離散廣義分段仿射系統(tǒng)彈性H∞濾波器的設計

周振華，王 茂，王學翰

（1.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，150001哈爾濱；2.大慶油田電力集團燃機電廠，230604黑龍江大慶）

離散廣義分段仿射系統(tǒng)彈性H∞濾波器的設計

周振華1，王 茂1，王學翰2

（1.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，150001哈爾濱；2.大慶油田電力集團燃機電廠，230604黑龍江大慶）

為消除未知情況下外部干擾和測量噪聲對控制系統(tǒng)性能的不利影響，以一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)為模型，研究具有H∞性能指標漸近穩(wěn)定彈性濾波器的設計問題.通過采用廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)、投影定理以及幾個基本引理，提出了對于由所設計彈性濾波器構成的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)滿足魯棒H∞性能指標的反饋控制器設計方法.通過求解一組包含參變量的LMIs，可以得到保證廣義分段仿射系統(tǒng)具有H∞性能的反饋控制器增益和漸近穩(wěn)定彈性濾波器的待定系統(tǒng)矩陣，仿真結果證明了所提設計方法的有效性.

廣義分段仿射系統(tǒng)；彈性濾波器；分段Lyapunov函數(shù)；LMIs

目前，具有范數(shù)有界時變參數(shù)不確定性廣義分段仿射系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題越來越受到人們的關注［1-3］，但關于系統(tǒng)“軟測量技術”的研究鮮有報道.這樣的系統(tǒng)不但要求具有魯棒穩(wěn)定性，同時也需要利用系統(tǒng)的輸入輸出信息來重構系統(tǒng)的狀態(tài)向量［4］，這種處理方法的目的在于尋求一個漸近穩(wěn)定濾波器，使得由此構成的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，而且要求系統(tǒng)滿足一定的H∞性能指標［5-7］.

隨著廣義系統(tǒng)魯棒控制問題研究的深入，對其進行濾波器設計的相關研究也相繼取得了一些成果［8-10］，所做研究大多局限于連續(xù)系統(tǒng)，采用的方法主要是基于分段Lyapunov函數(shù)法以及一些相應線性矩陣不等式的處理方法［11-13］.然而，關于離散廣義分段仿射系統(tǒng)H∞濾波器設計方法的研究卻未見報道.王茂等［14］研究了一類具有參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制問題，將結果轉換為包含參變量的LMIs約束條件，得到欲尋求使閉環(huán)系統(tǒng)容許的反饋控制器增益.本文基于分段Lyapunov函數(shù)，投影定理以及幾個基本引理，在前人的基礎上引入彈性H∞濾波器設計方法對離散廣義分段仿射系統(tǒng)設計一個魯棒H∞濾波誤差動態(tài)系統(tǒng).

本文特點在于將一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)的彈性H∞濾波器設計方法進行考慮，以一些線性矩陣處理方法的基本引理為基礎，同時采用投影定理對系統(tǒng)的保守性進一步降低，使得由引入此濾波器而構成的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)滿足魯棒H∞性能指標.

1 問題描述及基礎知識

本文考慮的是一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的時變參數(shù)廣義分段仿射系統(tǒng)：

式中：χ（k）∈Rnχ為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u（k）∈Rnu為控制輸入向量；y（k）∈Rny為系統(tǒng)輸出向量；z（k）∈Rnz為可控輸出向量；w（k）∈Rnw且w（k）∈l2［0，∞）為擾動輸入；Ai，Bi，Ci，Di1，Di2，Li，bi，E為第i個子系統(tǒng)的已知定常系數(shù)矩陣；Ebi是偏置項；索引集合是I＝｛1，2，…，N｝；E∈Rnχ×nχ是廣義矩陣，且rank（E）＝r≤nχ；ΔAi和Δbi代表系統(tǒng)的不確定項，且滿足如下形式：

式中：Wi1，Ei1和Ei2是預先指定的定常實數(shù)矩陣，Δi（t）：Z＋→Rs1×s2是一個未知的實值時變矩陣函數(shù)，并且包含Lebesgue可測量元素，具有如下形式：

如果式（2）和式（3）成立，則稱系統(tǒng)具有容許的參數(shù)不確定性.

