洛侖茲-狄拉克方程的新降階方法

楊邦王

(溫州大學物理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

洛侖茲-狄拉克方程的新降階方法

楊邦王

(溫州大學物理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

針對洛侖茲-狄拉克方程的新降階方法在氫原子中的適用尺度問題，通過數值計算二維氫原子來比較新降階方法和原方法在2費米到100 000費米區(qū)間內的差異，兩種降階方法在遠離質子的區(qū)域計算結果基本一致，而在靠近質子幾費米區(qū)域內，新方法的結果和原方法相差較大．表明在氫原子外圍區(qū)域，兩種方法對于洛侖茲-狄拉克方程來說都是適用的；研究電子在更近區(qū)域內的運動行為，新降階方法更加準確．新降階方法計算的表達式比原降階方法復雜，所以關于氫原子，有時聯(lián)合使用兩種降階方法也會是一個不錯的考量．

洛侖茲-狄拉克方程；降階方法；二維氫原子

洛侖茲-狄拉克方程（LDE）作為三階微分方程存在很多困難，比如它的初值問題，我們不能任意給定體系的初始加速度，它總要受到一定限制[1]．不同于牛頓類型的方程，在給定初始條件后，運動有時也是不確定的[2]，此外它又存在超前加速現象和發(fā)散解[3]．為了解決這些困難，Landau和Lifshitz推導了LDE的近似形式LLE[4]，他們第一次通過用外力項近似取代輻射項的辦法來對方程進行降階，Kerner[5]和Sanz[6]討論了關于時間對稱的外力形式以及加速度按電荷展開成級數的情形，Piazza[7]研究了任意極化平面波內LLE的精確解問題．最近，王國忠[8]改進了LDE的降階方法，在更小的尺度上，他的方法要比原來的降階方法更加精準．LDE的降階形式使原方程避免了超前加速解和發(fā)散解的發(fā)生，這似乎更適合用來描寫電荷在電磁環(huán)境內的運動問題．

本文中，我們將研究新降階方法在氫原子中的適用尺度問題，通過兩種降階方法數值計算二維氫原子沿著x軸2費米到100 000費米區(qū)間內電子的軌跡和速度，比較它們之間存在的差異，進而討論它們的適用尺度．

1 原降階方法

二維氫原子的LDE為：取國際單位制，其中0τ表示方程的特征時間，e，m，c，0ε分別表示電子的電量、質量、光速和真空介電常數．希臘字母μ，ν分別取0，1，2，F表示氫原子中的電磁場張量，如果我們忽略它的磁場部分，它可以表示成：

2 新降階方法

原降階方法的關鍵是用庫侖力代替加速度輻射項內的所有加速度，下面我們來介紹一種稍微不同的降階方法[8]，先把洛侖茲-狄拉克方程重新寫成矩陣形式：

通過兩種降階方法，得到了兩個不同的加速度表達式，原降階方法在尺度較小時是不準的，因為庫侖力而輻射項經過求導它們將正比于等等，這樣在尺度比較小的時候，原降階方法就有可能是發(fā)散的．而新降階方法的表達式中含有根號，我們也要注意在應用時出現虛數的區(qū)域，因為這意味著這個方法在該區(qū)域內也是失效的．

3 兩種降階方法的計算結果

研究兩種降階方法在2費米到100 000費米區(qū)間內的差別，在該區(qū)間段內讓電子從100 000費米處沿著x軸跑向質子，電子的初始速度將由維里定理來決定[10]，維里定理描述了電子的動能和勢能的一個關系：其中T表示電子的動能，W表示電子的勢能．如果取定電子的位置，則根據該定理就能方便計算電子的速度；此外，注意到上述加速度公式內都是關于原時的表達式，所以我們還要將實驗室速度轉化為原時速度，它們之間的關系為：，v是實驗室速度．關于原時速度的表達式為：結合這些，我們能算出電子原時速度的表達式：

