低快拍下MIMO雷達(dá)收發(fā)角度聯(lián)合估計(jì)方法

王咸鵬，王 偉，馬躍華，王君祥

（哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001）

低快拍下MIMO雷達(dá)收發(fā)角度聯(lián)合估計(jì)方法

王咸鵬，王 偉，馬躍華，王君祥

（哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001）

在多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)中，基于二階統(tǒng)計(jì)特性的子空間角度算法在低快拍條件下的估計(jì)性能急驟下降，甚至在單快拍時(shí)失效。針對該問題，提出一種擴(kuò)展陣列孔徑的二維聯(lián)合空間平滑多目標(biāo)波離方向（DOD）和波達(dá)方向（DOA）估計(jì)方法。該算法對MIMO雷達(dá)的發(fā)射端和接收端進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑，并利用MIMO雷達(dá)虛擬陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性對陣列孔徑進(jìn)行擴(kuò)展，然后根據(jù)ESPRIT算法獲得目標(biāo)的DOD和DOA，且DOD和DOA自動(dòng)配對。與基于二階統(tǒng)計(jì)特性的子空間算法相比，且所提算法在低快拍條件下具有更加優(yōu)越的角度估計(jì)性能，因所提算法能夠適用于單快拍條件。仿真結(jié)果表明了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

MIMO雷達(dá)；雙基地；角度估計(jì)；空間平滑；孔徑擴(kuò)展

多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達(dá)是最近幾年國際雷達(dá)領(lǐng)域界提出的一種新體制雷達(dá)，目前已經(jīng)成為雷達(dá)界的一個(gè)熱點(diǎn)研究問題［1-3］。與傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)相比，MIMO雷達(dá)利用多個(gè)發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的波形，并利用多個(gè)接收陣元接收回波信號，同時(shí)利用發(fā)射信號的波形分集對接收信號進(jìn)行聯(lián)合處理，具有更多的自由度、更高的空間角度分辨以及更好的角度估計(jì)性能等優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列結(jié)構(gòu)，將MIMO雷達(dá)分為兩大類：統(tǒng)計(jì)MIMO雷達(dá)［2］和相干MIMO雷達(dá)［3］。統(tǒng)計(jì)MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列為分布式配置，從不同方向?qū)臻g目標(biāo)進(jìn)行觀測獲得空間分集，從而可以抑制目標(biāo)的閃爍特性。相干MIMO雷達(dá)（雙基地MIMO雷達(dá)和單基地MIMO雷達(dá)）的收發(fā)陣列采用集中式配置，發(fā)射陣元和接收陣元的間距一般小于或等于半個(gè)波長。相干MIMO雷達(dá)利用發(fā)射波形的正交性對接收信號進(jìn)行處理，獲得一個(gè)大孔徑的虛擬陣列，因此具有更高的角度分辨率和更多的自由度。本文是對雙基地相干MIMO雷達(dá)展開研究。

目前對于MIMO雷達(dá)的研究主要集中在波形設(shè)計(jì)［4］，波束合成［5］，角度估計(jì)［6］以及目標(biāo)成像［7］等方面。針對角度估計(jì)問題，在雙基地MIMO雷達(dá)中，由于接收信號同時(shí)包含目標(biāo)的波離方向（direction of departure，DOD）和波達(dá)方向（direction of arrival，DOA），因此可以估計(jì)出目標(biāo)的DOD和DOA。目前，針對MIMO雷達(dá)的DOD和DOA估計(jì)問題，已經(jīng)提出了一些算法［8-12］。文獻(xiàn)［8-9］提出了基于二維空間譜搜索（Capon，MUSIC）的DOD和DOA估計(jì)方法，但這些算法運(yùn)算復(fù)雜度高。為了降低運(yùn)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)［10-11］將旋轉(zhuǎn)不變子空間算法 （ESPRIT）分別應(yīng)用在MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列，不需要空間譜搜索實(shí)現(xiàn)了MIMO雷達(dá)的DOD和DOA估計(jì)。文獻(xiàn)［12］利用多級維納濾波器的前向遞推獲得MIMO雷達(dá)的信號子空間，避免了協(xié)方差矩陣的特征值分解，進(jìn)一步降低了運(yùn)算復(fù)雜度。令一方面，文獻(xiàn)［13-14］將非圓信號考慮到MIMO雷達(dá)中，并提出了共軛旋轉(zhuǎn)不變子空間算法（conjugate ESPRIT，C-ESPRIT），C-ESPRIT算法提高了目標(biāo)的角度估計(jì)性能同時(shí)能夠探測更多的目標(biāo)。但以上這些算法都是基于接收信號的二階統(tǒng)計(jì)特性，在低快拍下角度的估計(jì)性能會嚴(yán)重下降，甚至在單拍時(shí)失效?？臻g平滑算法［15］是一種低快拍下有效的預(yù)處理方法，但是以損失陣列孔徑為代價(jià)。本文提出一種擴(kuò)展陣列孔徑的二維聯(lián)合空間平滑DOD和DOA聯(lián)合估計(jì)算法，該算法通過對收發(fā)陣列進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑，并利用MIMO雷達(dá)虛擬陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性進(jìn)行陣列擴(kuò)展，提高了角度的空域分辨。

