多管火箭彈射擊精度的復(fù)合形法優(yōu)化

王巍，陳衛(wèi)東，張寶財(cái)，吳限德，路勝卓，于佳

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

多管火箭武器以其射擊距離遠(yuǎn)、覆蓋面大、成本低廉和作戰(zhàn)效費(fèi)比高等特點(diǎn)成為國(guó)內(nèi)外研究的重點(diǎn)。多管火箭彈箭體間相對(duì)距離較近、多枚火箭彈處于同一發(fā)射平臺(tái)、相互間干擾嚴(yán)重，導(dǎo)致每枚火箭彈起始擾動(dòng)隨機(jī)性較大［1-2］，落點(diǎn)散布成為制約其性能的主要問(wèn)題。因此，對(duì)火箭彈的射序和射擊間隔進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，以期最大限度減小起始擾動(dòng)對(duì)落點(diǎn)散布的影響，以達(dá)到提高射擊精度的目的。射擊密集度是多管火箭武器系統(tǒng)主要的作戰(zhàn)性能指標(biāo)之一，發(fā)射動(dòng)力學(xué)理論與大量試驗(yàn)證明，彈箭起始擾動(dòng)是影響武器系統(tǒng)射擊密集度的主要因素之一，彈箭起始擾動(dòng)取決于武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境(如地面工況)及射擊間隔和發(fā)射順序設(shè)計(jì)。

本文在不改變武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境的前提下，采用復(fù)合形優(yōu)化算法，以射擊時(shí)間間隔和發(fā)射順序?yàn)樵O(shè)計(jì)變量，建立了多管火箭彈射擊密集度優(yōu)化模型，優(yōu)化得到現(xiàn)有的約束條件下最佳射擊時(shí)間間隔和順序，提高多管火箭彈射擊密集度。

1 影響射擊密集度的因素

射擊密集度是多管火箭彈的一個(gè)重要效能指標(biāo)，表征彈著點(diǎn)對(duì)于平均彈著點(diǎn)的密集程度，通常用其中間誤差E表示。影響射擊計(jì)密集度的主要因素包括多管火箭彈的各種隨機(jī)因素和武器系統(tǒng)的固有力學(xué)特性。前者是無(wú)法預(yù)先確定的，如陣風(fēng)、起始擾動(dòng)、推力偏心、質(zhì)量分布不均衡等;后者是可以預(yù)先確定的，如彈炮相互作用、火箭彈的裝填位置、射序等。對(duì)非隨機(jī)性擾動(dòng)因素的影響可以用彈道修正理論進(jìn)行修正，而對(duì)隨機(jī)性擾動(dòng)因素的影響，則無(wú)法修正。

在外彈道學(xué)中，如果火箭彈在標(biāo)準(zhǔn)條件下作無(wú)擾動(dòng)飛行，其彈道是確定曲線，稱為理想彈道。在理想彈道方程組中，沒(méi)有考慮的干擾因素稱為擾動(dòng)因素［3］。這些擾動(dòng)因素是受擾動(dòng)后的實(shí)際彈道諸元與理想彈道諸元之間產(chǎn)生偏差?；鸺龔椘鹗紨_動(dòng)指彈丸外彈道方程起始條件對(duì)應(yīng)的相關(guān)起始參量，作為6自由度剛體的彈丸方程有12個(gè)起始參量，即轉(zhuǎn)動(dòng)角、速度角、線位移、線速度各3個(gè)。起始擾動(dòng)包括起始擺動(dòng)角 Φ0、起始擺動(dòng)角速度、起始偏角Ψ0及其角速度以及起始線位移r0、線速度、自轉(zhuǎn)角γ0和自轉(zhuǎn)角速度。起始擾動(dòng)作為火箭彈自由飛行階段的起始條件，是影響射彈散布的一個(gè)主要原因。火箭彈起始擾動(dòng)是在發(fā)射過(guò)程中彈、炮、藥、環(huán)境等因素綜合影響的結(jié)果。任何火箭炮的動(dòng)態(tài)特性對(duì)于射擊密集度的影響，都必須通過(guò)火箭彈起始擾動(dòng)來(lái)反映。

