超高層建筑結(jié)構(gòu)豎向地震響應(yīng)的譜單元分析

何 政，張昊強(qiáng)

超高層建筑結(jié)構(gòu)豎向地震響應(yīng)的譜單元分析

何 政，張昊強(qiáng)

（大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院，116024遼寧大連）

為研究脈沖型強(qiáng)震中的豎向分量對超高層建筑結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，針對常見的框架——核心筒體系，應(yīng)用譜單元分析其簡化的主結(jié)構(gòu)體系模型在脈沖型強(qiáng)震豎向分量作用下的波動效應(yīng)，并與基于振動力學(xué)的動力時(shí)程分析結(jié)果進(jìn)行比較.為反映結(jié)構(gòu)體系中巨型水平聯(lián)系構(gòu)件中剪切變形的影響，推導(dǎo)了考慮剪切變形的Timoshenko梁譜單元，豎向構(gòu)件的軸向反應(yīng)則用譜單元中的桿單元來模擬，在分析中通過對波動方程的修正來反映地震波傳播的時(shí)延性.算例分析結(jié)果表明：在脈沖型強(qiáng)震豎向分量作用下，豎向構(gòu)件的軸力波動較為明顯，內(nèi)部核心筒與外部巨型柱的相對錯(cuò)動效應(yīng)顯著，橫向構(gòu)件剪切問題不容忽視，此類損傷與后繼水平地震分量作用的非線性耦合效應(yīng)更須注意.

超高層建筑；脈沖型激勵(lì)；豎向地震；譜單元方法；波動效應(yīng)；剪切變形；Timoshenko梁

隨著高度的增大，超高層建筑結(jié)構(gòu)軸向剛度沿其平面分布以及樓層質(zhì)量分布的不均勻性呈現(xiàn)加劇趨勢，這些不均勻性使得結(jié)構(gòu)體系對脈沖型強(qiáng)震中的豎向分量更加敏感，且超高層建筑的高度較大導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的宏觀振動顯著滯后.加之，相比于剪切波（S波），傳遞速度更快的壓縮波（P波）能夠在更短時(shí)間內(nèi)將能量輸入給上部結(jié)構(gòu)，從而使結(jié)構(gòu)總體抗震性能存在隱患.在近斷層地區(qū)，較大V／H值（豎向分量與水平分量峰值加速度之比）或較大的脈沖型豎向地震分量均可造成這種脈沖波動效應(yīng)，體現(xiàn)在工程結(jié)構(gòu)上，可能會引起橋墩軸力的波動，進(jìn)而導(dǎo)致其剪切承載力的下降［1］，也可能引起一些結(jié)構(gòu)中不利的豎向相對錯(cuò)動效應(yīng)［2］.對于多塔結(jié)構(gòu)，其連體部分和懸臂部分的內(nèi)力響應(yīng)對豎向地震分量也較為敏感［3］.此外，這種分量也會使結(jié)構(gòu)梁柱節(jié)點(diǎn)處出現(xiàn)較大的動應(yīng)力集中［4］.

波譜單元（又簡稱譜單元）法是譜分析法、動態(tài)剛度法和有限單元法3種方法的優(yōu)勢集成，它結(jié)合了譜分析法中的波模態(tài)疊加、動力剛度法中的動力剛度矩陣形成以及經(jīng)典有限單元法的矩陣裝配和單元?jiǎng)澐?譜單元是以頻域波動方程為插值函數(shù)，以整個(gè)構(gòu)件為一個(gè)單元，具有較高的計(jì)算精度和較好的計(jì)算效率［5］，在波傳播相關(guān)研究中已有較多應(yīng)用，如復(fù)合板中波的傳播模擬［6］、板中損傷檢測［7］、多孔介質(zhì)中波的傳播模擬［8］、動態(tài)裂縫發(fā)展模擬［9］等等，這些研究大多聚焦于材料層面的分析.對于譜單元法在建筑結(jié)構(gòu)層面的應(yīng)用也有少量進(jìn)展，吳志靜［10］在應(yīng)用譜單元分析剛架結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，譜單元方法中的傅里葉變換可能會產(chǎn)生周期性問題，Igawa等［11］借助拉普拉斯變換解決了這一問題，張俊兵［12］研究發(fā)現(xiàn)，可以在單元?jiǎng)偠染仃囍型ㄟ^修改振動波數(shù)考慮阻尼效應(yīng).