1 信號模型

雙基地MIMO雷達(dá)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，發(fā)射陣列和接收陣列分別由M個(gè)陣元和N陣元的均勻線性陣列構(gòu)成，且所有的陣列天線均為全向天線，發(fā)射和接收陣元距分別表示為dt和dr，圖1。

圖1 雙基地MIMO雷達(dá)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Principle diagram of bistatic MIMO radar

發(fā)射陣列同時(shí)發(fā)射一組相互正交的信號，且假設(shè)信號的多普勒頻移對信號正交性沒有影響。假設(shè)存在P個(gè)相互獨(dú)立的目標(biāo)，且第p個(gè)目標(biāo)的空間位置為（φp，θp），其中φp和θp分別表示目標(biāo)的DOD和DOA，則接收端接收的回波可表示為［12］

式中：ar（θ） ＝ ［1 ej（2π／λ）drsinθ… ej（2π／λ）（N－1）drsinθ］T為N×1維的接收陣列導(dǎo)向矢量，λ為載波的波長；at（φ） ＝ ［1 ej（2π／λ）dtsinφ… ej（2π／λ）（M－1）dtsinφ］T為M ×1維的發(fā)射陣列導(dǎo)向矢量；ap和ej2πfp（t）分別為第p個(gè)目標(biāo)的散射系數(shù)和多普勒頻率；S（t）＝［s1（t） … sM（t）］T為 M ×1的正交發(fā)射波形；n（t）為N×1的零均值高斯白噪聲。利用發(fā)射波形的正交性與接收信號進(jìn)行匹配濾波處理，那么第m（1≤m≤M）個(gè)匹配濾波器的輸出可以表示為

式中：Ar（θ）＝ ［ar（θ1） … ar（θP）］為M×P發(fā)射導(dǎo)向矩 陣；Dm＝ diag（atm（φ1） … atm（φP））， 其 中atm（φ） 為 at（φ） 中 的 第 m 個(gè) 元 素，H（t） ＝［a1ej2πf1（t）… aPej2πfP（t）］T為匹配濾波后的信號矩陣，n－k（t）為經(jīng)過第m個(gè)匹配濾波器后的高斯白噪聲矢量。經(jīng)過M個(gè)匹配濾波器后，陣列信號可表示為

對式（3）進(jìn)行列堆棧，則有

式中： A（φ，θ） ＝ ［a（φ1，θ1） … a（φP，θP）］ 為MN×P維的發(fā)射－接收聯(lián)合導(dǎo)向矩陣；a（φ1，θ1）＝at（φ）?ar（θ）為MN×1的發(fā)射－接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量， ? 表 示 Kronecker 乘 積； N（t） ＝為MN ×1維的高斯白噪聲矢量。在快拍數(shù)為K時(shí)，接收數(shù)據(jù)可表示為

2 低快拍下收發(fā)角度聯(lián)合估計(jì)方法

在本節(jié)中，首先對MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑預(yù)處理，推導(dǎo)出MIMO雷達(dá)虛擬陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性，并對陣列孔徑進(jìn)行擴(kuò)展；然后給出陣列孔徑擴(kuò)展后的DOD和DOA估計(jì)的過程，最后總結(jié)該算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟和給出雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)的克拉美羅界（CRB）。

2.1 二維聯(lián)合空間平滑算法

根據(jù)MIMO雷達(dá)發(fā)射－接收導(dǎo)向矢量的結(jié)構(gòu)，對MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑預(yù)處理，在單快拍條件下獲得接收數(shù)據(jù)矩陣Yss（t）。令二維聯(lián)合空間平滑后發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)分別為Msub和Nsub，則發(fā)射端和接收端的平滑次數(shù)分別滿足LM＝M－Msub＋1和LN＝N－Nsub＋1。那么MIMO雷達(dá)的二維聯(lián)合空間平滑矩陣可表示為

