從一題多解看中值定理的應(yīng)用

張建軍　胡偉文　沈靜

摘 要：該文研究了高等數(shù)學(xué)中中值定理在解題中的應(yīng)用，分別通過(guò)計(jì)算題和證明題的實(shí)例闡明了四個(gè)中值定理的有機(jī)聯(lián)系及應(yīng)用要點(diǎn)，以幫助學(xué)生更深刻地理解和掌握中值定理這一教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）01（a）-0220-02

Abstract：This paper studies the applications in solving problems of Mean Value Theorem of Advanced Mathematics.The illustrative calculation and proof examples show the organic relative of the four mean value theorems and technical points in applications，which help students understand and grasp the teaching focus and difficult points of Mean Value Theorem more deeply.

Key words：Rolles theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Taylor mean value theorem

中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的統(tǒng)稱。這些定理的共同特點(diǎn)是：函數(shù)在一定的條件下，在給定的區(qū)間中，至少存在著一點(diǎn)（即中值），使得此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的增量存在著某種特定的等式聯(lián)系。中值定理是微分學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，也是微分學(xué)研究函數(shù)性態(tài)的重要定理；它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)的局部性質(zhì)和在某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要工具。而且，這四個(gè)定理是中值定理的不同形式，雖各具特色，但本身邏輯關(guān)系密切，在內(nèi)容及其證明方法上是逐步地、自然的推廣，這種有機(jī)聯(lián)系使得它們?cè)谇蠼饽承?shí)際問(wèn)題時(shí)往往能同時(shí)奏效，并且用起來(lái)相得益彰、相映成趣。

一題多解是學(xué)員在教員的啟發(fā)下，多層面、多角度地分析數(shù)量關(guān)系，尋求多種解題策略的一種教學(xué)方式，它有利于發(fā)展學(xué)員思維的流暢性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性。教學(xué)實(shí)踐表明，中值定理的理論性強(qiáng)，學(xué)員往往難以把握其要點(diǎn)。教學(xué)中，我們反復(fù)研究和探索其教學(xué)方法。本文給出我們對(duì)兩個(gè)典型問(wèn)題的研究心得，分別通過(guò)對(duì)極限計(jì)算題和理論性證明題的一題多解以及異中求優(yōu)，闡明四個(gè)中值定理的內(nèi)在邏輯聯(lián)系及應(yīng)用要點(diǎn)。

1 運(yùn)用中值定理計(jì)算極限

通過(guò)運(yùn)用中值定理計(jì)算極限，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握以下三點(diǎn)：第一是具有何種特點(diǎn)的極限計(jì)算題可考慮用中值定理計(jì)算；其次也是最關(guān)鍵的，如何對(duì)極限式進(jìn)行巧妙變形，確定運(yùn)用中值定理的輔助函數(shù)；最后，用不同的中值定理能計(jì)算同一極限，差別在哪里，又有什么本質(zhì)聯(lián)系。我們的教學(xué)實(shí)踐表明，將這幾個(gè)問(wèn)題講透徹，學(xué)員才能“知其然，更知其所以然”，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)才能“喜歡用”、“會(huì)用”中值定理，使問(wèn)題迎刃而解。

例1試計(jì)算。

分析：此題為“”型不定式，其特點(diǎn)是：分式的分子分母均為增量的形式，與常規(guī)方法相比，如果運(yùn)用中值定理或許能取得意想不到的效果，關(guān)鍵是如何理解這種“增量比”。

解法一：直接用柯西中值定理。本題的求解看上去實(shí)在難以和柯西中值定理聯(lián)系起來(lái)，因此，必須對(duì)分母先“巧妙地”變形，即，我們?nèi)?，為，這時(shí)分子，這樣，就確定了用于柯西中值定理的兩個(gè)輔助函數(shù)。事實(shí)上，令，則分子和分母分別為在區(qū)間（或）上的增量，適合運(yùn)用柯西中值定理進(jìn)行變形，由（在與之間），有，其中在與之間。

