基于降維可視化技術(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析

李皓川,孫志禮,王海

(1.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院,遼寧沈陽 110819;2.沈陽金鑫宏美物資有限公司,遼寧沈陽 110001)

基于降維可視化技術(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析

李皓川1,孫志禮1,王海2

(1.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院,遼寧沈陽 110819;2.沈陽金鑫宏美物資有限公司,遼寧沈陽 110001)

針對多維隱式結(jié)構(gòu)可靠性問題,應(yīng)用降維可視化技術(shù)進行可靠性靈敏度分析?；趇HLRF法求解設(shè)計點,根據(jù)模型計算精度確定有限差分步長。用一條直線將平面分為安全域和失效域兩部分,通過計算直線初始位置附近數(shù)據(jù)點對應(yīng)的響應(yīng)量,來調(diào)整并確定直線的最終位置,根據(jù)直線上方數(shù)據(jù)點提供的信息計算可靠性靈敏度。提出的可靠性靈敏度分析方法的準(zhǔn)確性不受維度以及非線性的影響,且效率較高。最后計算了兩個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度及各個變量的可靠性靈敏度,為結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了理論依據(jù)。算例表明了文中所給出的計算公式的正確性和有效性。

應(yīng)用統(tǒng)計數(shù)學(xué);結(jié)構(gòu)可靠性;可靠性靈敏度;設(shè)計點;降維可視化技術(shù);iHLRF法

0 引言

可靠性靈敏度分析為研究影響結(jié)構(gòu)可靠性的主要因素提供了一種有效方法,其分析效果主要受可靠性分析方法的影響。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性問題,極限狀態(tài)函數(shù)一般都沒有解析表達式,即是隱式的。針對這一情況,經(jīng)典的可靠性及可靠性靈敏度分析方法如一次可靠性方法(FORM)、二次可靠性方法(SORM)等解析法,由于其對高度非線性函數(shù)的近似效果不佳,因而精度不高[1-4]。取而代之的是改進的數(shù)字模擬方法,如重要抽樣法(ISM)、子集模擬法、線抽樣法和方向抽樣法等,或是代理模型近似技術(shù),如響應(yīng)面法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、Kriging模型和支持向量機等[5-7]。然而這些方法應(yīng)用在多維情況下都很困難,或是因為中間過程繁瑣,或是因為需要計算大量樣本的響應(yīng)量,這被稱為“維度災(zāi)難[8-12]”現(xiàn)象,從而降低了可靠性靈敏度分析的精度或效率。降維可視化技術(shù)[13](DRV)屬于一種改進的數(shù)字模擬方法。通過提取樣本的極特征信息并在平面內(nèi)顯示,將可靠性問題的研究從傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間轉(zhuǎn)換到了平面內(nèi),并利用映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點的聚集特性估算可靠度,其分析效果不受可靠性問題的非線性和維度的影響。應(yīng)用降維可視化技術(shù)分析可靠性問題的關(guān)鍵在于設(shè)計點的求解,這是一個約束優(yōu)化問題。一個被廣泛使用的方法即iHLRF[14]法,這是一種基于梯度的線搜索方法。當(dāng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的梯度能夠被準(zhǔn)確計算時,iHLRF法是一種準(zhǔn)確且高效的方法,反之將會導(dǎo)致迭代無法收斂。對于隱式函數(shù)響應(yīng)的梯度,一個最直接的計算方法是有限差分法,但差分步長的選擇常沒有規(guī)律卻顯著影響梯度的精度。

本文首先簡要介紹降維可視化技術(shù)的基本思想;然后應(yīng)用iHLRF法求解設(shè)計點,根據(jù)模型的計算精度來確定有限差分的步長,保證了迭代的收斂性;進而提出通過計算少量樣本點的響應(yīng)量就可以確定失效類數(shù)據(jù)點的個數(shù),并利用失效類數(shù)據(jù)點提供的信息進行結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析。文中給出了分析方法的原理與具體步驟,最后用兩個多維可靠性問題驗證了所提方法的準(zhǔn)確性。

1 降維可視化技術(shù)