式中：

利用空間平滑矩陣對單快拍接收信號進(jìn)行處理，則Yss（t）可表示為

式中：

Λ ＝ diag（H（t）） 為信號矩陣， Nss（t） 為MsubNsub×LMLN維的高斯白噪聲。

根據(jù)式（8）進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑后，新的發(fā)射－接收導(dǎo)向矩陣為

在快拍數(shù)為K時(shí)，利用空間平滑矩陣對每拍接收信號進(jìn)行處理，則

式中：Xss（t）為K拍接收數(shù)據(jù)經(jīng)過二維聯(lián)合空間平滑預(yù)處理后的數(shù)據(jù)矩陣，Λ ＝ ［Λ（1），…，Λ（K）］ ，其中Λ（i）＝diag［H（ti）］，（1≤i≤K）為第i拍的信號矩陣，［Nss（t1），…，Nss（tK）］ 。

由式（10）、（11）可知，對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行二維空間平滑處理后，MIMO雷達(dá)的虛擬陣列由Msub個(gè)發(fā)射陣元和Nsub個(gè)接收陣元組成。由于Msub＜M和Nsub＜N，因此MIMO雷達(dá)虛擬陣列孔徑和自由度均損失，直接將ESPRIT算法應(yīng)用到數(shù)據(jù)矩陣Xss（t）進(jìn)行DOD和DOA估計(jì)的性能下降。下面利用MIMO雷達(dá)虛擬的旋轉(zhuǎn)不變特性對陣列孔徑進(jìn)行擴(kuò)展，獲得一種擴(kuò)展孔徑的二維空間平滑算法。

2.2 擴(kuò)展陣列孔徑的二維空間平滑算法

定義1 若一個(gè)線性陣列q×q維的導(dǎo)向矩陣A滿足IIqA*＝AΩ，其中IIq為q×q維的反對角置換矩陣，它的反對角線上元素全為1，其他位置元素全為0，Ω為酉對角矩陣，即滿足ΩHΩ ＝Ω－1Ω，則稱該線性陣列為centro-symmetric陣列，具有旋轉(zhuǎn)不變特性。

命題1 MIMO雷達(dá)的虛擬陣列具有旋轉(zhuǎn)不變特性。

證明 根據(jù)式（4）中MIMO雷達(dá)的發(fā)射－接收導(dǎo)向矩陣的結(jié)構(gòu)，則

對接收信號進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑預(yù)處理后，式（11）中矩陣Asub和矩陣滿足：

式中：＝diag［exp［－j（2π／λ）（（Nsub－1）drsin θ1＋（Msub－1）dtsinφ1）］，…，exp［－j（2π／λ）（（Nsub－1）drsinθP＋（Msub－1）dtsinφP）］］，＝diag exp［－j（2π／λ）（（LN－1）drsinθ1＋（LM－1）dtsinφ1）］，…，exp［－j（2π／λ）（（LN－1）drsinθP＋（LM－1）dtsinφP）］）。

由式（13）和命題1可知，矩陣Asub和均具有旋轉(zhuǎn)不變特性。利用矩陣Asub和的結(jié)構(gòu)對二維聯(lián)合空間平滑預(yù)處理后的數(shù)據(jù)矩陣Xss（t）進(jìn)行擴(kuò)展，則

式中：AE是MIMO雷達(dá)一個(gè)新的發(fā)射－接收導(dǎo)向矩陣，其維數(shù)為 2MsubNsub×P。通過對數(shù)據(jù)矩陣Xss（t）進(jìn)行擴(kuò)展后，MIMO雷達(dá)的虛擬陣元數(shù)由原來的MsubNsub增加到2MsubNsub，即擴(kuò)展了MIMO雷達(dá)的虛擬陣列孔徑，增加了其自由度。擴(kuò)展后接收數(shù)據(jù)XE的協(xié)方差矩陣為

式中： Φt＝ diag（e－j（2π／λ）dtsinφ1，…，e－j（2π／λ）dtsinφP） ，即對角矩陣Φt包含所求的DOD角度信息。將發(fā)射－接收導(dǎo)向矩陣AE進(jìn)行另外分割為：AE3＝D3AE和 AE4＝D4AE，其中和分別為選擇矩陣，diagMsub［INsub－1，O（Nsub－1）×1］，diagl［r］表示一個(gè) l塊的塊對角矩陣，每塊元素為r。則AE3和AE4存在如下旋轉(zhuǎn)不變特性：