發(fā)射動(dòng)力學(xué)理論與大量試驗(yàn)證明，彈箭起始擾動(dòng)是影響武器系統(tǒng)射擊密集度的主要因素之一，彈箭起始擾動(dòng)取決于武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境(如地面工況)及發(fā)射順序和射擊間隔設(shè)計(jì)，不同的地面剛度引起多管火箭彈系統(tǒng)振動(dòng)特性不同，不同的振動(dòng)特性直接影響著多管火箭彈的射擊密集度;多管火箭彈作為連射武器，射序和射擊間隔對(duì)多管火箭彈射擊密集度的影響非常大，這是因?yàn)橥婚T(mén)多管火箭彈在不同射序和射擊間隔發(fā)射時(shí)引起多管火箭彈系統(tǒng)的質(zhì)量分布和剛度分布等參數(shù)不同，從而引起其振動(dòng)特性不同，每一發(fā)火箭彈的發(fā)射初始條件亦不同，射擊頻率與固有振動(dòng)頻率、彈炮相互作用的位置及時(shí)間的匹配關(guān)系對(duì)其動(dòng)態(tài)性能的影響非常突出。

2 射序和射擊間隔優(yōu)化方案

多管火箭彈最佳射序和射擊間隔優(yōu)化設(shè)計(jì)方案由3部分組成，分別是優(yōu)化算法、外彈道模型和迭代仿真求解。其中，優(yōu)化算法包括射序優(yōu)化算法、射擊間隔優(yōu)化算法和同時(shí)考慮射序和射擊間隔的優(yōu)化算法;迭代仿真包括仿真結(jié)果分析和根據(jù)精度的設(shè)計(jì)變量更新策略。射序和射擊間隔優(yōu)化設(shè)計(jì)方案如圖1所示，時(shí)間約束、射擊順序約束、平臺(tái)約束和其他約束共同組成射擊約束。

圖1 射序和射擊間隔優(yōu)化設(shè)計(jì)方案Fig.1 Fire sequence and interval optimization scheme

3 射序和射擊間隔優(yōu)化算法

3.1 優(yōu)化模型的建立

最優(yōu)化問(wèn)題一般可表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式

式中:f(X)稱為目標(biāo)函數(shù)，用它來(lái)評(píng)價(jià)一個(gè)設(shè)計(jì)方案好壞的具體數(shù)值評(píng)判標(biāo)準(zhǔn);gi(X)≤0(i=1，2，…，m)稱為不等式約束條件，m為不等式約束條件的個(gè)數(shù);hj(X)≤0(j=1，2，…，l)稱為等式約束條件，l等式約束條件的個(gè)數(shù)。

對(duì)于多管火箭彈密集度優(yōu)化問(wèn)題，若建立優(yōu)化模型，則需要以下3個(gè)條件:1)可以更快更好的求解問(wèn)題的優(yōu)化算法;2)能夠評(píng)價(jià)多管火箭彈密集度大小的目標(biāo)函數(shù);3)符合實(shí)際要求的約束條件。

3.2 目標(biāo)函數(shù)建立

根據(jù)前面所述多管火箭彈射擊密集度優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)為離散函數(shù)，沒(méi)有具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，只可以通過(guò)計(jì)算，得到函數(shù)值的信息。而目標(biāo)函數(shù)值，多管火箭彈射擊密集度表征彈著點(diǎn)對(duì)于平均彈著點(diǎn)的密集程度，通常用彈著點(diǎn)的中間誤差E表示，可以通過(guò)下式計(jì)算:

式中:EX和EZ表示多管火箭彈的縱向和橫向密集度;n為射擊次數(shù);為火箭彈的縱向和橫向平均落點(diǎn)。

如前面所述，影響射擊密集度的主要因素包括多管火箭彈的各種隨機(jī)因素和武器系統(tǒng)的固有力學(xué)特性。前者是隨機(jī)的，不可預(yù)測(cè)，也不能夠改變;后者是確定性的，可以通過(guò)改變系統(tǒng)參數(shù)來(lái)提高密集度，其對(duì)射擊密集度的影響，必須通過(guò)火箭彈起始擾動(dòng)來(lái)反映，起始擾動(dòng)是影響武器系統(tǒng)射擊密集度的主要因素之一。

