一個混沌糾纏系統(tǒng)的動力學分析

楊 敏，俞建寧，張建剛，安新磊

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

一個混沌糾纏系統(tǒng)的動力學分析

楊 敏，俞建寧，張建剛，安新磊

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

通過一系列動力學分析，驗證了一個糾纏系統(tǒng)是混沌的．當混沌糾纏實現(xiàn)時，所有的平衡點是不穩(wěn)定的鞍結(jié)點．數(shù)值計算顯示這個系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù)，這表明該系統(tǒng)是混沌的．通過局部放大的分岔圖驗證了系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌的過程，并分析了該混沌系統(tǒng)的Hopf分岔現(xiàn)象．關(guān)鍵詞：混沌糾纏；Hopf分岔；Lyapunov指數(shù)；數(shù)值仿真

氣象學家Lorenz[1]在1963年首次在一個三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了混沌吸引子．學者們在研究混沌理論及其應用的過程中，不斷認識到混沌理論的研究價值及應用價值．隨著科學技術(shù)的發(fā)展，對混沌理論的深入研究和工程實際的需要，各種各樣的非線性混沌系統(tǒng)被相繼提出[1-2]．近年來，人們不僅研究非線性對系統(tǒng)動力學的影響，而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現(xiàn)象造福人類，設計和建造新的人工混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為研究熱點[3-5]．文獻[6]提出了混沌糾纏的概念，它是一種新的產(chǎn)生混沌的方法，基本原理是通過糾纏函數(shù)糾纏兩個或多個穩(wěn)定的線性子系統(tǒng)來產(chǎn)生一個人造的混沌系統(tǒng)，混沌糾纏提供了更簡單的方法來設計和構(gòu)建新的混沌吸引子．在實際中混沌糾纏可以被用來作為一個指導原則，以有效地構(gòu)造人工混沌系統(tǒng)．

文獻[6]提出了一個新的糾纏系統(tǒng)，但此系統(tǒng)只用來舉例，并沒有驗證其是否是混沌的，也沒有做任何動力學分析．本文經(jīng)過一系列動力學分析，驗證了該糾纏系統(tǒng)是混沌的．

1 混沌吸引子

當通過一些非線性函數(shù)進行糾纏時，如果兩個或多個線性子系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌行為，這種現(xiàn)象就叫混沌糾纏，其中非線性函數(shù)叫做糾纏函數(shù)[6]．

考慮兩個線性子系統(tǒng)，一個是二維的，另兩個是一維的．分別如下所示：

通過正弦函數(shù)糾纏（1），（2）和（3）三個子系統(tǒng)，得到以下系統(tǒng)：

其中),,,(dcba是糾纏系數(shù)，)sin,sin,sin,(sin wzyx是糾纏函數(shù)．

圖1表示在這組參數(shù)下系統(tǒng)（4）的相圖．

圖1 當a=1, b=1, c=8.2, d=1時系統(tǒng)(4)的相圖

1.1 對稱性和不變性

1.2 耗散性與吸引子的存在

由于系統(tǒng)（4）的向量場散度：

1.3 分岔圖、Lyapunov指數(shù)和Lyapunov指數(shù)譜

圖2表示Lyapunov指數(shù)隨時間變化的圖，圖3表示系統(tǒng)隨參數(shù)c變化的Lyapunov指數(shù)圖，圖4表示c關(guān)于x的分岔圖．

圖2 Lyapunov指數(shù)圖

圖3 Lyapunov指數(shù)譜

圖4 c關(guān)于x的分岔

1.4 參數(shù)對系統(tǒng)的影響

圖5 當c=3時系統(tǒng)(4)的相圖

隨著c的增大，系統(tǒng)（4）表現(xiàn)出周期和混沌，開始收斂于一個固定的點．當3=c時，一個簡單的吸引子如圖5所示．當5=c時，一個簡單的吸引子如圖6所示．當2.8＞c時，系統(tǒng)（4）有復雜的混沌吸引子．

圖6 當c=5時系統(tǒng)(4)的相圖

2 分岔分析

數(shù)值模擬顯示所有的平衡點都是不穩(wěn)定的．

要分析新系統(tǒng)的動力學特性，首先是要找出它的平衡點，由于（4）是一個超越方程組，通常不容易找到其精確的解，所以這里只考慮

3 結(jié) 論

通過一系列動力學分析，驗證了一個新糾纏系統(tǒng)是混沌的．數(shù)值計算顯示這個系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù)，這表明是混沌的，最后分析了該混沌系統(tǒng)的Hopf分岔現(xiàn)象．

[1] Lorenz E N. Determ inistic nonperiodic flow [J]. J. Atmos. Sc, 1963, (20): 130-141.

[2] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems [J]. Physical Review Letters, 1990, (64): 821-824.

[3] Chu Y D, LI X F, Zhang J G, et al. Nonlinear dynam ics analysis of a new autonomous chaotic system [J]. Zhejiang Univ Sci A, 2007, (8): 1408-1413.

[4] 李險峰, 張建剛, 褚衍東. 一個新自治混沌系統(tǒng)的動力學分析[J]. 復雜系統(tǒng)與復雜性科學, 2008, 5(1): 28-36.

[5] 唐良瑞, 李靜, 樊冰, 等. 新三維混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J]. 物理學報, 2009, 58(2): 785-793.

[6] Zhang H T, Liu X Z. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5): 1330014-1330031.

[7] 李群宏, 徐德貴. 一個類Lorenz系統(tǒng)的動力學分析[J]. 重慶理工大學學報, 2011, (25): 112-116.

[8] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. London: Cambridge Universty Press, 1981: 70-80.

Dynam ical Analysis on a Chaos Entanglement System

YANG M ing,YU Jianning, ZHANG Jiangang, AN Xinlei
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

Dynam ical analysis verifies that new chaos entanglement system is chaotic and all equilibra are unstable saddle points when chaos entanglement is achieved. Numerical computation shows that this system has one positive Lyapunov exponent, which implies that the very system is chaotic. And the route from periodic-doubling to chaos is demonstrated by partial enlarged bifurcation diagrams. Finally, the existence of Hopf bifurcation is analyzed for that system.

Chaos Entanglement; Hopf Bifurcation; Lyapunov Exponent; Numerical Simulation

O415.5

：A

：1674-3563(2014)03-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2013-11-21

國家自然科學基金(11161027)；教育部的項目(212180)；甘肅省自然科學基金(101RJZA067)

楊敏(1984- )，女，甘肅白銀人，碩士研究生，研究方向：非線性動力學及分岔與混沌控制