式中： Φr＝ diag（e－j（2π／λ）drsinθ1，…，e－j（2π／λ）drsinφP） ，即對角矩陣中Φr包含所求的DOD角度信息。由式（16）和（17）可知，對于DOD和DOA的求解關(guān)鍵在于對對角矩陣Φt和Φr的求解。信號子空間和發(fā)射－接收導(dǎo)向矩陣的關(guān)系可表示為：Us＝AET。結(jié)合Us＝AET、式（16）、（17），則

式中：Ψt＝T－1ΦtT，Ψr＝T－1ΦrT。 Ψt和Ψr可通過對式（18）進(jìn)行最小二乘法或總體最小二乘法求解獲得，同時(shí)注意到Ψt和Ψr具有相同的特征向量，因此利用特征向量實(shí)現(xiàn)DOD和DOA的自動(dòng)配對。令為Φt的估計(jì)值，則對Ψt進(jìn)行特征值分解可表示為

2.3 算法步驟及克拉美羅界（CRB）

綜上所述，將所提的低快拍下MIMO雷達(dá)的收發(fā)角度聯(lián)合估計(jì)算法步驟總結(jié)如下：

1）利用發(fā)射信號波形的正交性對接收信號進(jìn)行匹配濾波，獲得式（5）的信號數(shù)據(jù)矩陣X（t）；

2）對接收數(shù)據(jù)X（t）的預(yù)處理獲得式（11）的數(shù)據(jù)矩陣Xss（t）；

3）根據(jù)式（14）對數(shù)據(jù)矩陣Xss（t）進(jìn)行擴(kuò)展，獲得擴(kuò)展陣列孔徑后的數(shù)據(jù)矩陣XE；根據(jù)式（15）計(jì)算XE的協(xié)方差矩陣RE，并對其進(jìn)行特征值分解獲得信號子空間Us；

4）對式（18）進(jìn)行求解獲得矩陣 Ψt和 Ψr，對Ψt進(jìn)行特征值分解獲得對角矩陣 ＾Φt，并根據(jù)式（20）求解對角矩陣

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，給出雙基地MIMO雷達(dá)的角度估計(jì)CRB為

其中，dp（p＝ 1，2，…，P）為dp＝ at′（φ）?ar（θ）＋at（φ）?ar′（θ），at′（φ）＝ ?at（φ）／?φ，ar′（φ）＝ ?ar（φ）／?θ。

3 算法仿真及性能分析

下面對所提算法的有效性和優(yōu)越性進(jìn)行仿真和分析。在仿真中，將所提算法的角度估計(jì)性能與文獻(xiàn)［10］的ESPRIT算法、將ESPRIT算法應(yīng)用到數(shù)據(jù)矩陣Xss（t）（記為：空間平滑－ESPRIT）的方法以及CRB進(jìn)行對比。在仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)存在P＝3個(gè)目標(biāo)，其角度為：（φ1，θ1）＝（－8°，10°），（φ2，θ2）＝（0°，0°），（φ3，θ3）＝（8°，－10°）。

這里定義角度估計(jì)值的均方根誤差為

式中：L1為Monte-Carlo試驗(yàn)次數(shù)；和分別為第p個(gè)目標(biāo)的第l1次Monte-Carlo試驗(yàn)DOD和DOA估計(jì)值，以下仿真實(shí)驗(yàn)的Monte-Carlo試驗(yàn)次數(shù)均為200。

圖2 本文算法收發(fā)角度估計(jì)結(jié)果Fig.2 The estimation results of the proposed method

圖2給出了在M ＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，SNR＝10 dB，快拍數(shù)分別為10和1的情況下，本文算法的收發(fā)角度估計(jì)結(jié)果。從圖2中可知，本文算法在低快拍條件下，甚至是單快拍條件下，目標(biāo)的收發(fā)角度都能夠估計(jì)出來，且收發(fā)角度自動(dòng)配對。