用樣本的極特征作為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo),這樣就可將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的樣本點映射到平面內(nèi),若同時將數(shù)據(jù)結(jié)果的類標(biāo)信息一并顯示,即可靠性分析中的失效類和安全類,就實現(xiàn)了樣本信息的降維可視化,就可在平面內(nèi)用散點圖來顯示數(shù)據(jù)的分布情況。文獻[13]已經(jīng)討論了在小概率情況下,從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量空間映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點具有顯著的聚集特性,并且可由一條直線將平面內(nèi)的兩類數(shù)據(jù)點分開。例如下面的極限狀態(tài)函數(shù)

式中:各隨機變量xi均服從參數(shù)值為1的指數(shù)分布; η為常數(shù)。應(yīng)用Rosenblatt變換將極限狀態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下如(7)式所示:

其設(shè)計點向量的方向為n=(1,1,…,1).令d= 30,η=46,產(chǎn)生50 000個樣本點,將其映射到平面內(nèi),計算樣本的類標(biāo)信息如圖1所示。可以看出失效類樣本在極特征平面內(nèi)有顯著的聚集特性,且可由一條直線將兩類數(shù)據(jù)點隔開,如圖1中的實線。

圖1 樣本信息的降維可視化Fig.1 Dimensionality reduction and visualization of samples'information

2 考慮計算精度的iHLRF法

式中:u=T(x)為原始隨機變量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系;?G(x)/?xi為極限狀態(tài)函數(shù)相對于原始隨機變量的偏導(dǎo)數(shù)。由于在工程問題中G(x)常由有限元方法計算,其相對于原始隨機變量的偏導(dǎo)數(shù)的解析解很難得到,因此常采用有限差分方法計算,即

式中:Γxi為有限差分的步長;ei為xi軸上的單位向量。理論上差分步長越小,(16)式的截斷誤差就越小,但是應(yīng)該根據(jù)模型的計算精度來選擇步長大小。一般極限狀態(tài)函數(shù)的響應(yīng)包括兩部分:一部分是確定性的,而另一部分是隨機性的,這種隨機性是由計算機的舍入誤差和數(shù)值分析誤差造成的,通常與模型的計算精度以及響應(yīng)值呈一定的比例。如果步長Γxi太小,可能造成差分G(x+Γxiei)-G(x)的值比響應(yīng)G(x)的隨機部分還要小,這樣計算的偏導(dǎo)數(shù)值誤差將很大,甚至?xí)斐傻^程不收斂。因此差分步長應(yīng)該足夠大,使得極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)值的隨機部分可以被忽略。本文采用(17)式作為每一步的差分步長:

式中:c為放大倍數(shù);ε為模型計算精度;εG(x(k-1))為極限狀態(tài)函數(shù)的最大數(shù)值誤差;ΓG(x(k-1))i為第k-1次迭代的梯度向量中的第i個元素。第一次迭代時,由于前一次的梯度向量未知,可以采用一個較大的差分步長。計算精度需根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)的特性決定,如果G(x)是解析表達式,則ε一般應(yīng)取10-8,如果G(x)是由數(shù)值計算確定的,如有限元分析,則ε應(yīng)該根據(jù)數(shù)值分析的收斂標(biāo)準(zhǔn)確定,一般取10-5～10-4之間。

3 計算可靠性靈敏度

3.1 直線位置的確定方法

映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點均聚集在某一特定的位置,且落在一條直線上方。因此可將這條直線下方的安全類數(shù)據(jù)點截去,只需根據(jù)上方數(shù)據(jù)點提供的信息即可估算可靠度與可靠性靈敏度。但在調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)計算之前,映射到極特征平面內(nèi)的數(shù)據(jù)點沒有類標(biāo)信息,因此無法直觀確定直線的位置。文獻[13]提出根據(jù)經(jīng)驗確定直線位置,即根據(jù)失效類數(shù)據(jù)點常出現(xiàn)聚集的位置確定一條直線,留出較大的裕度,如圖1中的虛線,計算直線上方所有數(shù)據(jù)點的類標(biāo)信息,根據(jù)失效類數(shù)據(jù)點的個數(shù)估算可靠度。然而這種方法需要計算較多次極限狀態(tài)函數(shù)的響應(yīng)。為了盡量減少極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù),本文首先根據(jù)經(jīng)驗預(yù)判斷直線的初始位置,然后根據(jù)其附近數(shù)據(jù)點的類標(biāo)信息做出調(diào)整,達到最終位置,可以節(jié)省調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)的次數(shù),提高計算效率。下面介紹調(diào)整直線位置的具體步驟。

