橢球、七參數(shù)與四參數(shù)同時(shí)解算方法研究與應(yīng)用

鄒俊平

(上海市測繪院,上海 200063)

橢球、七參數(shù)與四參數(shù)同時(shí)解算方法研究與應(yīng)用

鄒俊平?

(上海市測繪院,上海 200063)

測量應(yīng)用中,常常需要將RTK獲取的三維空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成當(dāng)?shù)馗咚蛊矫孀鴺?biāo)和高程。一般的轉(zhuǎn)換方法是采用空間七參數(shù)或平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型。因此為了實(shí)時(shí)獲取當(dāng)?shù)刈鴺?biāo),需要預(yù)先求取相應(yīng)的轉(zhuǎn)換參數(shù),這些參數(shù)包括橢球長半軸、橢球扁率和空間七參數(shù)或者平面四參數(shù)。本文研究實(shí)現(xiàn)了一種同時(shí)解算這13個(gè)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型,可根據(jù)具體應(yīng)用需要進(jìn)行自由求取。并以上海地區(qū)為例,解算了8種參數(shù)組合,分析比較了不同參數(shù)對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換;數(shù)據(jù)處理;空間七參數(shù);平面四參數(shù);地方坐標(biāo)

1 前 言

RTK測量獲得的WGS84坐標(biāo)通常需要轉(zhuǎn)換成地方平面坐標(biāo)和高程,以用于生產(chǎn)。為了實(shí)現(xiàn)地方平面坐標(biāo)和高程的實(shí)時(shí)獲取,需要預(yù)先求得相應(yīng)的轉(zhuǎn)換參數(shù)并設(shè)置在RTK流動(dòng)站設(shè)備中。根據(jù)RTK流動(dòng)設(shè)備的不同,這些參數(shù)可能包括橢球長半軸,橢球扁率,用于笛卡兒坐標(biāo)空間轉(zhuǎn)換的七參數(shù)或者平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中采用的四參數(shù)。目前絕大多數(shù)RTK流動(dòng)站設(shè)備都支持上述幾類參數(shù)組合。

一般的做法是將橢球長半軸、橢球扁率設(shè)置為當(dāng)?shù)赝队皺E球的參數(shù),在此基礎(chǔ)上根據(jù)RTK流動(dòng)設(shè)備的參數(shù)設(shè)置需要,可將測量獲得的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成笛卡爾空間坐標(biāo)并求取與當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)的空間轉(zhuǎn)換七參數(shù)或者進(jìn)行高斯投影后在平面上求取與當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)的平面轉(zhuǎn)換四參數(shù)。然而,這兩套參數(shù)往往不能同時(shí)求取,并且同一套參數(shù)可能不適用于所有的RTK流動(dòng)站設(shè)備。另外,采用七參數(shù)模式時(shí),7個(gè)參數(shù)之間存在群相關(guān),當(dāng)區(qū)域較小時(shí),求解七參數(shù)可能失敗。采用四參數(shù)模式時(shí),地圖投影變形的差異將不能估計(jì),區(qū)域越大,誤差越大。采用不同的轉(zhuǎn)換參數(shù),對(duì)結(jié)果的影響可達(dá)1 cm。

本文設(shè)計(jì)了同時(shí)解算此類轉(zhuǎn)換參數(shù)的統(tǒng)一模型,在這個(gè)模型中可同時(shí)解算包括橢球長半徑、橢球扁率、空間轉(zhuǎn)換七參數(shù)、平面轉(zhuǎn)換四參數(shù)在內(nèi)的13個(gè)參數(shù),也可根據(jù)具體需要單獨(dú)解算部分參數(shù)以解決RTK流動(dòng)站設(shè)備轉(zhuǎn)換參數(shù)設(shè)置差異的問題。本文以上海地區(qū)為例,分析各種參數(shù)組合對(duì)結(jié)果的影響。另外,該模型亦可用于區(qū)域最佳橢球投影面的求取。