在子系統(tǒng)中，將多面體區(qū)域Ri過渡到區(qū)域Rj的集合用Ω表示，可以描述為

本文假設多面體區(qū)域Ri，i∈I具有形式：

該多面體區(qū)域可以進一步描述為一個橢圓集合，其中Fi＝2Ci／（βi-αi），fi＝-（βi＋αi）／（βi-αi），εi＝｛χ｜‖F(xiàn)iχ＋fi‖≤1｝，i∈I．

對于每個橢圓區(qū)域，可以得到：

進一步將狀態(tài)空間分為兩類區(qū)域I＝I0∪I1，I0代表包含原點的fTifi-1≤0索引集合區(qū)域，I1則代表其余的索引集合區(qū)域．

定義1［15］考慮參數(shù)不確定體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)（1），其中u（k）＝0．

i.如果存在z∈C使得det（zE-Ai）≠0，則稱廣義系統(tǒng)（1）是正則的，i∈I；

ii.如果deg（det（zE-Ai））＝rank（E），i∈I則稱系統(tǒng)（1）是因果廣義系統(tǒng)；

iii.用λ（E，Ai）表示離散廣義系統(tǒng)（1）的所有特征根，如果λ（E，Ai）?Dint（0，1），則稱（1）是穩(wěn)定的廣義系統(tǒng)；

iv.如果稱廣義系統(tǒng)（1）是容許的，則系統(tǒng)（1）必定正則、因果，而且是穩(wěn)定的；

v.用ν1表示矩陣束（E，Ai）的一階向量，且非零向量ν1滿足Eν1＝0，對于滿足Eνk＝Aivk-1的非零特征向量νk（k≥2），則稱為矩陣束（E，Ai）的k階特征向量．

引理1 對于適當維數(shù)實矩陣M＝MT、S、N和Δ（t），若滿足ΔT（t）Δ（t）≤I，則當且僅當存在某個標量ε＞0時：M＋SΔ（t）N＋NTΔT（t）ST＜0等價于M＋εSST＋ε-1NTN＜0．

引理2［16］（投影定理）：給定矩陣h＝hT∈Rn×n，u∈Rk×n和v∈Rm×n，則關于變量Δ的矩陣不等式h＋uTΔTv＋vTΔu＜0是LMI可解的，當且僅當：

1）若v⊥＝0，u⊥≠0，則uT⊥hu⊥＜0；

2）若u⊥＝0，v⊥≠0，則vT⊥hv⊥＜0；

3）若u⊥≠0，v⊥≠0，則uT⊥hu⊥＜0，vT⊥hv⊥＜0同時成立，u⊥，v⊥代表u和v的右正交核空間．

引理3［17］若ψ0（ξ），ψ1（ξ），…，ψp（ξ）為ξ∈Rn的二次仿射函數(shù)，其中ψi（ξ）＝ξTQiξ，i＝0，1，…，p，且Qi＝QTi．對于一組正數(shù)μ1，μ2，…，μp≥0，若對任意ξ∈Rn，式0成立，則對于滿足ψ1（ξ）≥0，ψ2（ξ）≥0，…，ψp（ξ）≥0的所有ξ∈Rn，有ψ0（ξ）≥0．

本文針對給定常數(shù)γ＞0，取z（k）為待估計信號向量，設計一個漸近穩(wěn)定的彈性H∞濾波器：

式中Af，Bf，Cf，Df為彈性濾波器的待定系數(shù)矩陣．漸近穩(wěn)定彈性H∞濾波器反饋環(huán)節(jié)不確定性BiΔKi＝Wi1Δi（t）Ei3，i∈I．

定義 ?χT（k）＝［χT（k）＾χT（k）］，則濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)方程如下：

式中：Ki為反饋控制增益，則本文所考慮彈性H∞濾波器設計問題是尋求濾波器（5），使得濾波動態(tài)誤差系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，且擾動w到估計誤差?z（k）＝z（k）-＾z（k）傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的常數(shù)γ．

