一維非線性薛定諤方程的性質(zhì)

何紅生，鄒衛(wèi)東，張加強(qiáng)

(集美大學(xué) 理學(xué)院， 福建 廈門 361021)

非線性薛定諤方程(NLS)為i?,u+α△u+β|u|2=0，稱立方Schr?dinger 方程，最早主要描述非線性波的調(diào)制(即非線性波包)方程[1],描述強(qiáng)光在光纖中的傳播[2],經(jīng)過(guò)幾十年的研究發(fā)展，非線性薛定諤方程成為物理學(xué)中的一個(gè)重要模型，可以描述許多物理過(guò)程，如：激光巨變、等離子體物理、非線性光學(xué)[3]、分子動(dòng)力學(xué)、玻色愛因斯坦凝聚[4～6],流體力學(xué)等等。近年來(lái)，非線性薛定諤方程也是一種研究熱門的非線性物理方程，并且得到很多重要又有意義的結(jié)論[7～10]。

本文我們考慮一維的非線性薛定諤在外勢(shì)場(chǎng)中的性質(zhì)，主要討論了點(diǎn)電荷電勢(shì)、周期勢(shì)等兩種外勢(shì)場(chǎng)情況，非線性薛定諤方程有哪些具體的性質(zhì)，進(jìn)而討論非線性薛定諤方程的性質(zhì)受哪些因素的影響，從而可以更加清楚的去了解非線性薛定諤方程的相關(guān)性質(zhì)。

一維非線性薛定諤方程的表達(dá)式為

(1)

其中，α,β可以是復(fù)數(shù)。

外勢(shì)場(chǎng)中一維非線性薛定諤方程的表達(dá)式為

(2)

一、點(diǎn)電荷勢(shì)場(chǎng)的情況

(3)

為了數(shù)值計(jì)算的方便，我們選擇合適的參數(shù)α=1+i,β=1+i，Q=sin(t)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(-10,t)

經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算，其結(jié)果如圖1所示：

圖1 |u|2與變量x,t的關(guān)系

我們研究一下振幅|u|2隨時(shí)間變化的關(guān)系，對(duì)圖1作不同時(shí)刻的截面圖，可得：

圖2 |u|2與時(shí)間t的關(guān)系切片圖

研究表明在點(diǎn)電荷勢(shì)場(chǎng)中一維中的孤子會(huì)發(fā)生劈裂兩個(gè)孤子，并且隨著時(shí)間會(huì)發(fā)生改變。

二、周期勢(shì)場(chǎng)的情況

1.正弦函數(shù)的周期勢(shì)

取周期勢(shì)場(chǎng)為：V(x)=sin(x),

則有

(4)

為了數(shù)值計(jì)算的方便，我們選擇合適的參數(shù)α=1+i,β=1+i

取定初始條件：u(x,0)=sech(x)cos(x)+isech(x)cos(x)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(10,t)

經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算，其結(jié)果如圖3所示：

圖3 |u|2與x,t的關(guān)系圖

我們研究一下振幅|u|2隨時(shí)間變化的關(guān)系，對(duì)圖3作不同時(shí)刻的截面圖，可得：

圖4 |u|2與時(shí)間t的關(guān)系切片圖

研究表明在正弦周期勢(shì)場(chǎng)中非線性薛定諤方程具有較好的周期解，不過(guò)隨著時(shí)間的變化周期的振幅在變小。

2.正切函數(shù)的周期勢(shì)

取周期勢(shì)場(chǎng)為：V(x)=tan(x)，

(5)

為了數(shù)值計(jì)算的方便，我們選擇合適的參數(shù)α=1+i,β=1+i

取定初始條件：u(x,0)=sech(x)cos(x)+isech(x)cos(x)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(10,t)

經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算，其結(jié)果如圖5所示：

圖5 |u|2與x,t的關(guān)系圖

我們研究一下振幅|u|2隨時(shí)間變化的關(guān)系，對(duì)圖5作不同時(shí)刻的截面圖，可得：

圖6 |u|2與時(shí)間t的關(guān)系切片圖

研究表明在正切周期勢(shì)場(chǎng)中，由于外勢(shì)場(chǎng)的奇異性導(dǎo)致了非線性薛定諤方程具有奇異性，并且具有類周期性。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉式適，劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程=Nonlinear Equationuations in Physics[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2000.

[2]Govind P. Agrawal.賈東方,等譯.非線性光纖光學(xué)原理及應(yīng)用[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[3]葉佩弦.非線性光學(xué)物理[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2007.

[4]劉杰.玻色-愛因斯坦凝聚體動(dòng)力學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2009.

[5]李幫慶，馬玉蘭.非線性發(fā)展方程與(G'/G)展開法[M]．北京：原子能出版社，2010.

[6]Robert W.Boyd. Nonlinear optics[M]．北京：世界圖書出版社，2010.

[7]Gil Fanjoux, Jérémy Michaud, Hervé Maillotte, and Thibaut Sylvestre. Cascaded Raman slow light and optical spatial solitons in Kerr media[J].PRE.,2013,87:033838.

[8]Min Li, Jing-Hua Xiao, Wen-Jun Liu, Pan Wang, Bo Qin, and Bo Tian. Mixed-type vector solitons of the N-coupled mixed derivative nonlinear Schr?dinger equations from optical fibers[J].PRE.,2013,87:032914.

[9]Franz G. Mertens, Niurka R. Quintero, A. R. Bishop. Nonlinear Schr?dinger solitons oscillate under a constant external force[J].PRE,2013,87:032917.

[10]Justin T. Cole and Ziad H. Musslimani, Band gaps and lattice solitons for the higher-order nonlinear Schr?dinger equation with a periodic potential[J].PRA.,2014,90: 013815.