2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型

RTK測得的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地方平面坐標(biāo)和高程的過程如下:

2.1 大地坐標(biāo)換算至空間坐標(biāo)

如果RTK測得的WGS84的大地坐標(biāo)為(B L H)T,那么其空間坐標(biāo)(X Y Z)T可由下式算得:

其中a為橢球長半軸,f為橢球扁率。

2.2 七參數(shù)轉(zhuǎn)換

通過七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型將(X Y Z)T轉(zhuǎn)換成當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)框架下的空間坐標(biāo)(X′ Y′ Z′)T,

上式中的(X0Y0Z0)T為空間平移量,k為空間尺度因子,αx、αy、αz為3個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角。

2.3 新的大地坐標(biāo)與投影坐標(biāo)

由式(1)的逆形式將當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)框架下的空間坐標(biāo)(X′Y′ Z′)T化算為大地坐標(biāo)(B′ L′ h′)T,然后通過高斯投影獲得當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)框架的平面坐標(biāo)(xg′ yg′)T。

2.4 求地方坐標(biāo)

地方坐標(biāo)與高斯投影后獲得的平面坐標(biāo)往往還存在一定差異,還需采用平面四參數(shù)模型建立二者的關(guān)系:

上式中的(x0y0)T為平面平移量,k1為平面尺度因子,α為平面旋轉(zhuǎn)角。

由(xg′ yg′)T求(xgyg)T的反算公式為:

3 全參數(shù)求解數(shù)學(xué)模型

以上計(jì)算流程表示為關(guān)系式:

上式函數(shù)f()代表前面從WGS84大地坐標(biāo)(B L H)T轉(zhuǎn)換為當(dāng)?shù)仄矫孀鴺?biāo)(xgygh′)T的整個(gè)過程。式(5)中總共包含13個(gè)參數(shù)。

為求解這13個(gè)參數(shù),將式(5)進(jìn)行線性化,可寫成誤差方程:

上式中的系數(shù)陣可采用數(shù)值導(dǎo)數(shù)方法求得[6],組成法方程迭代至收斂即可解得所有參數(shù)。由于某些參數(shù)在計(jì)算中起的作用相同或相近,因此13個(gè)參數(shù)不能同時(shí)解算,例如a與k完全相關(guān),a與k1相關(guān)性很大[5]。

4 算 例

以上海地區(qū)為例,表1為選取測試區(qū)域的經(jīng)緯度范圍。

表1 上海地區(qū)經(jīng)緯度范圍

在上海地區(qū)建有9個(gè)CORS站,并有一個(gè)IGS站(SHAO),這10個(gè)點(diǎn)既有大地坐標(biāo)又有當(dāng)?shù)仄矫孀鴺?biāo)和高程。由10個(gè)公共點(diǎn),按不同方案計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù),各方案解算的參數(shù)如表2所示。

轉(zhuǎn)換殘差是衡量轉(zhuǎn)換參數(shù)的主要標(biāo)準(zhǔn)之一,下表3是方案1的轉(zhuǎn)換殘差,各個(gè)解算方案的殘差中誤差列于表2中。

表2 轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算方案

表3 方案1的轉(zhuǎn)換殘差

為了評(píng)價(jià)不同轉(zhuǎn)換參數(shù)對(duì)上海地區(qū)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響,將上海地區(qū)按10′×10′劃分格網(wǎng),將各格網(wǎng)點(diǎn)的經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換至地方坐標(biāo),不同轉(zhuǎn)換參數(shù)求得的平面坐標(biāo)和高程不相同,表4列出了各解算方案與方案1轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的點(diǎn)位差。

表4 轉(zhuǎn)換結(jié)果與方案1的點(diǎn)位差

將各方案解算得到的格網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)與方案1相比,差異如圖1、圖2所示:

圖1 方案2算得坐標(biāo)與方案1算得坐標(biāo)點(diǎn)位差(單位/m)