圖1 – 4為兩種降階方法的部分計算結果，其中圖1 – 2中的方形線條表示兩種方法計算得到的x的比值圓形線條和三角形線條分別表示新降階方法和原降階方法的計算結果．為了方便表示，我們把縱坐標取成費米單位，并對它做了以10為底的對數．圖1和圖3中橫坐標為圖2和圖4中橫坐標為0/ττ，取7費米的地方為時間原點．分別計算2費米到100 000費米之間的，下標original表示原降階方法的計算結果，new表示新降階方法的結果．由于7費米到100 000費米之間的兩種計算結果基本一致（最多相差1/1000的數量級），所以我們只是在圖1和圖3中繪制出1 000費米到100 000費米的計算結果，在圖2和圖4中繪制出2費米到7費米的計算結果．此外，圖3和圖4中的方形線條表示兩種方法計算得到的速度的比值：同樣地，圓形線條和三角形線條分別表示新降階方法和原降階方法的計算結果，圖3的速度單位為106m/s，圖4速度單位為3×108m/s．

4 結論和討論

利用兩種降階方法對二維氫原子的LDE進行了降階，然后通過數值計算研究了它們在2費米到100 000費米區(qū)間內存在的差別．發(fā)現新降階方法和原降階方法在質子的外圍區(qū)域基本符合，而在質子附近幾費米區(qū)域，新降階方法要比原降階方法準確．顯然，如果要研究電子在質子附近區(qū)域的運動行為，新降階方法在該區(qū)域尺度是合適的，而在遠離質子的尺度上兩種方法都能適用．不過，新降階方法計算的加速度表達式要比原降階方案復雜，所以在該區(qū)域，我們可以繼續(xù)使用原降階方法來研究電子的行為．特別的，如果在很靠近質子的某些區(qū)域，新降階方案出現虛數解的情況下，我們不妨聯(lián)合原降階方法一起來處理該段區(qū)域．

[1] Spohn H. The critical manifold of the lorentz-dirac equation [J]. Europhys. Lett., 2000, 50(3): 287-292.

[2] Balis W E, Huschilt J. Nonuniqueness of physical solutions to the lorentz-dirac equation [J]. Phys. Rev. D., 1976, 13(12): 3237-3239.

[3] Marino M. The unexpected flight of the electron in a classical hydrogen-like atom [J]. J. Phys. A: Math Gen., 2003, 36(44): 11247-11255.

[4] Landau L D, Lifshitz E M. The classical theory of fields [M]. Oxford: Butterworth-Heinemann Ltd., 1975: 226-229.

[5] Kerner E. Can the position variable be a canonical coordinate in a relativistic many-particle theory [J]. J. Math. Phy., 1965, 6(8): 1218-1226.

[6] Sanz J L. On the lorentz-dirac equation[J]. J. Math. Phy., 1979, 20(11): 2334-2338.

[7] Piazza A D. Exact solution of the landau-lifshitz eqution in a plane wave [J]. Lett. Math. Phy., 2008, 83(3): 305-313.

[8] Wang G Z. The influence of vacuum electromagnetic fluctuations on the motion of charged partical [C] // Akdagli A. Behaviour of electromagnetic waves in different media and structures. Rijeka Croatia: InTech, 2011: 353-383.

[9] Aguirregabiria J M. Solving forward lorentz-dirac-like equations [J]. J. Math. Phy., 1997, 30(12): 2391-2402.

[10] 維基百科. 維里定理[EB/OL]. [2013-12-28]. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E9%87%8C%E5% AE%9A%E7%90%86.

A New Order Reduction of Lorentz-Dirac Equation

YANG Bangwang
(School of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper describes the applicability of a new order reduction of Lorentz-Dirac equation for a hydrogen atom. It is shown that the new order reduction could be viable on a wider scale in comparison with the original algorithm. By calculating the two-dimensional hydrogen atom, the author figures out that the original method is similar to the results of new order reduction in remote domain of proton and they produce inconsistent results as electron moves close to the proton, which demonstrates that both methods are applicable towards Lorentz-Dirac equation. However, the new order reduction turns out more accurate during the study of electron motion behaviors in much nearer areas. Given the complexity of the order reduction calculations, the joint use of both order reductions for two-dimensional hydrogen atoms tends to be more effective.

Lorentz-Dirac Equation; Order Reduction; Two-dimensional Hydrogen Atom

O411.1

：A

：1674-3563(2014)03-0029-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2013-12-05

楊邦王(1987- )，男，浙江蒼南人，碩士研究生，研究方向：數學物理與場論