擬針對超高層建筑結(jié)構(gòu)體系中常見的框架——核心筒體系展開相關(guān)研究.考慮到核心筒與外周巨型框架柱之間橫向聯(lián)系構(gòu)件的受力特點(diǎn)，結(jié)合譜單元方法，擬推導(dǎo)考慮剪切變形的Timoshenko梁譜單元，并通過修正波動方程以考慮P波在結(jié)構(gòu)傳播過程中的時(shí)間延遲，即時(shí)延性問題.為提高波動分析的計(jì)算效率，根據(jù)文獻(xiàn)［13-14］的建議方法，擬對此類結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行簡化，如圖1所示.

圖1 模型簡化示意

圖1中左側(cè)和右側(cè)軸向構(gòu)件分別代表核心筒和巨型框架柱，樓板以集中質(zhì)量表示，橫向聯(lián)系代表聯(lián)系核心筒和巨型框架柱的伸臂桁架.軸向構(gòu)件采用桿譜單元［11］來模擬，Timoshenko梁波譜梁單元模擬用來模擬構(gòu)件的轉(zhuǎn)動變形和橫向變形.由于結(jié)構(gòu)豎向剛度相對較大，結(jié)構(gòu)整體（尤其是主結(jié)構(gòu)）進(jìn)入彈塑性狀態(tài)的可能性不大，加之目前譜單元方法的材料非線性問題考慮尚不夠成熟，因此，本文僅考察結(jié)構(gòu)的彈性波動效應(yīng)，但分析結(jié)果仍有參考價(jià)值.

1 考慮剪切變形的Timoshenko梁譜單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)

考慮阻尼效應(yīng)和剪切變形的Timoshenko梁的轉(zhuǎn)動和平動振動微分方程

式中：y和yb分別為梁的總撓度和彎曲引起的撓度，則y-yb即為剪切變形引起的撓度；ρ為材料密度；A為截面面積；α為內(nèi)部粘滯阻尼系數(shù)；μ為截面剪切系數(shù)；G為剪切模量；I為截面慣性矩；E為彈性模量；c為外部粘滯阻尼系數(shù)，參考文獻(xiàn)［12］的作法，可直接建立波動阻尼和振動阻尼之間的等價(jià)關(guān)系，即c＝ρAa0，其中a0為比例質(zhì)量阻尼常數(shù).

為方便推導(dǎo)，忽略內(nèi)部粘滯阻尼，即令α＝0，對式（1）作拉普拉斯變換，得

式中ω為頻率.假定式（2）的一般解為

式中：a為常數(shù)向量；β為對角陣，β＝diag（βp）（p＝1，2，3，4）；k（ω）為振動波數(shù)（下文簡寫為k）.

將式（3）帶入式（2）可得

令η1＝ρIω2／E I，η2＝ρAω2／A Gμ，η3＝cω／E I，η4＝cω／AGμ，χ＝μA G／E I，η＝η1＋η2-η3-η4，κ＝η1η2-η2η3＋η3η4-η4η1.式（4）成立的條件是其左側(cè)矩陣行列式為零，即得

求解式（5）可得方程的根為

將式（6）中的kp（p＝1，2，3，4）代入式（4）中的第二式，可得βp＝（-η2＋η4）／i kp（p＝1，2，3，4）.由式（6）所得的4個(gè)振動波數(shù)來表示方程的解為

由式（7）得節(jié)點(diǎn)位移為

由式（8）變換得到

考慮荷載邊界條件，節(jié)點(diǎn)荷載位移見圖2.

圖2 梁單元

則由式（9）和式（10）結(jié)合得Timoshenko梁的譜單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

2 構(gòu)件單元?jiǎng)偠染仃?/h2>

計(jì)算豎向地震下超高層建筑結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，構(gòu)件的軸向變形不得不考慮，因此需要在單元?jiǎng)偠染仃囍刑砑虞S向變形分量.文獻(xiàn)［12］已經(jīng)推導(dǎo)了軸向變形構(gòu)件的單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

式中kr為構(gòu)件軸向振動波數(shù).在構(gòu)件單元?jiǎng)偠染仃囍薪Y(jié)合式（11）和式（12）即可得到考慮軸向變形、橫向變形和彎曲變形的構(gòu)件單元?jiǎng)偠染仃?

