基于Mindlin解和最小勢能原理的群樁位移計算①

孫錦劍

(同濟大學(xué)地下建筑與工程系，上海 200092)

0 引言

目前，對豎向荷載作用下群樁基礎(chǔ)沉降計算的方法已經(jīng)有很多學(xué)者進行了深入的研究.1980年，Poulos提出了相互作用的系數(shù)方法[1，2];1979 年，Randolph提出了剪切位移方法[3];1986 年，Chow提出了混合方法[4].但這些方法普遍存在運算量比較大的問題.1997年，Shen W Y運用冪函數(shù)級數(shù)的位移函數(shù)根據(jù)變分原理分析了豎向荷載作用下的群樁基礎(chǔ)[5].基于變分原理的方法不需要劃分樁單元，卻能考慮土體彈性模量隨深度變化的情況，且分析精確度較高.

基于變分理論的優(yōu)勢，本文根據(jù)Mindlin基本位移解提出了一個只含兩個未知參數(shù)的群樁中單樁的位移函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)變分原理，結(jié)合Randolph的單樁位移解法中的樁周土體剪應(yīng)力和位移關(guān)系，樁端土與樁端沉降關(guān)系進行推導(dǎo)，得到群樁中單樁的荷載位移關(guān)系.

1 Mindlin位移解介紹

如圖1所示，半無限彈性體內(nèi)一集中荷載在均質(zhì)土體中引起的豎向位移為s[6]:

其中:

z為計算深度;L為樁長;R為計算點到集中荷載的水平距離;υ為泊松比;E為土體變形模量，按E=(1+υ)(1－2υ)/(1－υ)Es計算，Es為壓縮模量.

圖1 Mindlin豎向位移解計算圖示

2 群樁分析理論

2.1 變分分析

根據(jù)王勖成提出的最小勢能原理可知，任意群樁基礎(chǔ)的總勢能可為如下[7，8]:

式中:n為群樁中單樁數(shù)量;V為單樁體積;S為單樁樁側(cè)表面積;A為單樁橫截面積;Ep為樁彈性模量;{τ}={τ1，τ2，…，τn}T為樁體深度 z處剪應(yīng)力矩陣;{w}={w1，w2，…，wn}T為樁體深度z處位移矩陣;{σ}={σ1，σ2，…，σn}T為樁端應(yīng)力矩陣;{wb}={wb1，wb2，…，wbn}T為樁端位移矩陣;{pi}={pt1，pt2，…，ptm}T為樁頂外荷載矩陣;{wi}={wt1，wt2，…，wtn?T為樁頂位移矩陣.

(2)式中的第一項表示群樁應(yīng)變能，第二項表示樁側(cè)摩阻力所作的功，第三項表示樁端阻力所作的功，第四項表示外力所作的功.

由樁土位移協(xié)調(diào)條件可知，(2)式中{τ}和{w}，{σ}和{wb}的關(guān)系可以通過土體模型確定.根據(jù)1979年Randolph的分析結(jié)果1，可以得到:

—式中[k]為深度z處群樁中單樁的樁周土剛度矩陣，[kb]為群樁中單樁的樁端土剛度矩陣.

將(3)、(4)帶入(2)式可得:

對于一個平衡的彈性系統(tǒng)，根據(jù)最小勢能原理可以有以下關(guān)系:

2.2 荷載位移關(guān)系[3]

1979年，Randolph提出樁周土體的剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系為[1]

式中:Gz為深度 z處土體的剪切模量，[F]為土體柔度矩陣，矩陣各項為

式中:當(dāng) i=j時，r=r0;當(dāng) i≠ j時，r=sij.r0為單樁的半徑，sij為第i根樁和第j根樁的中心距離，其中rm為:

式中:ρ為土體的不均勻系數(shù)，等于樁中間土體的模量與樁端處土體的模量的比值;L為樁的長度;υ為泊比.

1979年，Randolph提出樁端土與樁端沉降的關(guān)系為[1]:

—式中Gl為樁端處土體剪切模量;[Fb]為土體柔度矩陣，矩陣中各項為當(dāng)i=j.

式中:A為樁端截面面積，sij為第i根樁和第j根樁軸線之間的距離，υ為土體泊松比，r0為樁半徑.

結(jié)合(3)、(4)、(7)、(10)，可得

圖2 Ⅰ號樁剛度變化曲線圖

圖3 Ⅱ號樁剛度變化曲線

3 群樁變分分析

3.1 選取的位移函數(shù)

由于Mindlin位移解是點荷載作用下的位移，而實際中樁是有一定半徑的，故本文取r等于樁徑處的位移來近似認為是樁的位移，于是可得單樁位移函數(shù)，

本文結(jié)合Mindlin位移解，假定單樁位移函數(shù)關(guān)系式如下:

式中:ai和bi為待定系數(shù)，

3.2 變分的矩陣表示

基于式(16)和式(5)、(6)，可得

圖4 Ⅲ號樁剛度變化曲線

3.3 求 解

代入可求得ai，bi由式(16)可以得到群樁基礎(chǔ)中任意單樁在任意深度處的位移大小.

4 對比驗證

為了驗證本文提出的群樁基礎(chǔ)中單樁的位移函數(shù)，采用以下案例進行驗證.一均質(zhì)土體，群樁基礎(chǔ)(3×3承臺)，單樁半徑為r0，單樁間距s設(shè)為5r0，土體泊松比為0.5，Pt=500kN.本文將群樁中各樁進行編號，角點處單樁設(shè)為Ⅰ號樁，各邊中點處單樁設(shè)為Ⅱ號樁，中心點處單樁設(shè)為Ⅲ號樁.本文采用Matlab編程軟件進行分析計算.如圖2、圖3和圖4所示為隨著樁長徑比的變化，Ⅰ號樁、Ⅱ號樁和Ⅲ號樁等效剛度Pt/(Gsr0wt)的變化.

5 結(jié)論

本文根據(jù)Mindlin基本位移解提出一個只含有兩個待定參數(shù)的群樁中的單樁的位移函數(shù)關(guān)系式.通過與Randolph方法和Chow方法可以得到如下結(jié)論:

(1)本文方法與Randolph方法和Chow方法的結(jié)果比較接近，這說明本文方法的正確性.

(2)本文方法只有兩個未知參數(shù)，計算量較小，運用方便，且理論上也較為嚴(yán)密.

[1]Poulos H G，Davis E H.Pile Foundation Analysis and Design[M].John Wiley and Sons，New York，1980.

[2]Poulos H G.Analysis of the Settlement of Pile Groups[J].Geotechnique，1968，18:449 – 471.

[3]Randolph M F.Wroth C P.An Analysis of the Vertical Deformation of Pile Groups[J].Geotechnique，1979，29(4):423 –439.

[4]Chow Y K.Analysis of Vertically Loaded Pile Groups[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1986，10，59 – 72.

[5]Shen W Y，Chow Y K，Yong K Y.A variational Approach for Vertical Deformation Analysis of Pile Group[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1997，21:741 –752.

[6]林智勇，戴自航，蘇美選.基于Mindlin位移解考慮樁徑影響的樁基沉降計算[J].福州大學(xué)學(xué)報，2009，37(4):588－592.

[7]王偉，楊敏.基于變分原理的群樁位移計算方法[J].巖土工程學(xué)報，2005，27(9):1072－1076.

[8]王勖成.有限元法基本原理和數(shù)值方法[M].北京:清華大學(xué)出版社，1997.