模型不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊Backstepping預(yù)測(cè)控制

鄭 蘭，周衛(wèi)東，廖成毅，程 華

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱；2.齊齊哈爾建華機(jī)械有限公司，161006黑龍江齊齊哈爾）

模型不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊Backstepping預(yù)測(cè)控制

鄭 蘭1，周衛(wèi)東1，廖成毅1，程 華2

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱；2.齊齊哈爾建華機(jī)械有限公司，161006黑龍江齊齊哈爾）

為解決一類模型不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題，提出一種使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滾動(dòng)時(shí)域性能指標(biāo)在線最小化的自適應(yīng)模糊反步預(yù)測(cè)控制策略.模糊系統(tǒng)用來(lái)逼近該設(shè)計(jì)過(guò)程中的未知非線性項(xiàng)，自適應(yīng)參數(shù)直接用來(lái)估計(jì)最優(yōu)逼近權(quán)值向量范數(shù)的平方，從而只有一個(gè)自適應(yīng)參數(shù)需要在線調(diào)節(jié)；同時(shí)考慮模糊基函數(shù)的性質(zhì)，所設(shè)計(jì)的控制律與自適應(yīng)律均不含模糊基函數(shù)項(xiàng)，理論證明該方法設(shè)計(jì)的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是半全局有界的，并且跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域.該方法所設(shè)計(jì)的控制器形式簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，更易于實(shí)際應(yīng)用，仿真算例驗(yàn)證提出算法的有效性.

模型不確定；滾動(dòng)時(shí)域；模糊自適應(yīng)控制；反步設(shè)計(jì)；預(yù)測(cè)控制

在各類工業(yè)系統(tǒng)中，不確定性普遍存在，且有可能使系統(tǒng)性能變差甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.因而，不確定系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)成為控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn).由于Backstepping設(shè)計(jì)方法在處理具有嚴(yán)格反饋形式的不確定系統(tǒng)時(shí)所特有的優(yōu)越性，已成為設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)控制器的主流工具［1-8］.但反步設(shè)計(jì)法對(duì)可調(diào)整的性能指標(biāo)缺乏“自適應(yīng)”能力.相反，預(yù)測(cè)控制在最優(yōu)控制的框架內(nèi)可顯示地處理系統(tǒng)的控制目標(biāo)，這使得預(yù)測(cè)控制無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用中都取得了令人矚目的發(fā)展.

模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control，MPC），又稱為滾動(dòng)時(shí)域控制（receding horizoncontrol，RHC），是處理不確定問(wèn)題的一種行之有效的方法.它通過(guò)在線優(yōu)化給定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制器，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.針對(duì)不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制研究目前倍受關(guān)注［9-16］.何德峰等［9］采用仿射輸入定義預(yù)測(cè)控制的控制律，研究了一類模型不確定非線性系統(tǒng)的H∞魯棒預(yù)測(cè)控制；平續(xù)斌等［10］基于輔助優(yōu)化方法研究了一類具有多胞不確定性和有界噪聲系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋魯棒模型預(yù)測(cè)控制，并將閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了擴(kuò)展；劉曉華等［11］針對(duì)一類同時(shí)具有狀態(tài)和輸入時(shí)滯的不確定廣義系統(tǒng)通過(guò)近似求解無(wú)窮時(shí)域二次性能指標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，提出了魯棒預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)方法；蘇成利等［12］在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上，針對(duì)一類同時(shí)存在多重狀態(tài)和輸入時(shí)滯且具有非線性擾動(dòng)的不確定系統(tǒng)研究了其魯棒預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)方法；黃鶴等［13］針對(duì)具有有界擾動(dòng)的多胞不確定系統(tǒng)著重研究了采用混合H2／H∞指標(biāo)的魯棒預(yù)測(cè)控制算法的設(shè)計(jì)及其可行性、穩(wěn)定性以及在線計(jì)算量的分析；史冬琳等［14］針對(duì)有擾動(dòng)的受限非線性系統(tǒng)，基于仿射控制輸入方法提出了一種反饋控制策略，且給出了擾動(dòng)上界的求解方法；鄭鵬遠(yuǎn)等［15］基于控制不變集方法研究了一類具有結(jié)構(gòu)不確定性時(shí)滯系統(tǒng)的閉環(huán)魯棒預(yù)測(cè)控制算法，增加了控制設(shè)計(jì)的自由度；楊國(guó)詩(shī)等［16］將預(yù)測(cè)控制與構(gòu)造性控制結(jié)合研究了基于反步設(shè)計(jì)的構(gòu)造性非線性預(yù)測(cè)控制算法；張利賓［17］等針對(duì)多衛(wèi)星處置階段非線性姿態(tài)控制算法進(jìn)行了研究，基于反饋線性化理論研究了非線性預(yù)測(cè)控制算法設(shè)計(jì)，并對(duì)系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行了分析.該控制算法具有良好的抗擾性，快速性，穩(wěn)定性和魯棒性；楊青等［18］將預(yù)測(cè)控制與反步設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，針對(duì)模型不確定的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種預(yù)測(cè)控制器，該方法比傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制算法更容易使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且具有良好的動(dòng)態(tài)特性.但此方法是在假設(shè)系統(tǒng)的不確定性是有界且為已知的有界光滑函數(shù)的前提下研究的，使用范圍很有限.因此，針對(duì)更一般的系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器是需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題.