解法二：用拉格朗日中值定理。視為，為，則分子和分母分別為函數(shù)及自變量在區(qū)間（或）上的增量，由拉格朗日中值定理，有（在與之間），從而，其中在與之間。

運(yùn)用拉格朗日中值定理計(jì)算極限，關(guān)鍵是要視分式為“函數(shù)值與自變量的增量比”，往往能直接通過(guò)計(jì)算該函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極限值而巧妙地獲得待求的極限，計(jì)算也非常簡(jiǎn)捷。

該方法的關(guān)鍵在于根據(jù)增量形式，將未定式轉(zhuǎn)化為計(jì)算有理分式的極限，從而化難為易。

解法四：用洛必達(dá)法則（柯西中值定理）。其本質(zhì)是多次運(yùn)用柯西中值定理，事實(shí)上，

解法五：仔細(xì)觀察原式，可以看出，再由等價(jià)無(wú)窮小代換，立刻得到同樣的結(jié)果。

通過(guò)上述問(wèn)題的“一題多問(wèn)”，進(jìn)而“一題五解”，可讓學(xué)員深化理解，如果未定式呈現(xiàn)增量比的形式，應(yīng)仔細(xì)地觀察和分析，巧妙地、有意地用各個(gè)中值定理去理解這種“增量比”。通過(guò)幾個(gè)不同的中值定理進(jìn)行計(jì)算，也能殊途同歸，是其內(nèi)在的、本質(zhì)的邏輯聯(lián)系使然。教學(xué)實(shí)踐表明，這能夠加深學(xué)員對(duì)各中值定理關(guān)系的理解，逐步達(dá)到一種較高境界的“內(nèi)化”。

2 運(yùn)用中值定理證明理論性證明題

通過(guò)學(xué)習(xí)運(yùn)用中值定理證明某些理論性證明題，教師應(yīng)明確要達(dá)到以下目的：首先是具有何種特點(diǎn)的問(wèn)題可考慮用中值定理論證；其次也是最關(guān)鍵的，如何對(duì)欲證結(jié)果進(jìn)行巧妙變形，確定各種中值定理所需的輔助函數(shù)；最后，掌握用多個(gè)中值定理論證同一問(wèn)題的異同。通過(guò)將一個(gè)問(wèn)題說(shuō)明白講透徹，使學(xué)員“善于用”、“勤于用”中值定理去討論理論性證明題。

使用中值定理證明方程根的存在性，關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)對(duì)等式進(jìn)行恒等變形，將含有的項(xiàng)放在一邊，再選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或兩個(gè)函數(shù)和，使含有的一邊為或，再分別在區(qū)間上使用羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理。

教員通過(guò)上述理論性證明問(wèn)題的巧妙設(shè)計(jì)、精講和知識(shí)點(diǎn)的揭示，結(jié)合三個(gè)不同的中值定理運(yùn)用中體現(xiàn)出的特別的一致性，幫助學(xué)生更好地理解各中值定理之間客觀存在的有機(jī)聯(lián)系，去鼓勵(lì)學(xué)員在論證問(wèn)題中去自覺(jué)地運(yùn)用，提高學(xué)員運(yùn)用中值定理進(jìn)行理論論證的能力。

四個(gè)中值定理是獨(dú)立的，但彼此絕不 “孤立”。它們屬于同一理論體系，在形式上各具特色，本質(zhì)上卻殊途同歸，在教學(xué)實(shí)踐中不斷地探索，就能發(fā)掘它們?cè)谇蠼飧黝悊?wèn)題中體現(xiàn)出的有機(jī)聯(lián)系，使學(xué)員去感受、去體會(huì)。通過(guò)上述做法，對(duì)于幫助學(xué)生更好地掌握中值定理的本質(zhì)聯(lián)系及應(yīng)用技巧，往往能起到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002-09.

[2] 李心燦.高等數(shù)學(xué)一題多解200例選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002-09.