圖2 方案3-8算得坐標(biāo)與方案1算得坐標(biāo)點(diǎn)位差(單位/m)

為評(píng)價(jià)目前RTK流動(dòng)站主要采取的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方式在上海區(qū)域的差異,選取方案2和方案3與方案1相比坐標(biāo)差結(jié)果,結(jié)合上海地區(qū)的區(qū)域分布,獲得上海地區(qū)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換點(diǎn)位差異分布,如圖3、圖4所示。

圖3 方案2算得坐標(biāo)與方案1算得坐標(biāo)點(diǎn)位差在上海地區(qū)的分布(單位/mm)

圖4 方案3算得坐標(biāo)與方案1算得坐標(biāo)點(diǎn)位差在上海地區(qū)的分布(單位/mm)

方案2與方案1的區(qū)別在于是否將橢球扁率作為未知參數(shù)進(jìn)行求解,方案3與方案1的區(qū)別其實(shí)是常用的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四參數(shù)模型與七參數(shù)模型的區(qū)別。從算例分析,因橢球扁率的變化必然引起高斯平面坐標(biāo)的顯著變化,雖然依據(jù)各坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)之間存在一定的相關(guān)性能對(duì)不同參數(shù)造成的影響進(jìn)行修正,但對(duì)應(yīng)于顯著性的變化很難進(jìn)行平滑擬合。因此,圖3呈現(xiàn)出沿高斯投影中央子午線成對(duì)稱趨勢,該差異主要是高斯投影差異的體現(xiàn)。而將高斯投影參數(shù)固定后的方案3和方案1相比,因?yàn)椴捎猛瑯拥母咚雇队皡?shù),故而在上海這樣的小范圍區(qū)域,該差異僅體現(xiàn)為空間坐標(biāo)與高斯平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換精度誤差。

5 結(jié) 論

本文介紹了RTK構(gòu)建橢球參數(shù)、七參數(shù)與四參數(shù)同時(shí)解算的數(shù)學(xué)模型和解算方法。該方法可用于不同RTK流動(dòng)站軟件的不同參數(shù)設(shè)置。

以上海地區(qū)為例,解算了八種參數(shù)組合,并采用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較,從坐標(biāo)差異性的分布來看存在東西對(duì)稱的分布特點(diǎn),就上海區(qū)域而言平面四參數(shù)模型與空間七參數(shù)模型差異不明顯,其余各種參數(shù)組合對(duì)點(diǎn)位結(jié)果的影響可達(dá)厘米級(jí)。該方法對(duì)于建立城市獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)與國家CGCS2000的轉(zhuǎn)換關(guān)系具有現(xiàn)實(shí)意義?？紤]到GNSS應(yīng)用的逐漸深入,涉及高程的七參數(shù)模型在RTK、似大地水準(zhǔn)面精化模型應(yīng)用更具有實(shí)際意義。通過本文算例分析,在上海地區(qū)求取上海獨(dú)立坐標(biāo)系與CGCS2000的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可采用方案1 (七參數(shù)模型)。

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Determine Earth Ellipsoid Together With Seven and Four Transformation Parameters

Zou Junping
(Shanghai Municipal Institute of Surveying and Mapping,Shanghai 200063,China)

In surveying applications,the positioning results obtained from GPS RTK are usually presented in local plane coordinate and height respectively.Some pre-setting parameters including the semimajor axis,oblateness of the earth ellipsoid,cartesian seven-parameters of transformation,and four-parameters for plane coordinate transformation are needed.In this paper,a method to solve all these 13 parameters in one model is introduced.Eight groups of parameter combination are solved for Shanghai area and the differences of results were compared.

coordinate transformation;data processing;seven-parameters of transformation;four-parameters for plane coordinate transformation;Local coordinates

2014—05—06

鄒俊平(1982—),男,工程師,從事精密工程測量與GNSS應(yīng)用研究。