本文在文獻(xiàn)［18］的基礎(chǔ)上直接針對(duì)一類模型不確定的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于反步法的自適應(yīng)模糊控制器.通過(guò)每一步對(duì)Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造以及對(duì)模糊邏輯系統(tǒng)的使用，最終得到實(shí)際的控制律和自適應(yīng)律，與此同時(shí)系統(tǒng)的不確定性也得以解決.與以往所設(shè)計(jì)的控制器相比，本文所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，并且包含更少的自適應(yīng)參數(shù)（只有一個(gè)），從而降低了計(jì)算量，減少了計(jì)算時(shí)間.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性.

1 問(wèn)題描述

考慮如下一類單輸入單輸出非線性系統(tǒng)

式中：ˉχi＝［χ1，χ2，…，χi］T，（i＝1，2，…，n-1）；χ＝［χ1，χ2，…，χn］T∈Rn和u∈Rn分別是系統(tǒng)狀態(tài)向量和控制輸入；y∈R為系統(tǒng)輸出；fi（·），g（·）和fn（·）為未知光滑非線性函數(shù)，i＝1，2，…，n-1．控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的自適應(yīng)控制器，使系統(tǒng)式（1）所有的信號(hào)半全局有界．為此，作如下假設(shè)：

假設(shè)1 存在正常數(shù)gr和ˉg≥g＞0使函數(shù)g（χ）滿足0＜g≤｜g（χ）｜≤ˉg且｜.g（χ）｜≤gr．這里，不妨設(shè)g（χ）≥g＞0．

假設(shè)2 yd（t）及其一階導(dǎo)數(shù).yd（t）是已知光滑有界函數(shù)．

在自適應(yīng)模糊控制設(shè)計(jì)中，首先引入誤差向量

式中：yd表示期望輸出，＾αi是期望虛擬控制信號(hào)，將在第i步中給出．

考慮系統(tǒng)式（1）中存在的未知非線性，將采用模糊系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行逼近.根據(jù)萬(wàn)能逼近定理，可以把模糊系統(tǒng)寫(xiě)為如下形式：

式中：Φi為最優(yōu)權(quán)向量，Pi（Xi）為模糊基函數(shù)，δi（Xi）為逼近誤差，且｜δi（Xi）｜≤εi，εi為某一正常數(shù)．模糊基函數(shù)Pi（Xi）滿足0＜（Xi）Pi（Xi）≤1．

定義

在控制器設(shè)計(jì)步驟中，＾θ為θ的估計(jì)，估計(jì)誤差?θ為?θ＝θ-＾θ．

自適應(yīng)Backstepping控制算法中虛擬控制量以及自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如下：

式中k0，r，ai（i＝1，2，…，n）為設(shè)計(jì)的正常數(shù)，實(shí)際控制律u＝αn，即

2 主要結(jié)論

2.1 控制器設(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)分為n步，在每一步中將設(shè)計(jì)虛擬控制律αi，i＝1，2，…，n．最后，在第n步時(shí)將會(huì)得到系統(tǒng)的控制律u．

步驟1 考慮如下的Lyapunov候選函數(shù)

由式（1）、（2）可知

對(duì)V1求導(dǎo)有

式中c1為常數(shù)，

因?yàn)椋蕈?為未知函數(shù)，用模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)逼近＾α1，

式中｜δ1｜≤ε，ε1是一個(gè)正常數(shù)．

將式（5）、（12）代入式（10），整理可得：

步驟2 選取如下的Lyapunov候選函數(shù)

對(duì)V2求導(dǎo)得

式中：c2為一個(gè)常數(shù)，＾α2＝c2e2＋ˉf2，

利用模糊系統(tǒng)和虛擬控制α2可得

步驟k （3≤k≤n-1），利用類似的推導(dǎo)過(guò)程并選擇Lyapunov候選函數(shù)為

利用模糊系統(tǒng)和虛擬控制αk同理可推出

步驟n 這一步將得到控制u，根據(jù)式（1）、（2）可得

式中：c′n為一個(gè)常數(shù)，

采用模糊系統(tǒng)來(lái)逼近未知函數(shù)＾αn，可得

由假設(shè)1可得

通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)腸′n使得

將式（5）、（9）代入式（8），.Vn可進(jìn)一步表示為

從步驟1到步驟n的設(shè)計(jì)過(guò)程來(lái)看，控制律u的設(shè)計(jì)清晰明了，對(duì)比文獻(xiàn)［9-10］等，此文的關(guān)鍵之處在于采用了一種新的Lyapunov函數(shù)，自適應(yīng)律僅包含一個(gè)參數(shù)θ．與文獻(xiàn)［18］所設(shè)計(jì)的控制器相比，本文設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，降低了計(jì)算量，減少了計(jì)算時(shí)間.