[3] 王志平.高等數(shù)學(xué)大講堂[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2004-09.endprint

摘 要：該文研究了高等數(shù)學(xué)中中值定理在解題中的應(yīng)用，分別通過(guò)計(jì)算題和證明題的實(shí)例闡明了四個(gè)中值定理的有機(jī)聯(lián)系及應(yīng)用要點(diǎn)，以幫助學(xué)生更深刻地理解和掌握中值定理這一教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）01（a）-0220-02

Abstract：This paper studies the applications in solving problems of Mean Value Theorem of Advanced Mathematics.The illustrative calculation and proof examples show the organic relative of the four mean value theorems and technical points in applications，which help students understand and grasp the teaching focus and difficult points of Mean Value Theorem more deeply.

Key words：Rolles theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Taylor mean value theorem

中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的統(tǒng)稱。這些定理的共同特點(diǎn)是：函數(shù)在一定的條件下，在給定的區(qū)間中，至少存在著一點(diǎn)（即中值），使得此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的增量存在著某種特定的等式聯(lián)系。中值定理是微分學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，也是微分學(xué)研究函數(shù)性態(tài)的重要定理；它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)的局部性質(zhì)和在某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要工具。而且，這四個(gè)定理是中值定理的不同形式，雖各具特色，但本身邏輯關(guān)系密切，在內(nèi)容及其證明方法上是逐步地、自然的推廣，這種有機(jī)聯(lián)系使得它們?cè)谇蠼饽承?shí)際問(wèn)題時(shí)往往能同時(shí)奏效，并且用起來(lái)相得益彰、相映成趣。

一題多解是學(xué)員在教員的啟發(fā)下，多層面、多角度地分析數(shù)量關(guān)系，尋求多種解題策略的一種教學(xué)方式，它有利于發(fā)展學(xué)員思維的流暢性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性。教學(xué)實(shí)踐表明，中值定理的理論性強(qiáng)，學(xué)員往往難以把握其要點(diǎn)。教學(xué)中，我們反復(fù)研究和探索其教學(xué)方法。本文給出我們對(duì)兩個(gè)典型問(wèn)題的研究心得，分別通過(guò)對(duì)極限計(jì)算題和理論性證明題的一題多解以及異中求優(yōu)，闡明四個(gè)中值定理的內(nèi)在邏輯聯(lián)系及應(yīng)用要點(diǎn)。

1 運(yùn)用中值定理計(jì)算極限

通過(guò)運(yùn)用中值定理計(jì)算極限，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握以下三點(diǎn)：第一是具有何種特點(diǎn)的極限計(jì)算題可考慮用中值定理計(jì)算；其次也是最關(guān)鍵的，如何對(duì)極限式進(jìn)行巧妙變形，確定運(yùn)用中值定理的輔助函數(shù)；最后，用不同的中值定理能計(jì)算同一極限，差別在哪里，又有什么本質(zhì)聯(lián)系。我們的教學(xué)實(shí)踐表明，將這幾個(gè)問(wèn)題講透徹，學(xué)員才能“知其然，更知其所以然”，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)才能“喜歡用”、“會(huì)用”中值定理，使問(wèn)題迎刃而解。

例1試計(jì)算。

分析：此題為“”型不定式，其特點(diǎn)是：分式的分子分母均為增量的形式，與常規(guī)方法相比，如果運(yùn)用中值定理或許能取得意想不到的效果，關(guān)鍵是如何理解這種“增量比”。

解法一：直接用柯西中值定理。本題的求解看上去實(shí)在難以和柯西中值定理聯(lián)系起來(lái)，因此，必須對(duì)分母先“巧妙地”變形，即，我們?nèi)?，為，這時(shí)分子，這樣，就確定了用于柯西中值定理的兩個(gè)輔助函數(shù)。事實(shí)上，令，則分子和分母分別為在區(qū)間（或）上的增量，適合運(yùn)用柯西中值定理進(jìn)行變形，由（在與之間），有，其中在與之間。