3 考慮時(shí)延性的動力方程

在一般動力學(xué)方程中考慮的是一致激勵(lì)輸入，即假定地震波同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)底部至頂部［15］，這是一種簡化的作法，與事實(shí)并不完全相符.地震動在任何一種介質(zhì)內(nèi)部傳播時(shí)都要經(jīng)歷一定的時(shí)間，即結(jié)構(gòu)各個(gè)部分的振動在時(shí)間上存在差異，即所謂的時(shí)延性.當(dāng)結(jié)構(gòu)高度較低或?qū)訑?shù)較少時(shí)，這種時(shí)延性并不突出，然而對于超高層建筑結(jié)構(gòu)來說，時(shí)延性的影響逐漸凸顯，無論是基于傳統(tǒng)的振動力學(xué)還是波動力學(xué)，均需要在振動方程的建立過程中作適當(dāng)考慮.據(jù)此，文中假定地震波通過每層所需要的時(shí)間均為Δt（層高除以地震波傳播速度），地震波到達(dá)上一層總比下一層滯后Δt，通過修正動力方程的右邊項(xiàng)，如下式所列：

式中：M、C和K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，xj是質(zhì)點(diǎn)j處位移，F(xiàn)是外部動力荷載，Δt是層間傳播所用時(shí)間.在進(jìn)行時(shí)域修正之后，再利用拉普拉斯變換或傅里葉變換將其轉(zhuǎn)換成頻域荷載.

4 譜單元法計(jì)算流程

圖3給出了超高層建筑結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下的譜單元分析流程，其中的拉普拉斯變換參考文獻(xiàn)［11］的作法，借助傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)，即使拉普拉斯變量s＝σ＋iω（ω是圓頻率，σ是變換實(shí)常數(shù)）.采用Matlab語言進(jìn)行編程，以算例5.2為例，程序由1個(gè)主程序和3個(gè)子程序構(gòu)成，主程序?yàn)榉治隽鞒炭刂瞥绦颍?個(gè)子程序分別用來形成左側(cè)柱、右側(cè)柱和橫向聯(lián)系梁的譜單元?jiǎng)偠染仃?為了保證收斂性，所有算例程序中拉普拉斯的復(fù)頻常數(shù)均取為4 096個(gè).

圖3 譜單元法計(jì)算流程

5 算例分析

為驗(yàn)證推導(dǎo)的Timoshenko梁譜單元，先將其應(yīng)用到懸臂梁動力響應(yīng)分析，通過與理論解析解對比自振頻率及自由端位移響應(yīng)來考察其準(zhǔn)確性和有效性.其后，再將其應(yīng)用于一個(gè)簡化的超高層框架——核心筒主結(jié)構(gòu)算例，研究結(jié)構(gòu)在脈沖型強(qiáng)震豎向分量下的動力響應(yīng)，包括相對錯(cuò)動效應(yīng)，軸力波動和橫梁剪切等.算例程序均采用MTALAB語言編寫.

5.1懸臂梁算例

圖4所示懸臂梁的幾何物理參數(shù)列于表1，梁右端作用集中荷載f（t），輸入如圖5所示阪神地震波，由拉普拉斯變換所得的采樣時(shí)間間隔Δt＝0.01 s，實(shí)常數(shù)變換為σ＝2π／（NΔt）.通過對懸臂梁進(jìn)行掃頻（0～1 000 rad）得到如圖6所示的頻率響應(yīng)曲線（簡稱頻響圖）.掃頻得到的懸臂梁前三階固有頻率與式（14）給出的理論解相當(dāng)相近.采用Timoshenko梁譜單元?jiǎng)偠染仃嚭臀墨I(xiàn)［12］中Euler梁譜單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算得到的懸臂梁自由端位移時(shí)程比較如圖7所示，兩種譜單元?jiǎng)偠染仃嚨玫降慕Y(jié)果吻合很好，都能較準(zhǔn)確地計(jì)算梁的動力響應(yīng)，只是在極值點(diǎn)處稍有差異.采用兩種譜單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算得到的自由端峰值位移隨跨高比的變化如圖8所示，當(dāng)跨高比小于10時(shí)，Timoshenko梁譜單元計(jì)算的峰值位移更大.由于此類梁考慮了剪切變形，因此對于模擬一些剪切效應(yīng)顯著的構(gòu)件更具針對性.

