無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型的計(jì)算機(jī)模擬①

續(xù) 婷， 朱 烽

(1.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西太原 030051;2.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引言

傳染病是一種擴(kuò)散性極快的疾病，對(duì)人類健康有極大的威脅.近些年的幾起大的傳染病，對(duì)世界產(chǎn)生了極大影響.

1998年6月，美國(guó)康奈爾大學(xué)理論及應(yīng)用力學(xué)系的博士生Watts及其導(dǎo)師Strogatz在Nature雜志上發(fā)表了題為《“小世界”網(wǎng)絡(luò)的群體動(dòng)力行為》的文章[1].而經(jīng)典的SIS模型是建立在這種網(wǎng)絡(luò)下的，即人際網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)均勻網(wǎng)絡(luò).同時(shí)傳染性與恢復(fù)性是按照固定比例完成的.但在現(xiàn)實(shí)世界中這些是很難滿足的.

1999年10月，美國(guó)圣母大學(xué)物理系的Barabasi教授及其博士生Albert在Science雜志上發(fā)表了題為《隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中標(biāo)度的涌現(xiàn)》一文，揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性，并建立了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的模型[2，3].

因?yàn)闊o(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)先連接性，所以對(duì)于現(xiàn)在世界的互聯(lián)網(wǎng)與民航網(wǎng)絡(luò)都是典型的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，建立確切的傳染病模型是很困難的，同時(shí)即便建立起模型，對(duì)其的研究也是不容易的.在Pastor－Satorras和 Vespingnani建立的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳染病傳播模型就體現(xiàn)了這些特點(diǎn)[4～7].

由于解析方程建立的難度，所以上面的模型都不能將傳染性與恢復(fù)性是按照一定概率進(jìn)行的這個(gè)特點(diǎn)體現(xiàn)出來(lái).同時(shí)沒(méi)有考慮到網(wǎng)絡(luò)中人與人之間的距離.

但是，計(jì)算機(jī)因?yàn)榫哂袕?qiáng)大的計(jì)算功能，卻可以將上述特點(diǎn)都體現(xiàn)出來(lái).這樣可以更直觀的研究傳染病的傳播機(jī)理.

1 建立模型

首先，根據(jù)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)[3].隨機(jī)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)圖.

實(shí)際上，根據(jù)建立經(jīng)典SIS模型時(shí)的條件[8].這里需要考慮傳染病在單位時(shí)間內(nèi)具有的兩個(gè)重要特性:傳播性(即與患病者的距離越近，則被傳染的機(jī)率越大，但超過(guò)一定距離則不可能被傳染)和恢復(fù)性(即患病者會(huì)按照一定的機(jī)率，變?yōu)榻】嫡?.

設(shè)Ai為網(wǎng)絡(luò)中第i個(gè)人為健康者變?yōu)榛疾≌?d為有效傳播距離;d(i，j)為第i個(gè)人與第j個(gè)人的距離;Bi為患病者變?yōu)榻】嫡?b為恢復(fù)率.

所以由傳播性知，第i人由第j人傳染成為患病者的機(jī)率為:

同時(shí)由恢復(fù)性知，第人由患病者變?yōu)榻】嫡叩臋C(jī)率為:

從模型中可看出傳播性與有效傳播距離和初始患病者的人數(shù)成正比，同時(shí)與恢復(fù)率成反比，下面在兩種情況下模擬傳染病的傳播[2，8].

2 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)下的SIS模型模擬

下面利用matlab編程，隨機(jī)產(chǎn)生無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)圖，在給定的初始患病人數(shù)，與有效接觸距離和治愈率時(shí)的模擬結(jié)果.

當(dāng)總?cè)藬?shù)為24939，初始患病人數(shù)為10，有效接觸距離為2，治愈率為0.8時(shí)，下面圖1至圖10為每隔10個(gè)單位時(shí)間的網(wǎng)絡(luò)蔓延圖，圖中灰色為正常人群，黑色為患病人群:

圖1 t=10

圖2 t=20

圖3 t=30

圖4 t=40

圖5 t=50

圖6 t=60

圖7 t=70

圖8 t=80

圖9 t=90

圖10 t=100

所以，得到了這種情況對(duì)應(yīng)的患病比例圖:

而當(dāng)總?cè)藬?shù)為24431，初始患病人數(shù)為5，有效接觸距離為，治愈率為0.9.這時(shí)每隔十個(gè)單位時(shí)

間得到的疾病蔓延圖12至圖21為:

圖11 病人隨時(shí)間的比例圖

圖12 t=10

圖13 t=20

圖14 t=30

圖15 t=40

圖16 t=50

圖17 t=60

圖18 t=70

圖19 t=80

圖20 t=90

圖21 t=100

所以，得到了第二種情況對(duì)應(yīng)的患病比例圖:

圖22 病人隨時(shí)間的比例圖

通過(guò)上面兩次實(shí)驗(yàn)，還不能直觀的表現(xiàn)傳播與初始患病人數(shù)和有效接觸距離的關(guān)系，下面通過(guò)幾組實(shí)驗(yàn)來(lái)具體分析傳播規(guī)律，在實(shí)驗(yàn)里設(shè)定當(dāng)患病人數(shù)達(dá)到總?cè)藬?shù)的1%，即認(rèn)為傳染病暴發(fā).為了避免不同結(jié)構(gòu)人群的分布不同，實(shí)驗(yàn)是在同一結(jié)構(gòu)的人群里做的實(shí)驗(yàn)，人總數(shù)為:24896，由于一般的傳染病都具有固定的治愈率，所以這里取治愈率為0.9.在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，0表示不傳播，1表示傳播:

表1 第一組實(shí)驗(yàn)

表2 第二組實(shí)驗(yàn)

2 1.8 0.9 1 2 1.9 0.9 1 2 2 0.9 1

表3 第三組實(shí)驗(yàn)

圖23 沒(méi)有傳播的初期圖

表4 第四組實(shí)驗(yàn)

通過(guò)上面四組實(shí)驗(yàn)，可以觀察到，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)下的傳播有很強(qiáng)的敏感性，只要有患病者即有可能傳播，而傳染病的傳播對(duì)初始患病人數(shù)沒(méi)有很強(qiáng)的依賴，即只需有患病者即可，而對(duì)有效傳播距離有很強(qiáng)的依賴性，這是在經(jīng)典模型中看不到的.

所以只要傳染病的傳播能力比較強(qiáng)，即使初始患病者很少也能傳播開，這也驗(yàn)證了，當(dāng)年甲型流感的傳播，最初傳染源僅是個(gè)別從美洲回國(guó)的人員，竟然就能將疾病傳播開來(lái)，說(shuō)明傳染病在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中是極易傳播的，因?yàn)楝F(xiàn)代的航空網(wǎng)絡(luò)即是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò).

但同時(shí)也看到了在傳播距離為1.3至1.7之間，是否傳播是具有不穩(wěn)定性的，所以通過(guò)下面一組實(shí)驗(yàn)來(lái)分析這種情況，下面實(shí)驗(yàn)是在同一結(jié)構(gòu)的人群中，初始患病者為5人，有效傳播距離1.5，治愈率0.9，的情況下，隨機(jī)做了10次實(shí)驗(yàn).

表5 第五組實(shí)驗(yàn)

從實(shí)驗(yàn)中可以看到即使在相同的數(shù)據(jù)下，也會(huì)出現(xiàn)不同的情況，這是什么原因吶?

圖23是上面沒(méi)有傳播開的實(shí)驗(yàn)初期的傳播圖:

從圖中的畫圈處的病人可看出，若初期病人出現(xiàn)在密度較低處，則即使有效距離較大，也是不會(huì)傳播的，但從概率的角度可知，若初始患病者越多，這種情況發(fā)生的可能性就越低，所以在第一組實(shí)驗(yàn)中，由于初始患病人數(shù)為1人，所以，這種不穩(wěn)定就顯得更強(qiáng)一些.

3 結(jié)論

從模擬結(jié)果可以知道，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)傳染病傳播的防范是非常脆弱的.只要有患病者出現(xiàn)，即就有可能傳播開，而且傳播對(duì)有效傳播距離有很強(qiáng)的依賴性，也就是只要傳染病夠厲害，即使1人患病也照樣傳播，從實(shí)驗(yàn)中可以看到，有效傳播距離的臨界值應(yīng)該是分布在1.3至1.7之間.這也驗(yàn)證了，前些年發(fā)生的甲型流感，最初傳染源僅是個(gè)別從美洲回國(guó)的人員，竟然就能將疾病傳播開來(lái)，說(shuō)明傳染病在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中是極易傳播的.同時(shí)，計(jì)算機(jī)病毒傳播也是典型的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)傳播，也是滿足這種特性的.計(jì)算機(jī)模擬的好處就在于，可以利用事物直觀的特性，建立比較簡(jiǎn)單的模型，來(lái)了解事物發(fā)展規(guī)律，結(jié)論比較直觀.

[1]Watts D J，Strogatz S H.Collective Dynamics of‘Small－ World’Networks[J].Nature，1998，393(6684):440－442.

[2]汪小帆.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社，2006:73－78.

[3]Barrat A，Weigt M.On the Properties of Small World Networks[J].Eur.Phys.J.B，2000，13:547－560.

[4]Pastor－Satorras R，Vespingnani A.Epidemic Dynamics and Endemic States In Complex Networks[J].Phys.Rev.E，2001，63:066117.

[5]Pastor－ Satorras R，Vespingnani A.Epidemic Dynamics in Finite Size Scale－ Free Networks[J].Phys.Rev.E，2002，65:035108.

[6]Boguna M，Pastor－Satorras R.Epidemic Spreading in Correlated Complex Networks[J].Phys.Rev.E，2002，66:047104.

[7]Liu Z H，Lai Y C，Ye N.Propagation and Immunization of Infection on General Networks with both Homogeneous and Heterogeneous Components[J].Phys.Rev.E，2003，67:031911.

[8]姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2003:135－144.