解法二：用拉格朗日中值定理。視為，為，則分子和分母分別為函數(shù)及自變量在區(qū)間（或）上的增量，由拉格朗日中值定理，有（在與之間），從而，其中在與之間。

運(yùn)用拉格朗日中值定理計(jì)算極限，關(guān)鍵是要視分式為“函數(shù)值與自變量的增量比”，往往能直接通過(guò)計(jì)算該函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極限值而巧妙地獲得待求的極限，計(jì)算也非常簡(jiǎn)捷。

該方法的關(guān)鍵在于根據(jù)增量形式，將未定式轉(zhuǎn)化為計(jì)算有理分式的極限，從而化難為易。

解法四：用洛必達(dá)法則（柯西中值定理）。其本質(zhì)是多次運(yùn)用柯西中值定理，事實(shí)上，

解法五：仔細(xì)觀察原式，可以看出，再由等價(jià)無(wú)窮小代換，立刻得到同樣的結(jié)果。

通過(guò)上述問(wèn)題的“一題多問(wèn)”，進(jìn)而“一題五解”，可讓學(xué)員深化理解，如果未定式呈現(xiàn)增量比的形式，應(yīng)仔細(xì)地觀察和分析，巧妙地、有意地用各個(gè)中值定理去理解這種“增量比”。通過(guò)幾個(gè)不同的中值定理進(jìn)行計(jì)算，也能殊途同歸，是其內(nèi)在的、本質(zhì)的邏輯聯(lián)系使然。教學(xué)實(shí)踐表明，這能夠加深學(xué)員對(duì)各中值定理關(guān)系的理解，逐步達(dá)到一種較高境界的“內(nèi)化”。

2 運(yùn)用中值定理證明理論性證明題

通過(guò)學(xué)習(xí)運(yùn)用中值定理證明某些理論性證明題，教師應(yīng)明確要達(dá)到以下目的：首先是具有何種特點(diǎn)的問(wèn)題可考慮用中值定理論證；其次也是最關(guān)鍵的，如何對(duì)欲證結(jié)果進(jìn)行巧妙變形，確定各種中值定理所需的輔助函數(shù)；最后，掌握用多個(gè)中值定理論證同一問(wèn)題的異同。通過(guò)將一個(gè)問(wèn)題說(shuō)明白講透徹，使學(xué)員“善于用”、“勤于用”中值定理去討論理論性證明題。

使用中值定理證明方程根的存在性，關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)對(duì)等式進(jìn)行恒等變形，將含有的項(xiàng)放在一邊，再選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或兩個(gè)函數(shù)和，使含有的一邊為或，再分別在區(qū)間上使用羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理。

教員通過(guò)上述理論性證明問(wèn)題的巧妙設(shè)計(jì)、精講和知識(shí)點(diǎn)的揭示，結(jié)合三個(gè)不同的中值定理運(yùn)用中體現(xiàn)出的特別的一致性，幫助學(xué)生更好地理解各中值定理之間客觀存在的有機(jī)聯(lián)系，去鼓勵(lì)學(xué)員在論證問(wèn)題中去自覺(jué)地運(yùn)用，提高學(xué)員運(yùn)用中值定理進(jìn)行理論論證的能力。

四個(gè)中值定理是獨(dú)立的，但彼此絕不 “孤立”。它們屬于同一理論體系，在形式上各具特色，本質(zhì)上卻殊途同歸，在教學(xué)實(shí)踐中不斷地探索，就能發(fā)掘它們?cè)谇蠼飧黝悊?wèn)題中體現(xiàn)出的有機(jī)聯(lián)系，使學(xué)員去感受、去體會(huì)。通過(guò)上述做法，對(duì)于幫助學(xué)生更好地掌握中值定理的本質(zhì)聯(lián)系及應(yīng)用技巧，往往能起到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002-09.

