帶有預(yù)防性維修的溫貯備可修系統(tǒng)的二元最佳維修-替換策略

樊 偉，鄭海鷹

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

帶有預(yù)防性維修的溫貯備可修系統(tǒng)的二元最佳維修-替換策略

樊 偉，鄭海鷹?

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

對(duì)有兩個(gè)不同型部件和一個(gè)修理工的溫貯備可修系統(tǒng)進(jìn)行研究．假定兩部件的工作故障修理均服從幾何過程，利用預(yù)防性維修和馬爾可夫更新過程獲得了系統(tǒng)平均成本率的精確表達(dá)式，并得到使得系統(tǒng)平均成本率最小的方法．

溫貯備系統(tǒng)；最小維修；預(yù)防性維修；幾何過程；平均成本率

在早期研究的維修替換問題中，維修替換模型主要集中于簡(jiǎn)單的可修系統(tǒng)，一般是冷貯備可修系統(tǒng)[1-5]．在許多實(shí)際應(yīng)用中，通常采用預(yù)防性維修來延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命、減少系統(tǒng)的平均費(fèi)用．1994年，張遠(yuǎn)林[6]首先對(duì)帶有預(yù)防性維修幾何過程模型的一個(gè)冷貯備簡(jiǎn)單可修系統(tǒng)進(jìn)行了研究，在他的研究中，假設(shè)每隔一段時(shí)間T對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行一次預(yù)防性維修，得到了系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均費(fèi)用率的精確表達(dá)式，通過分析可得到最佳替換策略N*．基于文獻(xiàn)[6]的研究，張遠(yuǎn)林和Lam Yeh在文獻(xiàn)[7]中又考慮了二元替換策略 (T,N) 的最優(yōu)化，其中T是兩次預(yù)防性維修的時(shí)長(zhǎng)，通過使冷貯備簡(jiǎn)單可修系統(tǒng)的平均成本率最小化的方法得到了最佳二元替換策略 (T,N)*．后來，張遠(yuǎn)林等人又提出了另一種預(yù)防性維修模型[8-13]，在這種模型中，系統(tǒng)故障是不可修的且會(huì)引起巨大損失．基于幾何過程的修復(fù)，是為了使系統(tǒng)操作過程最優(yōu)化而采用的二元替換策略[14]．受以上研究的啟發(fā)，筆者對(duì)基于幾何維修過程模型的帶有預(yù)防性維修的溫貯備系統(tǒng)進(jìn)行研究．在本文所給模型中，部件1是主要部件，有使用和修理的優(yōu)先權(quán)，每隔一段時(shí)間T對(duì)部件1進(jìn)行定期的預(yù)防性維修；部件2作為貯備部件，僅在部件1進(jìn)行預(yù)防性維修或故障維修時(shí)使用．由于受到溫度和壓強(qiáng)等的影響，部件2在貯備時(shí)會(huì)出現(xiàn)故障，出現(xiàn)故障后對(duì)其進(jìn)行最小維修．最小維修是當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，馬上進(jìn)行修理，把失效部件更換掉，且想辦法盡快使其恢復(fù)到工作狀態(tài)．最小維修使得部件恢復(fù)成為工作狀態(tài)，因?yàn)樗鼡Q修復(fù)的零件相對(duì)部件中總部件的數(shù)量較少，因此，最小維修基本不改變部件的失效率函數(shù)．假設(shè)部件1的故障修理時(shí)間服從幾何修理過程，部件2在貯備期間的失效率函數(shù)為h(t)，每當(dāng)其失效時(shí)都采用最小維修，且維修時(shí)間忽略不計(jì)．考慮二元策略 (T,N)，其中T是兩次預(yù)防性維修的時(shí)間間隔，N是部件1的故障次數(shù)，即當(dāng)部件1故障的次數(shù)達(dá)到N時(shí)考慮對(duì)其進(jìn)行替換，從開始到對(duì)部件1進(jìn)行替換是一個(gè)更新周期．下面的主要目標(biāo)是建立一個(gè)優(yōu)化模型來得到系統(tǒng)平均成本率的精確表達(dá)式并找到兩次預(yù)防性維修的時(shí)間間隔T和部件1的故障次數(shù)N，即最佳策略(T,N)*，使得系統(tǒng)的平均成本率最?。罴巡呗?T,N)*可用理論分析或數(shù)值分析的方法得到．

1 模型假設(shè)