2 主要結果

在本文中，假設系統(tǒng)輸入矩陣Bi，i∈I是列滿秩的，做此假設后，則可以找到一組轉換矩陣TBi∈Rnχ×nχ，i∈I，滿足：

式中TBi∈Rnχ×nχ非奇異，以下彈性H∞濾波器就是基于該假設進行設計的．

定理1 考慮參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)（1），若存在對稱正定矩陣另有對稱矩陣標量（i，j）∈Ω｝，實數(shù)γ∈R，∈Ω｝，以及濾波器待定參數(shù)矩陣，使得：

成立，則存在H∞漸近穩(wěn)定彈性濾波器（5），使得濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）是容許的，且擾動w到估計誤差傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的常數(shù)γ．

證明 首先，通過濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）的系統(tǒng)描述尋求適當?shù)腖yapunov函數(shù).選取廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)：

進一步構造ΔV（k）：

基于Lyapunov函數(shù)的定義，在零初始條件下，對于任意非零w（k）∈l2［0，∞），為使具有魯棒H∞性能指標γ的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，則只需保證以下不等式成立：

其中估計誤差?z（k）＝z（k）-＾z（k），根據(jù)系統(tǒng)（1）和線性濾波器（5）的定義，估計誤差可進一步寫成：

考慮濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6），對于任意非零w（k）∈l2［0，∞），式（8）可進一步等價于：

用矩陣形式將式（9）改寫，可進一步得到：

從式（10）可以得到：

假設矩陣束（ˉE，ˉA）是非因果的．用一階特征向量ν1和它的Hermitian矩陣ν1?分別左乘和右乘式（11）得ν1?ˉATPjˉAν1-ν1?ˉETPiˉEν1＜0．

接下來根據(jù)定義1，再用ˉEν2代替ˉAν1，并注意到ˉEν1＝0，可以得到ν2?ˉETPiˉEν2＜0．其與條件（7）相矛盾.所以矩陣束（ˉE，ˉA）是因果的．顯然，證明因果性的同時也證明了矩陣束（ˉE，ˉA）的正則性．

考慮區(qū)域信息，即將式（4）帶入式（10）并應用引理3，其中λij＜0，i∈I1，（i，j）∈Ω，得到：

對式（12）中各個矩陣進行合并，并先后應用2次Schur補引理，從式（13）可以得到：

另一方面，由于本文所考慮的廣義分段仿射系統(tǒng)具有參數(shù)不確定性，為消除不確定性給求解過程帶來的影響，將式（13）中的不確定性ΔAi和EΔbi分離出來，下面可以將式（13）改寫為

其中做了如下定義：

進一步得到：

定理得證.

定理2 考慮參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)（1），若存在對稱矩陣H1，H3∈Rnχ×nχ，標量

I1，使得式（7）成立，且滿足以下不等式：成立，則存在H∞漸近穩(wěn)定彈性濾波器（5），使得濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）是容許的，且閉環(huán)系統(tǒng)（6）具有魯棒H∞性能．

對任意矩陣N，

H∞濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)反饋控制器增益：

證明 首先，注意到作為定理1結論的線性矩陣不等式中，濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)的Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣相互耦合在一起，結合schur補引理，將式（14）改寫：

其中：

接下來應用投影定理消除式中Lyapuno矩陣和系統(tǒng)矩陣的耦合，這樣處理后的結果將不對濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣進行分解，將式（17）改寫為

基于投影定理，做如下變量替換：

應用引理2的投影定理，得到：

對矩陣Mi∈Rnχ×（3nχ＋nz＋nw＋nu＋1＋s1），i∈I1進行分塊：

將式（19）帶到式（18）中，并結合所有給定矩陣的定義，最終得到式（16）．可以看到條件（16）在Ebi＝0時，就是條件（15），所以不失一般性，此處只證明式（16）成立即可，第一部分證明結束．

3 數(shù)值仿真

為了驗證本文所提彈性H∞濾波器設計方法的實用性，以及定理2使得閉環(huán)系統(tǒng)保守性更小的結論，下面考慮一個實際物理映射，并將通過對其彈性H∞濾波器待定參數(shù)矩陣以及反饋控制增益的求取來證明結論．

以隧道二極管電路為例［18］，電容電壓用χ1（k）表示，電感電流用χ2（k）表示，流過隧道二極管的電流用χ3（k）表示．將擾動輸入取為隨時間延續(xù)不斷衰減的信號：w（k）＝e-5k，則離散化得到系統(tǒng)模型：