對(duì)于多管火箭彈的密集度優(yōu)化問(wèn)題，可以把影響密集度的主要因素起始擾動(dòng)作為設(shè)計(jì)變量，其中起始擾動(dòng)可抽象成12個(gè)參量，這些參量受彈炮結(jié)構(gòu)、射擊間隔和射擊順序共同影響。即:彈炮起始擾動(dòng)取決于武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)、發(fā)射環(huán)境(如地面工況)及發(fā)射順序和射擊間隔。鑒于對(duì)原有發(fā)射系統(tǒng)的兼容性，此處要求不改變武器發(fā)射系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)，同時(shí)還應(yīng)適應(yīng)各種作戰(zhàn)環(huán)境，所以通過(guò)設(shè)計(jì)射擊時(shí)間和順序，來(lái)提高多管火箭彈密集度。

傳統(tǒng)多管火箭彈的發(fā)射方式是，以一定射序、固定的射擊間隔發(fā)射，但是這種發(fā)射順序和射擊間隔不是最優(yōu)的。本文的目的是求解出最佳的發(fā)射順序和射擊間隔，與傳統(tǒng)發(fā)射方式不同的是，本文所尋求的射擊間隔不是固定的，而是可變的，每發(fā)火箭彈的射擊時(shí)間差都可能是不同的，所以提出一種數(shù)組變量表示方法，可以將射擊時(shí)間和發(fā)射順序表示在一個(gè)變量里。

射擊時(shí)間和發(fā)射順序兩個(gè)變量，前者是連續(xù)的，而后者是離散的，在一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)這樣兩個(gè)變量，使問(wèn)題變得復(fù)雜，對(duì)于40管火箭來(lái)說(shuō)，2個(gè)變量都是40維的，優(yōu)化問(wèn)題維數(shù)過(guò)高，便會(huì)增加求解問(wèn)題的難度，為了解決這一問(wèn)題，本文提出一種新的數(shù)組變量 X=(t1，t2，…，t40)，其中，ti(i=1，2，…，40)表示第i號(hào)火箭彈的射擊時(shí)間，而非射擊間隔?；鸺龔椀木幪?hào)原則遵循原有的發(fā)射順序，而非射擊間隔，如圖2所示，為某火箭武器的發(fā)射順序和裝填位置，根據(jù)火箭彈原有的發(fā)射順序進(jìn)行排序，記為(1，2，…，40)。這里，火箭彈的編號(hào)指的并不是按照2的發(fā)射順序進(jìn)行發(fā)射，而是以此發(fā)射順序?yàn)榛A(chǔ)，尋求比之更優(yōu)的發(fā)射順序。若i=5，則表示編號(hào)為5的火箭彈的射擊時(shí)間，而它的發(fā)射順序可以按照所有火箭彈的射擊時(shí)間排序來(lái)表示，所有ti(i=1，2，…，40)從小到大排列，若t5排在第10位，則表示編號(hào)為5的火箭彈的射序是10。所以X=(t1，t2，…，t40)既可以表示射擊時(shí)間，又可以表示射序，將連續(xù)變量和離散變量統(tǒng)一結(jié)合起來(lái)，大大的簡(jiǎn)化了優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜程度，使問(wèn)題更易于求解。

圖2 40管火箭武器的發(fā)射順序和裝填位置Fig.2 40-tube rocket firing sequence and load position

那么多管火箭彈密集度優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可以建立為

式中:X是表示射擊時(shí)間和順序的變量，為一數(shù)組X=(t1，t2，…，t40)，C 為影響密集度的其他量，為確定量。這里沒(méi)有考慮隨機(jī)因素的影響，因?yàn)樵诖_定性因素影響下的最優(yōu)解是考慮隨機(jī)性因素最優(yōu)解的必要解，所以不考慮隨機(jī)因素影響的最優(yōu)解也具有重要的意義。

