重力沉降-濃縮穩(wěn)態(tài)過程數(shù)學模型及模擬

宋 梨，郭亞兵(太原科技大學環(huán)境與安全學院，太原 030024)

濃縮工藝是重力分離的一個重要的手段，在工業(yè)濃縮機、沉淀池、分離槽機、沉降槽等設備中都存在濃縮過程；濃縮過程的特性，決定了工藝過程的性能。因此，對濃縮過程的研究從20世紀初開始一直延續(xù)到現(xiàn)在。1952年，英國數(shù)學家Kynch對濃縮過程的研究工作奠定了沉降-濃縮過程理論研究的數(shù)學基礎。在隨后的幾十年中，沉降-濃縮理論不斷的發(fā)展，20世紀70年代到80年代，發(fā)展了沉降-濃縮數(shù)學理論，并根據(jù)混合理論建立了現(xiàn)象學模型。Bürger對分批和連續(xù)濃縮數(shù)學模型的數(shù)值解法進行了大量的研究，從而建立了濃縮過程現(xiàn)代數(shù)學模型。現(xiàn)代數(shù)學模型的建立，為沉降-濃縮工藝過程模擬仿真及其設備的選型設計提供了強有力的工具。通過對濃縮設備中的沉降-濃縮過程進行模擬仿真，可對濃縮設備進行科學、合理的設計。郭亞兵等(2011)對沉降-濃縮數(shù)學模型中參數(shù)獲取的試驗方法進行了研究，利用固體通量試驗數(shù)據(jù)和流變學試驗數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)擬合方法，可有效獲取固體通量密度函數(shù)中的擬合參數(shù)及有效固體應力函數(shù)中的擬合參數(shù)。郭亞兵等(2012)利用數(shù)學模型對沉降柱試驗過程進行數(shù)值模擬，模擬數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)吻合良好；并利用模擬數(shù)據(jù)進行了濃縮設備的選型[1-3]。

上述研究主要是對沉降-濃縮過程進行瞬態(tài)分析，但在工業(yè)實踐中，濃縮設備通常處于穩(wěn)態(tài)運行狀態(tài)，因此，對沉降-濃縮的穩(wěn)態(tài)過程研究在工業(yè)實踐中就顯得非常重要[4-5]。通過穩(wěn)態(tài)模擬，了解穩(wěn)態(tài)過程的濃縮設備工藝參數(shù)的變化及其規(guī)律就成為本論文的研究任務。

對沉降-濃縮過程進行基本假設的前提條件是：在沉降開始前懸浮液已完全絮凝，絮體尺寸相近且相對于容器尺寸極小。在這種假設下，可以用固體體積分數(shù)、Kynch通量密度函數(shù)fbk(Φ)、體積平均速度q(t)以及有效固體應力函數(shù)σe(Φ)描述沉降-濃縮過程。這些變量服從場方程[6]：

(1)

1 濃縮過程穩(wěn)態(tài)模型

1.1 濃縮機穩(wěn)態(tài)模型

考慮一個濃縮機，其形狀為一個圓柱形容器，在容器壁沒有摩擦。固體可在容器內(nèi)通過重力進行沉降，懸浮固體特性是容器高度和時間的函數(shù)。給料從池子的頂部z=Z0處進入；沉淀固體從池子的底部即z=ZR處進行排料，從z=ZR到z=Zc為壓縮區(qū)；z=Zc到z=Z0為干涉沉降區(qū)。如圖1所示。

當濃縮池進入運行的穩(wěn)定狀態(tài)后，在濃縮池內(nèi)形成了兩個穩(wěn)定的區(qū)域：干涉沉降區(qū)和壓縮區(qū)。當工藝參數(shù)不變時，兩個區(qū)域的高度不會發(fā)生變化，也不隨時間的變化而變化。在干涉沉降區(qū)域，懸浮液顆粒之間的動量輸送通過液相進行，固體濃度在整個沉降區(qū)為常數(shù)。在壓縮區(qū)，固體顆粒彼此接觸形成可壓縮的連續(xù)網(wǎng)狀物。固體濃度隨著池子高度的增加而減小，直到泥水界面處。在此界面處固體濃度為Φc，稱為臨界濃度。

圖1 濃縮機

對于連續(xù)濃縮，以混合速度q(t)<0為控制函數(shù)。給料通量與排料通量分別表示為：

(2)

(3)

其中，fF與fD分別為固體給料通量和排料通量。前者是一個控制函數(shù)，表達如下：

(4)

其中，QF(t)≥0為給料體積流量，F(xiàn)F(t)≥0為給料固體質(zhì)量流量，ΦF(t)為給料固體體積分數(shù)，ρs是給料固體密度，S為濃縮機的橫截面積。后者等同于：

(5)

式中：fD為解的一部分，QD(t)≥0為體積底流流量。

這里所考慮的為濃縮機的穩(wěn)態(tài)形式，當濃縮池正常運行在穩(wěn)定狀態(tài)時，在濃縮池任意高度的截面處的濃度Φ=Φ(z)與沉降時間無關(guān)。在穩(wěn)態(tài)運行時，固體給料流量與排料流量相等，即fD=fF.