1)根據(jù)隨機變量的維度在極特征平面內(nèi)畫出可靠性圖的輪廓(使極特征的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于0)。

2)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中產(chǎn)生N個樣本點,并將其映射到極特征平面內(nèi)(此時極特征平面內(nèi)的數(shù)據(jù)點是沒有類標(biāo)信息的,如圖2中的白色數(shù)據(jù)點)。

3)預(yù)判斷直線的初始位置。根據(jù)經(jīng)驗,中低維情況下直線在可靠性圖的右上部分(可以將其設(shè)置為同時通過可靠性圖最上端點與最右端點,如圖2中的虛線),而高維情況下則在可靠性圖的上方接近水平(可以將其設(shè)置為水平直線并在可靠性圖上1/4處)。

4)計算初始直線和可靠性圖輪廓的交點A、B附近數(shù)據(jù)點的類標(biāo)信息。在A點附近,順時針進行時,當(dāng)計算得到連續(xù)兩個失效類數(shù)據(jù)點即停止計算;逆時針進行時,當(dāng)連續(xù)得到兩個安全類數(shù)據(jù)點即停止計算。在B點附近,順時針進行時,當(dāng)計算得到連續(xù)兩個安全類數(shù)據(jù)點即停止計算;逆時針進行時,當(dāng)連續(xù)得到兩個失效類數(shù)據(jù)點時即停止計算。

5)調(diào)整直線位置。使其同時通過臨界處的兩個失效類數(shù)據(jù)點,即確定了直線的位置。

圖2 直線位置調(diào)整示意圖Fig.2 Schematic diagram of adjustment strategy of straight line

圖2為調(diào)整直線位置的示意圖,虛線為直線初始位置,實線為調(diào)整后的位置,箭頭指示的是數(shù)據(jù)點的計算順序以及停止時機。

這樣只需要調(diào)用很少次極限狀態(tài)函數(shù)就可以將安全類數(shù)據(jù)點和失效類數(shù)據(jù)點隔開。

3.2 計算可靠度及可靠性靈敏度

當(dāng)確定直線的位置后,統(tǒng)計得到直線上方數(shù)據(jù)點個數(shù)Nup,則失效概率為式中:xh可通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的失效樣本點進行變換得到,而直線上方的數(shù)據(jù)點則儲存標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中失效樣本點的坐標(biāo)信息。

4 實例分析

圖3 軸承內(nèi)外圈配合情況Fig.3 Fit situation of bearing's inner and outer rings

算例1為了防止傳動軸發(fā)生抱死事故,軸承的工作游隙值應(yīng)大于0 μm,即工作游隙的極限狀態(tài)函數(shù)為G(x)=μw(x)-0,其中μw(·)為工作游隙函數(shù),同時考慮配合、內(nèi)圈轉(zhuǎn)速、溫升以及軸承材料等隨機因素的影響。圖3表示的是軸承內(nèi)外圈的配合情況。

表1給出了影響滾動軸承游隙的隨機變量及其分布參數(shù)。假設(shè)各隨機變量均服從正態(tài)分布且相互獨立。

表1 隨機變量分布參數(shù)列表Tab.1 Distribution parameters of random variables

此外,軸承內(nèi)圈與軸配合直徑d1為80 mm,軸承外圈與軸承座配合直徑D2為200 mm.分別計算軸承內(nèi)圈外徑、外圈內(nèi)徑以及滾動體對工作游隙的影響,然后進行疊加,工作游隙的具體分析方法可參考文獻[15]。