對(duì)于帶有預(yù)防性維修的基于幾何過程的兩部件溫貯備可修系統(tǒng)給出如下假設(shè)．因?yàn)椴考?在工作過程中的成本比部件2的成本小，收益比部件2大，所以假設(shè)部件1是主要部件是合理的．

假設(shè)1 開始，兩部件都是新的，部件1處于工作狀態(tài)，部件2處于溫貯備狀態(tài)．

假設(shè)2 每隔時(shí)間T對(duì)部件1進(jìn)行一次預(yù)防性維修，預(yù)防性維修后修復(fù)如新．在部件1工作T2時(shí)間時(shí)對(duì)部件2進(jìn)行最小維修[15]，最小維修的時(shí)間可以忽略不計(jì)且最小維修不改變部件的失效率函數(shù)．

假設(shè)3 工作中的故障維修服從幾何修理過程，預(yù)防性維修和故障維修是相互獨(dú)立的，即{X(n),i=1,2,...}和{Z(n),i=1,2,...}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量．

ii

假設(shè)4 當(dāng)兩部件均故障時(shí)系統(tǒng)故障，系統(tǒng)故障會(huì)帶來損失，在第n個(gè)工作周期中系統(tǒng)造成的損失用Δn表示，Δn,n=1,2,…是獨(dú)立同分布的，期望值EΔn=δ．系統(tǒng)還有其它類型的損失，其和系統(tǒng)不工作的時(shí)間長(zhǎng)度成正比，比率為v．

圖1 系統(tǒng)的可能發(fā)展進(jìn)程圖

假設(shè)6 兩部件工作時(shí)的故障維修均服從幾何修理過程，貯備期間，部件2的失效率函數(shù)是h(t)．

假設(shè)7 由于部件1有使用的優(yōu)先權(quán)和修理的優(yōu)先權(quán)，部件2在某些階段中的工作時(shí)間為0，修理時(shí)間也可能為0．

為了方便，從第n– 1次預(yù)防性維修完成到第n次預(yù)防性維修完成之間的時(shí)間間隔稱為第n個(gè)階段，從第n– 1次故障修理完成到第n次故障修理完成的時(shí)間間隔稱為第n個(gè)周期，兩次替換之間的時(shí)間間隔稱為系統(tǒng)的一個(gè)更新周期．

2 在策略 (T, N) 下平均成本率的計(jì)算

下面利用以上模型進(jìn)行一些理論分析，利用更新回報(bào)定理給出在策略 (T,N) 下系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行的平均成本率的精確表達(dá)式．

2.1 一些基本的初等計(jì)算

2.2 平均工作時(shí)間和平均修理時(shí)間的計(jì)算

U是系統(tǒng)在一個(gè)更新周期中總的工作時(shí)間，U=U1+U2，其中U1和U2分別為部件1和部件2在一個(gè)更新周期中的工作時(shí)間．

其中，T是兩次預(yù)防性維修的時(shí)間間隔，Zi(n)是第n個(gè)工作周期中第i次預(yù)防性維修的時(shí)間長(zhǎng)度，ξ(n)是第n個(gè)工作周期中部件2的工作壽命．

i

V是系統(tǒng)在一個(gè)更新周期中總工作故障的修理時(shí)間，V=V1+V2，其中V1和V2分別為部件1和部件2在一個(gè)更新周期中的修理時(shí)間．

其中，Yn是第n個(gè)工作周期中部件1的故障修理時(shí)間，ηi(n)是第n個(gè)工作周期中部件2工作故障的修理時(shí)間．

P是系統(tǒng)在一個(gè)更新周期中總的預(yù)防性維修時(shí)間，P=P1+P2，其中P1和P2為部件1和部件2在一個(gè)更新周期中的預(yù)防性維修時(shí)間．

其中ξi(n)可能為0．

下面計(jì)算一個(gè)更新周期中各狀態(tài)的平均時(shí)間．由（2）、（4）、（8）、（9）式有：

2.3 在策略 (T, N) 下系統(tǒng)的平均成本率的計(jì)算

因?yàn)椴考?有使用和修理的優(yōu)先權(quán)，所以在系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)行過程中，部件1只有3種狀態(tài)：工作狀態(tài)、預(yù)防性維修狀態(tài)、故障維修狀態(tài)．L表示更新周期的長(zhǎng)度，則有：

其中cv1、cv2、v、β1、β2、cu1、cu2分別為單位時(shí)間內(nèi)部件1、部件2的維修費(fèi)用，系統(tǒng)的故障花費(fèi)費(fèi)用，部件1、部件2的預(yù)防性維修費(fèi)用和部件1、部件2的工作收益，α和cf為故障帶來的損失．