[2] 李心燦.高等數(shù)學(xué)一題多解200例選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002-09.

[3] 王志平.高等數(shù)學(xué)大講堂[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2004-09.endprint

摘 要：該文研究了高等數(shù)學(xué)中中值定理在解題中的應(yīng)用，分別通過(guò)計(jì)算題和證明題的實(shí)例闡明了四個(gè)中值定理的有機(jī)聯(lián)系及應(yīng)用要點(diǎn)，以幫助學(xué)生更深刻地理解和掌握中值定理這一教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）01（a）-0220-02

Abstract：This paper studies the applications in solving problems of Mean Value Theorem of Advanced Mathematics.The illustrative calculation and proof examples show the organic relative of the four mean value theorems and technical points in applications，which help students understand and grasp the teaching focus and difficult points of Mean Value Theorem more deeply.

Key words：Rolles theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Taylor mean value theorem

中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的統(tǒng)稱。這些定理的共同特點(diǎn)是：函數(shù)在一定的條件下，在給定的區(qū)間中，至少存在著一點(diǎn)（即中值），使得此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的增量存在著某種特定的等式聯(lián)系。中值定理是微分學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，也是微分學(xué)研究函數(shù)性態(tài)的重要定理；它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)的局部性質(zhì)和在某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要工具。而且，這四個(gè)定理是中值定理的不同形式，雖各具特色，但本身邏輯關(guān)系密切，在內(nèi)容及其證明方法上是逐步地、自然的推廣，這種有機(jī)聯(lián)系使得它們?cè)谇蠼饽承?shí)際問(wèn)題時(shí)往往能同時(shí)奏效，并且用起來(lái)相得益彰、相映成趣。

一題多解是學(xué)員在教員的啟發(fā)下，多層面、多角度地分析數(shù)量關(guān)系，尋求多種解題策略的一種教學(xué)方式，它有利于發(fā)展學(xué)員思維的流暢性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性。教學(xué)實(shí)踐表明，中值定理的理論性強(qiáng)，學(xué)員往往難以把握其要點(diǎn)。教學(xué)中，我們反復(fù)研究和探索其教學(xué)方法。本文給出我們對(duì)兩個(gè)典型問(wèn)題的研究心得，分別通過(guò)對(duì)極限計(jì)算題和理論性證明題的一題多解以及異中求優(yōu)，闡明四個(gè)中值定理的內(nèi)在邏輯聯(lián)系及應(yīng)用要點(diǎn)。

1 運(yùn)用中值定理計(jì)算極限

通過(guò)運(yùn)用中值定理計(jì)算極限，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握以下三點(diǎn)：第一是具有何種特點(diǎn)的極限計(jì)算題可考慮用中值定理計(jì)算；其次也是最關(guān)鍵的，如何對(duì)極限式進(jìn)行巧妙變形，確定運(yùn)用中值定理的輔助函數(shù)；最后，用不同的中值定理能計(jì)算同一極限，差別在哪里，又有什么本質(zhì)聯(lián)系。我們的教學(xué)實(shí)踐表明，將這幾個(gè)問(wèn)題講透徹，學(xué)員才能“知其然，更知其所以然”，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)才能“喜歡用”、“會(huì)用”中值定理，使問(wèn)題迎刃而解。

例1試計(jì)算。

分析：此題為“”型不定式，其特點(diǎn)是：分式的分子分母均為增量的形式，與常規(guī)方法相比，如果運(yùn)用中值定理或許能取得意想不到的效果，關(guān)鍵是如何理解這種“增量比”。

解法一：直接用柯西中值定理。本題的求解看上去實(shí)在難以和柯西中值定理聯(lián)系起來(lái)，因此，必須對(duì)分母先“巧妙地”變形，即，我們?nèi)?，為，這時(shí)分子，這樣，就確定了用于柯西中值定理的兩個(gè)輔助函數(shù)。事實(shí)上，令，則分子和分母分別為在區(qū)間（或）上的增量，適合運(yùn)用柯西中值定理進(jìn)行變形，由（在與之間），有，其中在與之間。