2.2 穩(wěn)定性分析

為了分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取Lyapunov候選函數(shù)為V＝Vn．由式（4）、（10）可得

設(shè)a0＝min｛2ci，k0，i＝1，2，…，n｝，

由式（11）得.V（t）＋a0V（t）≤b0，則

in）和?θ都是有界的．又因?yàn)棣仁且粋€(gè)常量，則＾θ是有界的，所以αi也是有界的．由此得出χi是有界的．證明閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是有界的．ci，r，ai和k0是設(shè)計(jì)的參數(shù)，并且θ，g和ˉg是常數(shù)．對(duì)任意給定的ε＞0，首先設(shè)計(jì)參數(shù)ci和k0，選擇ai，εi和ρ充分小且r充分大，可得b0／a0≤ε2／2．另外，由式（12）得

3 控制器參數(shù)在線優(yōu)化

利用在線滾動(dòng)優(yōu)化確定控制器參數(shù)，提出一種非線性預(yù)測(cè)控制算法.在傳統(tǒng)的Backstepping設(shè)計(jì)中控制器參數(shù)c1，c2，…，c′n為時(shí)變的正實(shí)數(shù)變量，在滾動(dòng)優(yōu)化過(guò)程中，在線調(diào)整參數(shù)c1，c2，…，c′n使得預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)函數(shù)最?。?/p>

為適應(yīng)在線計(jì)算機(jī)計(jì)算的需要，采用差分的方法把系統(tǒng)式（1）、（3）和（5）離散化，采樣時(shí)間為T(mén)：

考慮取目標(biāo)函數(shù)為

1）RΔu（k＋i-1）］＋eT（k＋P）Se（k＋P）．式中：Δu為輸入量的變化量，Q，S為正定矩陣，R為正實(shí)數(shù)，P為預(yù)測(cè)時(shí)域.基于Backstepping設(shè)計(jì)思想的非線性預(yù)測(cè)控制算法為

通過(guò)在線求解有約束非線性規(guī)劃的方法，得到使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的控制器參數(shù)矩陣C，得到所設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)控制器.采用序列二次規(guī)劃的方法求解［19-20］.

4 仿真研究

考慮如下三階非線性系統(tǒng)：

定義yd＝sin 2t＋cos t，控制律與自適應(yīng)律為

由圖1～2可以看出系統(tǒng)輸出能跟蹤給定的期望信號(hào)，跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域.圖3表示控制輸入，由圖可知控制輸入有界.圖4為系統(tǒng)性能指標(biāo)，可知所設(shè)計(jì)的控制器可使得性能指標(biāo)在線最小化.

圖1 系統(tǒng)輸出與期望信號(hào)曲線軌跡

圖2 跟蹤誤差曲線

圖3 控制輸入曲線

圖4 性能指標(biāo)曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)模型的不確定性，本文研究了一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊反步預(yù)測(cè)控制算法.反步設(shè)計(jì)方法與模糊系統(tǒng)的引入解決了模型的不確定性，降低控制器的設(shè)計(jì)難度.考慮萬(wàn)能逼近特性和模糊基函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且有效降低預(yù)測(cè)控制在線優(yōu)化的計(jì)算量.通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提出控制器設(shè)計(jì)方法的有效性.

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（編輯 苗秀芝）

Adaptive fuzzy backstepping predictive control for a class for nonlinear systems with model uncertainty

ZHENG Lan1，ZHOU Weidong1，LIAO Chengyi1，CHENG Hua2
（1.College of Automation，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China；2.Qiqihaer jianhua machinery co.，LTD，161006 Qiqihaer，Heilongjiang，China）

To overcome the tracking control problem for a class of strict?feedback nonlinear system with model uncertain，an adaptive fuzzy backstepping predication control algorithm which can make the closed?loop system stable and minimize the receding horizon guaranteed cost on?line is proposed.Fuzzy logic systems are employed to approximate the unknown term in the design process.As the adaptive parameter are directly used to estimate the norm of the optimal approximation weight vector，only one parameter need to be tuned on?line.Considering the property of the fuzzy basis function，the designed control laws and adaptive laws do not contain the fuzzy basis function term.Theoretically，it is proved that the using the constructed controller can guarantee that all signals in closed?loop are semi?globally uniformly ultimately bounded，and the tracking error convergence to a small neighborhood of the origin.As the form of the controller designed in this way is simplicity and the computation is small，this control strategy is easily realized in practice.Finally，the simulation results demonstrate the feasibility of the proposed scheme.

model uncertain；receding horizon；fuzzy adaptive control；backstepping design；prediction control

TP273

：A

：0367-6234（2014）11-0107-05

2013-10-09.

國(guó)家自然科學(xué)基金（61102107；61374208）.

鄭 蘭（1982—），女，博士研究生；周衛(wèi)東（1966—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

鄭 蘭，zhenglan000＠163.com.