表1 懸臂梁參數(shù)

圖4 懸臂梁

圖5 阪神地震波

圖6 頻率響應(yīng)

圖7 懸臂梁自由端位移時(shí)程

圖8 懸臂梁自由端峰值位移隨跨高比的變化

5.2超高層建筑結(jié)構(gòu)算例

圖9所示一個(gè)主結(jié)構(gòu)為三層的簡化框架——核心筒計(jì)算模型，圖9中一個(gè)譜單元代表一個(gè)主結(jié)構(gòu)構(gòu)件，如核心筒、巨型框架柱和作為橫向聯(lián)系構(gòu)件的伸臂桁架，單元編號與幾何參數(shù)見圖9.仍以阪神地震波（圖5）作為輸入的豎向地震加速度時(shí)程，由于譜單元分析中頻域分析耗時(shí)較多且涉及大量時(shí)域分析與頻域分析的切換，計(jì)算效率較低，僅將輸入豎向地震動的幅值調(diào)至200 Gal，E取40 GPa，ρ＝2 500 kg／m3，波速4 000 m／s，則兩質(zhì)點(diǎn)間40 m需0.01 s的傳播時(shí)間.對于高度達(dá)到400 m的建筑，地震波在結(jié)構(gòu)中傳播一個(gè)來回需要0.2 s的時(shí)間，由此產(chǎn)生的時(shí)延性應(yīng)予以考慮.

圖9 簡化的高層算例

如圖10所示為計(jì)算得到的左側(cè)底層質(zhì)點(diǎn)位移時(shí)程響應(yīng)（通過該質(zhì)點(diǎn)的絕對位移時(shí)程與阪神地震動相應(yīng)的位移時(shí)程相減后的結(jié)果），與圖5相比發(fā)現(xiàn)，在峰值以及相位變化方面兩圖有顯著差別.圖10顯示底層核心筒最大豎向位移約為0.3 mm，按照彈性力學(xué)可近似求解得到該部位核心筒的軸力變化為ΔN＝E AΔL／L＝6 000 kN，由此計(jì)算得到的軸壓比變化約為Δn＝ΔN／fcA＝1.6%.需要指出的是，由于巨型構(gòu)件軸向剛度遠(yuǎn)大于其抗側(cè)剛度，200 Gal的地震動幅值顯得偏小，如果輸入地震動峰值加速度參考日本東北大地震記錄到的最大豎向地震動峰值（超過1 200 Gal），則底層巨型構(gòu)件的軸壓比變化可能在10%左右.如果再考慮后繼到達(dá)的水平分量，造成的耦合損傷可以預(yù)見.由于譜單元方法自身的計(jì)算特點(diǎn)，目前的應(yīng)用更多聚焦于彈性分析，針對彈塑性分析的譜單元仍在發(fā)展中.

圖10 左側(cè)底層質(zhì)點(diǎn)位移時(shí)程

圖11 頂層位移差時(shí)程

根據(jù)式（15）中構(gòu)件位移與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，可得圖9所示左側(cè)中間構(gòu)件位移時(shí)程.

圖11為不同剛度比下頂層兩質(zhì)點(diǎn)的相對位移（即位移差）時(shí)程，此處剛度比為下一層的軸向剛度與本層軸向剛度的比值［13］.由圖11可見，在不同剛度比下，頂層質(zhì)點(diǎn)位移差峰值存在相對明顯的變化，且最大位移差隨剛度比的增大而增大.當(dāng)剛度比為100∶1時(shí)，最大位移差約為0.35 mm.類似地，如果輸入地震動峰值進(jìn)一步加大的話，最大位移差也將同步放大，如果地震動峰值取1 200 Gal，按照彈性分析思路來外推，最大位移差可達(dá)2.1 mm，如此大的內(nèi)部核心筒與外部巨型柱的相對變形，會對連接兩者的橫向伸臂桁架產(chǎn)生累積剪切損傷，造成節(jié)點(diǎn)應(yīng)力集中.作為保障結(jié)構(gòu)體系抗側(cè)剛度的關(guān)鍵聯(lián)系構(gòu)件，橫向伸臂桁架的提前受損無疑會大大降低框架部分的框架作用，當(dāng)核心筒部分和框架部分的動力特性相差懸殊時(shí)（事實(shí)往往如此），損傷將會加重.當(dāng)后繼水平強(qiáng)震分量到來的時(shí)候，這種累積損傷將降低結(jié)構(gòu)的水平抗震能力.此外，圖11還顯示出對應(yīng)剛度比為5∶1的曲線與對應(yīng)其他兩種剛度比的曲線存在顯著相位差，這主要?dú)w因于剛度比和質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量對入射地震能量反射和透射的影響，詳細(xì)討論見文獻(xiàn)［13］.