解法二：用拉格朗日中值定理。視為，為，則分子和分母分別為函數(shù)及自變量在區(qū)間（或）上的增量，由拉格朗日中值定理，有（在與之間），從而，其中在與之間。

運(yùn)用拉格朗日中值定理計(jì)算極限，關(guān)鍵是要視分式為“函數(shù)值與自變量的增量比”，往往能直接通過(guò)計(jì)算該函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極限值而巧妙地獲得待求的極限，計(jì)算也非常簡(jiǎn)捷。

該方法的關(guān)鍵在于根據(jù)增量形式，將未定式轉(zhuǎn)化為計(jì)算有理分式的極限，從而化難為易。

解法四：用洛必達(dá)法則（柯西中值定理）。其本質(zhì)是多次運(yùn)用柯西中值定理，事實(shí)上，

解法五：仔細(xì)觀察原式，可以看出，再由等價(jià)無(wú)窮小代換，立刻得到同樣的結(jié)果。

通過(guò)上述問(wèn)題的“一題多問(wèn)”，進(jìn)而“一題五解”，可讓學(xué)員深化理解，如果未定式呈現(xiàn)增量比的形式，應(yīng)仔細(xì)地觀察和分析，巧妙地、有意地用各個(gè)中值定理去理解這種“增量比”。通過(guò)幾個(gè)不同的中值定理進(jìn)行計(jì)算，也能殊途同歸，是其內(nèi)在的、本質(zhì)的邏輯聯(lián)系使然。教學(xué)實(shí)踐表明，這能夠加深學(xué)員對(duì)各中值定理關(guān)系的理解，逐步達(dá)到一種較高境界的“內(nèi)化”。

2 運(yùn)用中值定理證明理論性證明題

通過(guò)學(xué)習(xí)運(yùn)用中值定理證明某些理論性證明題，教師應(yīng)明確要達(dá)到以下目的：首先是具有何種特點(diǎn)的問(wèn)題可考慮用中值定理論證；其次也是最關(guān)鍵的，如何對(duì)欲證結(jié)果進(jìn)行巧妙變形，確定各種中值定理所需的輔助函數(shù)；最后，掌握用多個(gè)中值定理論證同一問(wèn)題的異同。通過(guò)將一個(gè)問(wèn)題說(shuō)明白講透徹，使學(xué)員“善于用”、“勤于用”中值定理去討論理論性證明題。

使用中值定理證明方程根的存在性，關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)對(duì)等式進(jìn)行恒等變形，將含有的項(xiàng)放在一邊，再選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或兩個(gè)函數(shù)和，使含有的一邊為或，再分別在區(qū)間上使用羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理。

教員通過(guò)上述理論性證明問(wèn)題的巧妙設(shè)計(jì)、精講和知識(shí)點(diǎn)的揭示，結(jié)合三個(gè)不同的中值定理運(yùn)用中體現(xiàn)出的特別的一致性，幫助學(xué)生更好地理解各中值定理之間客觀存在的有機(jī)聯(lián)系，去鼓勵(lì)學(xué)員在論證問(wèn)題中去自覺(jué)地運(yùn)用，提高學(xué)員運(yùn)用中值定理進(jìn)行理論論證的能力。

四個(gè)中值定理是獨(dú)立的，但彼此絕不 “孤立”。它們屬于同一理論體系，在形式上各具特色，本質(zhì)上卻殊途同歸，在教學(xué)實(shí)踐中不斷地探索，就能發(fā)掘它們?cè)谇蠼飧黝悊?wèn)題中體現(xiàn)出的有機(jī)聯(lián)系，使學(xué)員去感受、去體會(huì)。通過(guò)上述做法，對(duì)于幫助學(xué)生更好地掌握中值定理的本質(zhì)聯(lián)系及應(yīng)用技巧，往往能起到事半功倍的效果。

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