應(yīng)用Rosenblatt變換將極限狀態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量空間,應(yīng)用iHLRF法求解設(shè)計點,迭代停止的條件為‖u(k+1)-u(k)‖≤0.001.若每次的差分步長都設(shè)為定值,當(dāng)?shù)Ｖ箷r,最終計算的設(shè)計點并不在極限狀態(tài)面上,即不滿足收斂條件|g(u*)/g(u0)|≤0.001,這是因為梯度計算出現(xiàn)較大誤差,導(dǎo)致迭代步長非常小,使迭代無法繼續(xù)進行。若采用(17)式的差分步長,放大倍數(shù)設(shè)為c= 5,模型計算精度設(shè)為ε=10-5,則能夠保證迭代的收斂。最終計算的設(shè)計點u*為(2.182,1.092, -1.091,0,0.007,-0.008,0.013,-0.048, -0.003,0.163,0.032,0.31,-0.217,0.123).產(chǎn)生N=10 000個樣本點并將其映射到平面內(nèi),調(diào)用22次極限狀態(tài)函數(shù)得到調(diào)整后的直線位置如圖4所示。截去下方數(shù)據(jù)點,統(tǒng)計直線上方共有Nup= 27個數(shù)據(jù)點,因此失效概率Pf=Nup/N=0.002 7.根據(jù)得到的設(shè)計點應(yīng)用FORM、SORM以及ISM估算可靠度,結(jié)果如表2所示。

圖4 滾動軸承工作游隙可靠性問題的截斷直線Fig.4 Truncation line for reliability analysis of rolling bearing clearance

表2 算例1可靠度計算結(jié)果Tab.2 Calculated results of Example 1

雖然本問題中的隨機變量均服從正態(tài)分布,但由于隨機變量個數(shù)較多,且接觸分析給極限狀態(tài)函數(shù)帶來了非線性,因此解析法對失效樣本點的捕捉能力欠佳,出現(xiàn)了較大的誤差。而本文方法只比解析法多調(diào)用較少次數(shù)的極限狀態(tài)函數(shù),卻得到了與精確解相似的精度,這是由于其利用了失效樣本點在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的分布規(guī)律,并直接從最可能失效區(qū)域進行搜索。將直線上方數(shù)據(jù)點對應(yīng)的原始隨機變量空間中的樣本點坐標(biāo)代入(24)式計算可靠性靈敏度,結(jié)果如表3、表4所示,其與通常的定性分析的結(jié)果吻合,可為軸承游隙的設(shè)計提供定量的理論依據(jù)。由于是利用失效樣本點的坐標(biāo)信息估計可靠性靈敏度,而通過可靠性分析的結(jié)果可知,截斷直線上方的數(shù)據(jù)點提供的信息是準(zhǔn)確的,因此利用其計算的可靠性靈敏度結(jié)果必然最接近精確解。

算例2一個7層的框架結(jié)構(gòu)在頂部有均布的載荷40 kN/m,框架底部完全固定,如圖5所示。

本問題共含有31個隨機變量,即水平力(F1～F7),8種不同梁單元的實常數(shù),即截面積(A1～A8)、抗彎慣性矩(I1～I8)以及截面高度(h1～h8)已在圖5中表示。分布情況如表5所示,假設(shè)各隨機變量相互獨立。彈性模量E=5×1011Pa,泊松比ν=

表3 均值可靠性靈敏度計算結(jié)果Tab.3 Calculated results of reliability sensitivity for mean value

表4 標(biāo)準(zhǔn)差可靠性靈敏度計算結(jié)果Tab.4 Calculated results of reliability sensitivity for standard deviation