3.3 約束條件確定與優(yōu)化模型

多管火箭彈密集度優(yōu)化問(wèn)題，其設(shè)計(jì)變量為射擊時(shí)間和射序，按照火箭彈的發(fā)射要求，同一時(shí)刻不能同時(shí)發(fā)射2枚或2枚以上火箭彈，而是逐一的發(fā)射，即發(fā)射順序是 (1，2，…，40)。而且火箭彈的射擊間隔，不能過(guò)長(zhǎng)，也不能過(guò)短，必須限制在一定時(shí)間內(nèi)。多管火箭彈的一個(gè)重要的戰(zhàn)術(shù)特點(diǎn)就是在短時(shí)間內(nèi)形成強(qiáng)大火力密度，所以射擊間隔過(guò)長(zhǎng)，就失去了這一戰(zhàn)術(shù)特點(diǎn)，那么多管火箭彈就和單管火箭沒(méi)有太大區(qū)別了。射擊間隔不能過(guò)短的原因是，考慮到發(fā)射頻率與武器系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率的匹配關(guān)系對(duì)其動(dòng)態(tài)性能的影響非常突出，和前一發(fā)火箭彈尾焰對(duì)空氣的擾動(dòng)對(duì)后一發(fā)火箭彈的彈道影響。

現(xiàn)行40管火箭射擊間隔為0.5 s，一輪齊射時(shí)間為20 s，為得到最優(yōu)解將齊射時(shí)間放寬為40 s。對(duì)于 X=(t1，t2，…，t40)，其滿足的條件是:

多管火箭彈密集度優(yōu)化模型建立如下:

式中:X是表示射擊時(shí)間和順序的變量，為一數(shù)組X=(t1，t2，…，t40)，C 為影響密集度的其他量，為確定量。

3.4 復(fù)合形計(jì)算過(guò)程

復(fù)合形法求解約束最優(yōu)化問(wèn)題的一種直接算法，是無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的單純形法的推廣。它只適用于只有不等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題，使用該法僅需比較目標(biāo)函數(shù)值即可決定搜索方向，算法較簡(jiǎn)單，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的要求不苛刻。

用單純形法求解約束最優(yōu)化問(wèn)題，在處理約束條件時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些困難。當(dāng)向邊界調(diào)優(yōu)時(shí)，單純形容易退化降維，當(dāng)反射點(diǎn)XR≈XC時(shí)，產(chǎn)生降維現(xiàn)象，就不能求得優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。復(fù)合形法是以n1個(gè)初始點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)不規(guī)則多面體，為防止退化降維現(xiàn)象，復(fù)合形多面體頂點(diǎn)個(gè)數(shù)n1要大于n+1，一般n+1＜n1≤2n。

復(fù)合形法尋優(yōu)方法主要工作是生成初始復(fù)合形和更新復(fù)合形。復(fù)合形法的基本思想是:在可行域內(nèi)構(gòu)造初始復(fù)合形，然后通過(guò)比較各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值，在可行域中找一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值有所改善的新點(diǎn)，并用其替換目標(biāo)函數(shù)值較差的頂點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形。不斷重復(fù)上述過(guò)程，復(fù)合形不斷變形、轉(zhuǎn)移、縮小，逐漸地逼近最優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)復(fù)合形各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值相差不大或者各頂點(diǎn)相距很近時(shí)，則目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點(diǎn)即可作為最優(yōu)點(diǎn)。為了減小計(jì)算變量，復(fù)合形法在尋優(yōu)過(guò)程中一般只以在可行域內(nèi)的反射作為基本搜索策略。

綜合來(lái)說(shuō)復(fù)合形法的算法思路清晰，容易掌握;不需要導(dǎo)數(shù)，不需作一維搜索，對(duì)函數(shù)形態(tài)沒(méi)有特殊要求;程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量不大;對(duì)初始點(diǎn)要求低，能較快地找到最優(yōu)解，算法較為可靠。求解時(shí)需給出變量取值區(qū)間及初始復(fù)合形;隨著變量維數(shù)增多計(jì)算效率明顯降低;對(duì)約束條件較多的非凸問(wèn)題，常出現(xiàn)多次向形心收縮，使收斂速度減慢。

復(fù)合形法的目標(biāo)函數(shù):

n個(gè)常量約束條件:ai≤xij≤bii=1，2，…，n。

k個(gè)函數(shù)約束條件:

復(fù)合形法的主要步驟如下:

1)初始復(fù)合形2n個(gè)頂點(diǎn)的產(chǎn)生

給定滿足約束條件的第一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo):

在n維變量空間中，確定出初始復(fù)合形其余2n－1個(gè)頂點(diǎn)，其方法如下:

按常量約束條件產(chǎn)生第j個(gè)頂點(diǎn)，Xj中分量值xij(i=1，2，...，n)為

其中:RN是［0，1］之間的偽隨機(jī)數(shù)。

顯然，由上述方法產(chǎn)生的初始復(fù)合形的各頂點(diǎn)滿足常量約束條件，在檢查它們是否滿足函數(shù)約束條件，如果不符合，則做出調(diào)整，直到全部滿足方可，其原則是:

假設(shè)前j個(gè)點(diǎn)已滿足所有約束條件，而第j+1個(gè)點(diǎn)不滿足約束條件，則作如下調(diào)整變換:

式中:T是前j個(gè)點(diǎn)的形心，表示為:

此過(guò)程一直到滿足約束條件為止。

初始復(fù)合形的2n個(gè)頂點(diǎn)確定以后，計(jì)算各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值:

2)求最壞點(diǎn)XR和次壞點(diǎn)XG

3)計(jì)算最壞點(diǎn)XR的反射點(diǎn)XT

式中:XF為去掉最壞點(diǎn)的其余點(diǎn)的形心XF=為大于零的反射系數(shù)，一般取α=1.3。

4)確定一個(gè)新的頂點(diǎn)代替最壞點(diǎn)XR構(gòu)成新的復(fù)合形。其方法如下:

如果f(XT)＞fG，則用下式修改XT:

直到f(XT)≤fG為止。

然后檢查XT是否滿足所有約束條件。如果某個(gè)分量XT(j)不滿足常量約束條件，即如果XT(j)＜aj或XT(j)＞bj，則另XT(j)＜aj+δ或δ為很小的常量，一般取δ=10-8，然后重復(fù)4)。

如果XT不滿足函數(shù)約束條件，則用下式修改XT:

重復(fù)4)，直到f(XT)≤fG且XT滿足所有約束條件為止。此時(shí)，令

重復(fù)2)～4)，直到復(fù)合形中各頂點(diǎn)距離小于預(yù)先給定的精度要求為止。

4 優(yōu)化結(jié)果

仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)［7］，以40 s內(nèi)，40管火箭齊射為例，經(jīng)過(guò)復(fù)合形法優(yōu)化，能夠得到縱向最優(yōu)密集度，即彈著點(diǎn)中間誤差EX為

橫向最優(yōu)密集度，即彈著點(diǎn)中間誤差EZ為

多管火箭射擊密集度最優(yōu)結(jié)果，中間誤差E為

表示火箭彈發(fā)射順序和激發(fā)時(shí)間的最佳設(shè)計(jì)變量(單位:s)為

最佳設(shè)計(jì)變量對(duì)應(yīng)的射擊順序和裝填位置關(guān)系如圖3所示，每管火箭彈由3組數(shù)字表示，第1行數(shù)字表示優(yōu)化后的射擊順序，第2行數(shù)字分別表示自左至右的排列順序和行列順序。

圖3 優(yōu)化后射擊順序和裝填位置Fig.3 The firing order and load position after the optimization

圖4給出了40管火箭彈射序和射擊間隔優(yōu)化過(guò)程的收斂情況，在不考慮隨機(jī)因素的情況下，中間誤差在450次迭代后達(dá)到最小。

圖4 優(yōu)化收斂過(guò)程Fig.4 The optimization progress

圖5給出了多管火箭彈分別按照優(yōu)化射序與射擊間隔和傳統(tǒng)射擊方式的落點(diǎn)分布情況，從圖中可以看出，優(yōu)化后的火力密集明顯優(yōu)于傳統(tǒng)射序和射擊間隔時(shí)的火力密集度。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)復(fù)合形法對(duì)多管火箭彈射擊間隔和射序優(yōu)化，確定了典型多管火箭彈在給定的約束條件下最佳射序和射擊間隔。通過(guò)模擬打靶方式，驗(yàn)證了優(yōu)化射序?qū)ι鋼裘芗鹊母纳菩Ч?，落點(diǎn)集中在500 m半徑區(qū)域內(nèi)。為形成小起始擾動(dòng)多管火箭彈精度總體設(shè)計(jì)通用方法提供優(yōu)化方法和典型優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

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