式中取系統(tǒng)狀態(tài)初始值為χ（0）＝（2.5，1，-1），其他參數(shù)取值如下：

橢圓體系數(shù)矩陣通過以下公式可計算得到：

式中：α1＝3，β1＝10，α2＝4，β2＝9．

應用定理1得到一組使濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）容許的彈性H∞濾波器反饋控制增益：

H∞干擾抑制度γ＝28.699 2．彈性H∞濾波器待定系數(shù)矩陣如下：

圖1為根據(jù)定理1得到的由彈性H∞濾波器所構成濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）的狀態(tài)響應曲線：

圖1 根據(jù)定理1得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線

應用定理2得到另一組使濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）容許的彈性H∞濾波器反饋控制增益：

H∞干擾抑制度γ＝9.145 9．彈性H∞濾波器待定系數(shù)矩陣如下：

圖2為根據(jù)定理2得到的由彈性H∞濾波器所構成濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）的狀態(tài)響應曲線．

圖2 根據(jù)定理2得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線

將之前給定的系統(tǒng)矩陣參數(shù)A1，A2再次進行賦值，其他參數(shù)不變，并重復之前步驟進行數(shù)值仿真，A1，A2取值如下：

仿真結果表明，基于定理1的控制方法不能使系統(tǒng)鎮(zhèn)定，即找不到相應的彈性H∞濾波器待定系數(shù)矩陣以及反饋控制增益使得濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）容許．而通過應用定理2，得到反饋增益

從仿真所得數(shù)據(jù)可以看到基于定理2的控制器設計方法在某些情況下確實使得系統(tǒng)保守性有所下降，原因在于系統(tǒng)矩陣和Lyapunov矩陣的耦合關系得以消除，使得這種處理方法不對系統(tǒng)矩陣進行分解，從而獲得了保守性更小的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6），所以相比較而言，在某些情況下，可以得到最優(yōu)解.

4 結 語

本文首先構造廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)，接下來應用投影定理以及幾個處理LMIs的基本引理，針對參數(shù)不確定體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散時間廣義分段仿射系統(tǒng)設計了使其閉環(huán)系統(tǒng)容許的彈性H∞濾波器，保證了由此構成的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)具有一定的魯棒性能.算法最終轉化為LMIs，討論了彈性H∞濾波器得以存在的LMIs約束條件，此種算法不對系統(tǒng)矩陣進行分解，并且消除與Lyapunov矩陣的耦合關系，達到減低算法保守性的目的，最后數(shù)值仿真給出了所涉及彈性H∞濾波器的最優(yōu)解，同時得到濾波器控制增益.數(shù)值仿真證明了該設計方法的有效性.

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（編輯 張 宏）

Design of resilient H∞filter for discrete?time piecewise?affine singular systems

ZHOU Zhenhua1，WANG Mao1，WANG Xuehan2

（1.Space Control and Inertial Technology Research Center，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China；2.Gas turbine power plant，Daqing oilfield electric，230604 Daqing，Heilongjiang，China）

This paper investigates the robust admissibility analysis and resilient filter controller synthesis for a class of discrete?time piecewise affine singular systems with asymptotic stability which possesses H∞performance is considered in this paper，in order to eliminate the adverse effects of external disturbances and measurement noise of control system performance.By using the piecewise?affine singular Lyapunov functions combined with Projection lemma and some basic lemmas，an approach of designing robust H∞feedback controller is given，the conclusions ensure resilient filtering error dynamic system possessing H∞performance. It is shown that the controller gains can be obtained by solving a family of LMIs parameterized by scalar variables.The feedback controller gain and resilient filter system matrix can ensure the stability of systems and guarantee the H∞performance of the piecewise?affine singular systems.Finally，the practicability of the proposed methodologies is confirmed via some simulation examples.

piecewise?affine singular systems；resilient filter；piecewise Lyapunov function；LMIs

TH13

：A

：0367-6234（2014）01-0008-09

2013-11-29.

國家自然科學基金（61004038）.

周振華（1983—），男，博士研究生；王 茂（1965—），男，教授，博士生導師.

周振華，zhouzhenhua99＠gmail.com.