圖5 7層平面框架Fig.5 Plane frame structure with seven layers

0.3,考慮鋼筋混凝土的質(zhì)量(密度取2.5 t/m3)。

若規(guī)定右上方的水平位移不能超過20 mm,則極限狀態(tài)函數(shù)為G(x)=20-Δ(x).將隨機變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量,將差分步長公式中的放大倍數(shù)設(shè)為c=5,模型計算精度設(shè)為ε=10-4,求得設(shè)計點u*為(0.000 4,-0.000 3,-0.000 7,-0.003 4, -0.009 1,-0.021 2,-0.038 4,0.000 4, -0.011 8,-0.060 8,-0.108 0,-0.166 0, -0.225 1,-0.531 9,-3.362 4,-0.457 6,0,0,0, 0,0,0,0,0,0.0332,0.0566,0.0691,0.0851,0.0992, 0.113 9,0.097 2)。產(chǎn)生N=50 000個樣本點并將其映射到極特征平面內(nèi),調(diào)用35次極限狀態(tài)函數(shù)得到調(diào)整后的直線位置如圖6所示。

截去下方數(shù)據(jù)點,統(tǒng)計直線上方共有Nup=36個數(shù)據(jù)點,因此失效概率Pf=Nup/N=7.2×10-4.根據(jù)得到的設(shè)計點應(yīng)用FORM、SORM以及ISM估計可靠度,結(jié)果如表6所示。

表5 隨機變量分布參數(shù)列表Tab.5 Distribution parameters of random variables

圖6 框架結(jié)構(gòu)可靠性問題的截斷直線Fig.6 Truncated line for reliability analysis of frame structure

表6 算例2可靠度計算結(jié)果Tab.6 Calculated results of Example 2

本問題涉及的隨機變量個數(shù)更多,并且由于水平力服從對數(shù)正態(tài)分布,因此在將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量時給極限狀態(tài)函數(shù)帶來了較強的非線性,應(yīng)用降維可視化技術(shù)進行可靠性及可靠性靈敏度分析卻不受之影響,且效率較高?？紤]模型計算精度的差分步長的選取保障了iHLRF法的收斂,計算可靠性靈敏度的方法與算例1相同,由于變量較多,不再列出結(jié)果。

5 結(jié)論

1)本文提出的可靠性靈敏度分析方法是在平面內(nèi)進行的,利用了映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點的高度聚集性,僅用一條直線上方的數(shù)據(jù)點提供的信息計算可靠性靈敏度,方法不受維度以及非線性的影響,且效率較高。

2)確定截斷直線的方法僅需調(diào)用較少次數(shù)的極限狀態(tài)函數(shù),提高了降維可視化技術(shù)的效率。

3)根據(jù)模型計算精度確定的有限差分步長能夠準(zhǔn)確地求解極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)的梯度,保證了應(yīng)用iHLRF法求解設(shè)計點能夠滿足收斂條件。

4)方法規(guī)則,易于實現(xiàn)程序化。算例表明本文給出的基于降維可視化技術(shù)的可靠性靈敏度計算公式是有效和正確的。

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Analysis of Structural Reliability Sensitivity Based on Dimensionality Reduction and Visualization Technique

LI Hao-chuan1,SUN Zhi-li1,WANG Hai2
(1.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,Liaoning,China; 2.Shenyang Jinxin Hongmei Materials Co.Ltd.,Shenyang 110001,Liaoning,China)

For the implicit reliability problem with multiple dimensions,the reliability sensitivity of structure is analyzed by applying the dimensionality reduction and visualization technique.The design point is found based on iHLRF method,and the step size of finite difference is determined according to the modeling computational precision.The plane is divided into two parts of safe domain and failure domain by a straight line,and the final position of the straight line is determined by calculating the responses corresponding to several data points nearby its initial position.The dimensionality and nonlinearity do not affect the accuracy of the proposed method,which also has relatively high efficiency.Finally,the reliabilities of two structural systems and the reliability sensitivities of various influencing factors are calculated, which provides a theoretical basis for designing the structural systems.The examples show that these theories and formulas are rational and efficient.

applied statistical mathematics;structural reliability;reliability sensitivity;design point; dimensionality reduction and visualization technique;iHLRF method

TB114.3

A

1000-1093(2014)11-1876-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.11.020

2014-03-03

國家自然科學(xué)基金項目(51135003)

李皓川(1987—),男,博士研究生。E-mail:lhcneu@163.com;

孫志禮(1957—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:zhlsun@mail.neu.edu.cn