圖3給出了在M ＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，快拍數(shù)分別為 10和 1的情況下，本文算法、ESPRIT、空間平滑ESPRIT的角度均方根誤差以及雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)的CRB。從圖3（a）中可知，ESPRIT算法在低信噪比時(shí)已經(jīng)失效，空間平滑-ESPRIT算法的角度估計(jì)性能比ESPRIT優(yōu)越，而本文算法在不同的信噪比時(shí)的角度估計(jì)性能均優(yōu)于ESPRIT和空間平滑ESPRIT，并接近于CRB。從圖3（b）中可以看出，在單快拍時(shí)，ESPRIT算法已經(jīng)完全失效，空間平滑-ESPRIT算法在低信噪比時(shí)角度估計(jì)性能急驟下降，而本文算法比空間平滑-ESPRIT提供更好的角度性能，同時(shí)在高信噪比時(shí)接近于CRB。這是由于本文算法利用了MIMO雷達(dá)虛擬陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性擴(kuò)展了陣列孔徑，提高了角度的空域分辨率，改善了收發(fā)角度的估計(jì)性能，因此具有優(yōu)越的角度估計(jì)性能。

圖3 角度估計(jì)均方根誤差與SNR的關(guān)系Fig.3 The RMSE of angle estimation against

圖4 角度估計(jì)均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系Fig.4 The RMSE of angle estimation against snapshots

圖4則是M＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，快拍數(shù)不同的情況下，本文算法的角度估計(jì)性能。從圖4中可知，隨著快拍數(shù)的增加，本文算法的角度估計(jì)性能有所改善。

圖5則是M＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，K＝10，收發(fā)陣列的陣元數(shù)不同的情況下，本文算法的角度估計(jì)性能。從圖5可以看出，無論是發(fā)射陣列的陣元數(shù)還是接收陣列的陣元數(shù)增加，本文算法的角度估計(jì)性能均有所提升。由前面的理論分析可知，收發(fā)陣列的陣元數(shù)增加等效于增加了信號的快拍數(shù)，因此本文算法的角度估計(jì)性能得到提升。

圖5 角度估計(jì)均方根誤差與收發(fā)陣元數(shù)的關(guān)系Fig.5 The RMSE of angle estimation against different transmit／receive elements

4 結(jié)束語

本文提出一種低快拍下MIMO雷達(dá)的收發(fā)角度聯(lián)合估計(jì)算法。該算法對MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣列進(jìn)行二維聯(lián)合空間平滑預(yù)處理，同時(shí)利用MIMO雷達(dá)虛擬陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性擴(kuò)展陣列孔徑，提高了角度的空域分辨率。仿真結(jié)果表明，所提算法在低快拍下比ESPRIT和空間平滑-ESPRIT具有更好的角度估計(jì)性能，甚至在單快拍時(shí)，所提算法也能夠準(zhǔn)確的估計(jì)出收發(fā)角度，并提供良好的角度估計(jì)性能，而ESPRIT算法已經(jīng)失效。

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Joint DOD and DOA estimation for MIMO radar with lower snapshots

WANG Xianpeng，WANG Wei，MA Yuehua，WANG Junxiang
（College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The angle estimation performance of subspace algorithms based on the second order statistical characteristic is seriously descended with low snapshots in multiple-input multiple-output（MIMO）radar，even invalid with single snapshot.In order to solve this problem，a joint two-dimensional spatial smoothing multi-objective DOD and DOA estimation algorithm with enlarged array aperture is proposed.The proposed algorithm constructs a joint twodimensional spatial smoothing for both transmit array and receive array，and enlarges the aperture of array by exploiting the shift invariance property of the virtual array in MIMO radar.Then the DOD and DOA can be estimated by ESPRIT，which are paired automatically.Compared with the second order statistical characteristic based subspace algorithms，the proposed method provides better angle estimation performance with lower snapshots.Furthermore，the proposed method is suitable for single snapshot.Simulation results are presented to verify the effectiveness and advantages of the proposed method.

MIMO radar；bistatic；angle estimation；spatial smoothing；aperture extension

10.3969／j.issn.1006-7043.201306011

TN957.51

A

1006-7043（2014）09-1129-06

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20140904.1819.002.html

2013-06-03. 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-09-04.

新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃基金資助項(xiàng)目（NCET-11-0287）；中央高校基本業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（HEUCFX41308）；中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014M550182）；黑龍江省博士后特別資助項(xiàng)目（LBH-TZ0410）；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才資助項(xiàng)目（2013RFXXJ016）.

王咸鵬（1986-），男，博士研究生；王偉（1979-），男，教授，博士生導(dǎo)師.

王偉，E-mail：wangwei407＠hrbeu.edu.cn.