體理論分布解析式。這里采用數(shù)值模擬的方法,以n=4為例:1)采用同余法產(chǎn)生N組X=(x1,x2,x3,x4)～N(0,1)的樣本;2)對(duì)X的樣本值按由小到大進(jìn)行排序,獲得其順序統(tǒng)計(jì)量x(1),x(2),x(3),x(4),對(duì)每組分別計(jì)算K123、K124、K134與K234;3)以K123為例,將區(qū)間[0,1]分成M個(gè)等間距子區(qū)間,離散點(diǎn)值為zi(1≤i≤M),分別統(tǒng)計(jì)K123落在每個(gè)區(qū)間的頻數(shù)NPi(1≤i≤M),從而計(jì)算每個(gè)區(qū)間平均概率fN(zi),得到K123的離散概率密度fN(z);4)對(duì)fN(zi)在區(qū)間[0,1]上求和,即從而得到K123離散概率累積分布FN(z);5)分別重復(fù)1～4步驟NC次,求FN(z)的平均值,作為最后K123的累積概率密度分布。采用上述方法,可得到K124、K134與K234的概率密度函數(shù)和累積概率密度函數(shù)。同理,樣本容量n=5時(shí)可得到10個(gè)統(tǒng)計(jì)量的累積概率密度分布函數(shù)。取N=50 000 000,NC=10 000,計(jì)算得到上述兩種情況的累積概率密度分布函數(shù)分別如圖1與圖2所示。

圖1 n=4時(shí)的累積概率密度分布Fig.1 Cumulative probability density distribution for n=4

圖2 n=5時(shí)的累積概率密度分布Fig.2 Cumulative probability density distribution for n=5

反求臨界值并對(duì)每一個(gè)臨界值進(jìn)行5 000萬次抽樣模擬,結(jié)果如表1與表2所示。

表1 z(M=4)Tab.1 z(M=4)

表1 z(M=4)Tab.1 z(M=4)

zα ijk(1≤i＜j＜k≤4),α=0.05 z123 z124 z134 z234 0.954 9 0.765 2 0.967 0 0.930 7

表2 z(M=5)Tab.2 z(M=5)

表2 z(M=5)Tab.2 z(M=5)

zα ijk(1≤i＜j＜k≤5),α=0.05 z1230.959 3 z1450.976 0 z1240.806 1 z2340.946 1 z1250.642 2 z2350.724 6 z1340.975 9 z2450.961 0 z1350.844 1 z3450.926 0

4 算例分析

取文獻(xiàn)[8]中檢驗(yàn)彈與被檢驗(yàn)彈Y坐標(biāo)中的前5組數(shù)據(jù),如表3所示,其中Y1為檢驗(yàn)彈,Y2為被檢驗(yàn)彈。

表3中兩彈均有5發(fā)試驗(yàn)數(shù)據(jù),為了說明第3節(jié)中小子樣彈道一致性的評(píng)定方法應(yīng)用,這里僅討論3種情況。

4.1 3樣本

鑒于被檢驗(yàn)彈盡量小樣本的原則,取Y1的前2個(gè)樣本與Y2的第1個(gè)樣本,構(gòu)成順序樣本序列(12.451m,15.889m,17.830m),按(1)式計(jì)算得K123=0.639 2,由3.3節(jié)可知,當(dāng)α=0.05,z123= 0.941 3,K123＜z123,故有理由認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性。

4.2 4樣本

取Y1的前2個(gè)樣本與Y2的前2個(gè)樣本,構(gòu)成順序樣本序列(12.451 m,13.002 m,15.889 m, 17.830m),按(1)式計(jì)算的次序統(tǒng)計(jì)量Kijk(1≤i＜j＜k≤4)的值如表4所示。

表4 Kijk計(jì)算值(M=4)Tab.4 Kijkvalues(M=4)

由表2可知,當(dāng)α=0.05,K123＜z123,K124＜z124, K134＜z134,K234＜z234,故有理由認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性。

4.3 5樣本

取Y1的前3個(gè)樣本與Y2的前2個(gè)樣本,構(gòu)成順序樣本序列(9.976m,12.451m,13.002m,15.889m, 17.830m),按(1)式計(jì)算的次序統(tǒng)計(jì)量Kijk(1≤i＜j＜k≤5)的值如表5所示。

表2可知,當(dāng)α=0.05,對(duì)于表5中所有Kijk均滿足Kijk＜zijk,故有理由認(rèn)為兩彈滿足彈道一致性。

表5 Kijk計(jì)算值(M=5)Tab.5 Kijkvalues(M=5)

綜上所述,不論是3樣本、4樣本還是5樣本,檢驗(yàn)結(jié)果均是滿足彈道一致性,這與文獻(xiàn)[8]的檢驗(yàn)結(jié)果是一致的,但是,文獻(xiàn)[8]用到了Y1的10個(gè)數(shù)據(jù),Y2最少要6個(gè)數(shù)據(jù),因此,本文的檢驗(yàn)方法是行之有效的,且在樣本量上是占優(yōu)勢(shì)的。對(duì)于6樣本、7樣本等可參照進(jìn)行計(jì)算判定。

5 結(jié)論

通過分析彈道一致性與通用射表的含義,提出了一種基于正態(tài)分布小子樣“相容性”的彈道一致性評(píng)定方法。該方法的主要優(yōu)點(diǎn):1)不需計(jì)算其位置-尺度統(tǒng)計(jì)量,降低傳統(tǒng)方法小樣本情況下的兩類誤差風(fēng)險(xiǎn);2)只根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù),不依賴歷史數(shù)據(jù);3)相對(duì)圓概率序貫法,樣本量更小。算例結(jié)果表明該方法具有一定適用性,但仍需工程驗(yàn)證與風(fēng)險(xiǎn)分析。

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An Evaluation M ethod of Ballistic Consistency under Small Sam ple Circum stance

ZHANG Ling-ke1,ZHAO Feng2,YU Yong-gang1
(1.School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,Jiangsu,China; 2.Unit63870 of PLA,Huayin 714200,Shaanxi,China)

In order to evaluate ballistic consistency under small sample circumstance,an evaluation method of ballistic consistency is proposed based on the normal distribution small sample compatibility theory.Thismethod is to compare the calculated order statistics and the simulated critical value to determine the ballistic consistency.Themain advantage is not necessary to calculate the position-scale estimate value,so it could decrease the calculation error due to small sample size.The calculation shows that thismethod is better thanmatched pair t test and probability circle sequential testunder small sample circumstance(n≤5).

ordnance science and technology;ballistic test;ballistic consistency;small sample size; compatibility;evaluation method

TJ012.36

A

1000-1093(2014)12-2124-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.12.028

2013-05-13

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51106075)

張領(lǐng)科(1978—),男,副研究員。E-mail:nustzlk@126.com