（26）式是關(guān)于T和N的函數(shù)式，分別求C(T,N)對(duì)T、N的一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，解方程組

可得到T*,N*，即使得系統(tǒng)的平均成本率最小的最佳策略(T,N)*．

3 結(jié) 語

本文對(duì)兩不同型部件的溫貯備系統(tǒng)的維修替換策略進(jìn)行了研究，在假定兩部件的工作故障修理均服從幾何過程的前提下，利用預(yù)防性維修和馬爾可夫更新過程獲得了系統(tǒng)平均成本率的精確表達(dá)式，并給出了使得系統(tǒng)平均成本率最小的方法．本文所給的溫貯備系統(tǒng)中，部件1為主要部件，部件2為貯備部件，貯備部件在貯備期間可能會(huì)發(fā)生故障，這比假設(shè)貯備部件在貯備期間不會(huì)發(fā)生故障的冷貯備更具實(shí)際意義，因此，對(duì)溫貯備系統(tǒng)的維修替換策略的研究有著更為廣泛的實(shí)際應(yīng)用．

[1] Zhang Y L. An optimal geometric processes model for a cold standby repairable system [J]. Reliab Eng Syst Saf, 1999, 63: 107-110.

[2] Zhang Y L, Wang G J, Ji Z C. Replacement problems for a cold standby repairable system [J]. Int J Syst Sci, 2006, 37: 17-25.

[3] Zhang Y L, Wang G J. A bivariate optimal repair-replacement model using geometric process for a cold standby repairable system [J]. Eng Optim, 2006, 38: 609-619.

[4] Wang G J, Zhang Y L. An optimal replacement policy for repairable cold standby system with priority in use [J]. J Syst Sci, 2007, 38: 1021-1027.

[5] Lam Y. A geometric process maintenance model with preventive repair [J]. Eur J Oper Res, 2007, 182: 806-819.

[6] Zhang Y L. A bivariate optimal replacement policy for a repairable system [J]. Appl Prob, 1994, 31: 1123-1127.

[7] Lam Y, Zhang Y L. Analysis of a parallel system with different units [J]. Acta Math Appl Sinica, 1996, 12: 408-417. [8] Zhang Y L. A geometrical process repair model for a repairable system with delayed repair [J]. J Comput Math Appl, 2008, 55: 1629-1643.

[9] Wang G J, Zhang Y L. Optimal periodic preventive repair and replacement policy assuming geometric process repair [J]. IEEE Trans Reliab, 2006, 55: 118-122.

[10] Zhang Y L, Yam R C M, Zuo M J. A bivariate optimal replacement policy for a multistate repairable system [J]. Reliab Eng Syst Saf, 2007, 92: 535-542.

[11] Zhang Y L, Wang G J. A geometric process repair model for a series repairable system with k dissimilar components [J]. Appl Math Model, 2007, 31: 1997-2007.

[12] Wang G J, Zhang Y L. An optimal replacement policy for a two-component series system assuming geometric process repair [J]. Comput Math Appl, 2007, 54: 192-202.

[13] Wang G J, Zhang Y L. A bivariate optimal repair-replacement policy for a warm standby repairable system with preventive repair [J]. Appl Math Comput, 2011, 218: 3158-3165.

[14] 譚林, 陳童, 郭波. 基于幾何過程的單部件可修系統(tǒng)最優(yōu)化維修策略[J]. 系統(tǒng)工程, 2008, (6): 88-92.

[15] 蔣仁言, 左明健. 可靠性模型與應(yīng)用[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 1998: 233-235.

[16] 曹晉華, 程侃. 可靠性數(shù)學(xué)引論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 254.

A Bivariate Optimal Repair-replacement Policy for a Warm Standby Repairable System with Preventive Repair

FAN Wei, ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A study is made on a warm standby repairable system consisting of two dissimilar components and one repairman. Assuming that the work-failure repair of Component 1 and Component 2 follows geometric process, using preventive repair and the generalized Markov Process, the study obtains the precise expression of the average cost of the system, and achieves the method of making the smallest the average cost rate of the system as well.

Warm Standby System; Minimal Repair; Preventive Repair; Geometric Process; Average Cost Rate

O151.23

A

1674-3563(2014)02-0008-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2012-11-27

樊偉(1986- )，女，山東郯城人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)．? 通訊作者，wzzhying@163.com