本算例沒有考慮軸向剛度和質(zhì)量沿結(jié)構(gòu)高度不均勻變化對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，相關(guān)影響在文獻(xiàn)［13-14］中有詳盡討論，關(guān)于時(shí)延性的影響在文獻(xiàn)［14-15］中均有較詳細(xì)表述，在此不宜贅述.需要說明的是，算例中所取參數(shù)及得到的計(jì)算結(jié)果均是為了驗(yàn)證文中所提方法的有效性，在參數(shù)取值上進(jìn)行了簡化處理，出于計(jì)算效率的考慮，并沒有直接對實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，這也是后續(xù)針對算法優(yōu)化方面的研究重點(diǎn).

6 結(jié) 論

1）在超高層建筑結(jié)構(gòu)中，地震動在結(jié)構(gòu)傳播過程中的時(shí)延性問題需要認(rèn)真考慮，無論是基于傳統(tǒng)振動力學(xué)的平衡方程，還是以頻域形式表達(dá)的波動方程.

2）推導(dǎo)得到的Timoshenko梁譜單元可以考慮阻尼效應(yīng)，但不能直接得到阻尼系數(shù)，需要采用外部粘滯阻尼系數(shù)、內(nèi)部粘滯阻尼系數(shù)與瑞利阻尼比例常數(shù)之間的關(guān)系來建立波動阻尼和振動阻尼之間的等價(jià)關(guān)系.

3）在脈沖型強(qiáng)震豎向分量作用下，超高層建筑結(jié)構(gòu)存在較明顯的波動效應(yīng)，豎向結(jié)構(gòu)構(gòu)件的軸力存在一定的波動，尤其是底層豎向構(gòu)件的軸力變化需要額外關(guān)注.內(nèi)部核心筒與外部巨型柱的相對錯(cuò)動效應(yīng)不容忽視，這種錯(cuò)動效應(yīng)對承擔(dān)橫向聯(lián)系的伸臂桁架影響更須重視，特別要避免與后繼到來的強(qiáng)震水平分量作用下的損傷產(chǎn)生非線性耦合效應(yīng).

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（編輯趙麗瑩）

Spectrum elements for simulating responses of ultra high?rise building structures excited by vertical component of impulse?type strong earthquakes

HE Zheng，ZHANG Haoqiang
（Dept.of Civil Engineering，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China）

To investigate the influence of the vertical component of impulse?type strong earthquakes on the dynamic responses of ultra high?rise buildings，spectral elements are applied to analyze the wave effect of a simplified computational model for the main structure of typical frame core?wall structural system excited by the vertical component of impulse?type strong earthquakes.Then，the dynamic time?history results from this method are compared with those from classical vibration mechanics.In the wave propagation analysis，the spectral element using the Timoshenko’s beam theory is developed to reflect shear deformation in mega horizontal transverse link members.The axial responses of vertical members are modeled by rod spectral element and the dynamic wave equilibrium is modified to account for the time delay as earthquake waves propagating through structures.The results from examples analysis indicate obvious fluctuation of axial force in vertical members and significant relative displacement between core walls and external mega columns.Hence，shear problem in transverse link elements cannot be ignored.Such shear?induced damage would be nonlinearily coupled with the subsequent horizontal component of impulse?type strong earthquakes，requiring special attention.

ultra high?rise building；impulse?type excitation；vertical earthquake；spectral element method；wave propagation effect；shear deformation；Timoshenko beam

TU355

A

0367-6234（2014）08-0072-06

2013-08-05.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（90915005，91315301）；高等學(xué)校博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20120041110001）.

何 政（1971—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

何 政，hezheng1971＠126.com.