如前所述，在干涉沉降區(qū)，固體濃度ФL為常數(shù)，其大小由進料固體濃度及其沉降性能決定。其值可為下列非線性方程的最小解。

fF(t)=q(t)Φ(L)+fbk(ΦL(t))

(6)

在壓縮沉降區(qū)，對于給定參數(shù)q，當濃縮池的固體排料濃度ΦD規(guī)定后，在濃縮池內(nèi)壓縮區(qū)的濃度分布可由下列常微分方程描述：

(7)

在沉降區(qū)和壓縮區(qū)的交界面，固體濃度發(fā)生突變，由ФL突變到Φc.濃縮池內(nèi)的濃度分布如圖2所示。

圖2 濃縮池中固體濃度分布

值得注意的是對一定的給料固體濃度ΦF，底流濃度ΦD受到物料的特性的影響，ΦD有一定的允許范圍，當超過這一范圍后，固體壓縮層的高度將大于濃縮池的高度，出現(xiàn)不可行解。ΦD的取值最好由兩升沉降試驗給定。

固體通量密度由下式確定：

(8)

其中，u∞<0，0<Φmax≤1，C≥1.對于固體有效應力函數(shù)，可采用以下方程：

(9)

其中，n≥1，σ0>0.

參數(shù)u∞、Φmax、C、σ0及n可以利用試驗數(shù)據(jù)，通過數(shù)值擬合而得到，它們反應了固體的沉降特性和壓縮特性，決定了固體在工業(yè)濃縮機中所能得到的最大的底流濃度。

1.2 濃縮機穩(wěn)態(tài)模型數(shù)值解法

濃縮機穩(wěn)態(tài)數(shù)學模型可由方程(6)、(7)組成。方程(6)描述了穩(wěn)態(tài)過程中的干涉沉降過程，是一個非線性方程，可由非線性方程數(shù)值解法如牛頓法進行求解。

方程(7)描述了固體的壓縮沉降過程，隨著濃縮機高度的增加，固體濃度逐漸減小，直到固體濃度達到臨界濃度(也稱為粘膠點)。可見方程(7)為常微分方程，可用四階龍格庫塔法進行求解。連續(xù)濃縮池壓縮過程模擬計算過程如圖3。圖4為沉降濃縮仿真計算程序，計算方法根據(jù)圖的流程實現(xiàn)，可進行濃縮機的穩(wěn)態(tài)沉降過程模擬計算。

圖3 壓縮過程模擬計算過程

2 數(shù)值模擬計算實例

利用上述方法及平臺，進行了不同固體處理量時圓柱型濃縮機的固體濃度分布及沉淀固體床層高度分析。濃縮機的結(jié)構(gòu)參數(shù)：直徑為30 m，高度6 m；物料特性：液體比重1 000 Kg/m3，固體比重2 500 Kg/m3，固體處理量分別是50 t/h、100 t/h、150 t/h、200 t/h及250 t/h，底流重量濃度58%(體積濃度35.58%)，臨界重量濃度40%(體積濃度21.05%)；固體通量密度函數(shù)有關(guān)參數(shù)為umax=-0.000 27，指數(shù)C=21.5及Φmax=0.8；有效固體應力函數(shù)參數(shù)σ0=1.2，指數(shù)n=5.

計算結(jié)果顯示對應于上述不同的固體處理量，固體床層高度分別為0.72 m，0.83 m，1.0 m，1.27 m及1.82 m；干涉沉降區(qū)的固體體積濃度分別是0.001%，0.006 5%，0.010 7%，0.014 7%及0.018 8%；如圖5所示。

圖4濃縮機穩(wěn)態(tài)模擬程序-固體的計算數(shù)據(jù)及濃度分布

Fig.4Steady-statesimulationprogramofthickener-solidcomputingdataandconcentrationdistribution

3 結(jié)論

模擬程序的開發(fā)為沉降-濃縮數(shù)學模型開辟了應用領(lǐng)域，將數(shù)學模型與相關(guān)的試驗相結(jié)合，可對工業(yè)濃縮機進行工藝過程模擬仿真，了解給料參數(shù)發(fā)生變化時對工藝過程的影響，特別是對底流濃度的影響。對于連續(xù)沉降-濃縮過程，模擬仿真可以解決下列問題：

(1)通過給料速率及底流排放速率的不同的組合，可得到不同的底流濃度、不同的固體床層高度；

(2)對于固定的底流固體濃度，可獲得不同的固體給料速率時底流固體濃度、固體床層高度及固體的停留時間；

(3)利用方程(6)，可確定不同的固體給料速率時等濃度區(qū)的固體濃度。

圖5 濃縮機處于穩(wěn)態(tài)運行時，處理量分別為50 t/h、100 t/h、150 t/h、200 t/h及250 t/h時的固體濃度分布情況

參考文獻：

[1] BURGER R，CONCHA F.Mathematical model and numerical simulation of the settling of flocculated suspensions[J].Int J Multiphase Flow，1998，24(6)：1005-1023.

[2] BURGER R，DAMASCENO J J R，KARLSEN K H.A mathematical model for batch and continuous thickening of flocculated suspension in vessel with varying cross·section[J].Int J Miner Process，2004，73(2-4)：183-208.

[3] GUO YABING，HU YUXIAN，STEPHEN J S.Parameters estimate of the sedimentation mathematics model from the simple tests [C]∥2010 4th International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering (iCBBE2010)，Chengdu China，2010.6.

[4] 郭亞兵，王守信，李秉正.濃縮過程數(shù)學模型及其在濃縮機設備選型中的應用[J].有色設備，2011(2)：10-12.

[5] 郭亞兵，王守信，李秉正.濃縮過程數(shù)學模型及其在濃縮機設備選型中的應用(Ⅱ)[J].有色設備，2011(3)：6-8.

[6] 劉斌，郭亞兵.固液分離兩項流數(shù)值模擬研究[D].太原：太原科技大學，2009.

[7] 趙鑫，郭亞兵.濃縮機設計理論分析及應用[J].太原科技大學報，2013，34(1)：37-41.