迭代尋優(yōu)的穩(wěn)健波束形成

王燕，吳文峰，范展，梁國(guó)龍

（哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱150001）

迭代尋優(yōu)的穩(wěn)健波束形成

王燕，吳文峰，范展，梁國(guó)龍

（哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱150001）

針對(duì)導(dǎo)向矢量失配程度較大時(shí)，常見(jiàn)穩(wěn)健波束形成算法性能下降問(wèn)題，提出了一種迭代搜索最優(yōu)導(dǎo)向矢量的穩(wěn)健波束形成算法。首先利用修正后的導(dǎo)向矢量構(gòu)造使波束輸出功率最大的目標(biāo)函數(shù)，分別從干擾抑制和噪聲抑制2個(gè)方面推導(dǎo)了新導(dǎo)向矢量應(yīng)滿足的約束條件。給出了利用矩陣濾波思想構(gòu)造約束條件的方法并分析其合理性。針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題難以求解的問(wèn)題，提出了一種迭代尋優(yōu)的搜索方法，將每次迭代轉(zhuǎn)化為求解一次二階錐規(guī)劃問(wèn)題。仿真分析表明，相比于常見(jiàn)穩(wěn)健波束形成算法，該算法有更高的抗導(dǎo)向矢量失配的穩(wěn)健性，且需要的先驗(yàn)信息更容易獲取。

穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成；矩陣濾波器；迭代優(yōu)化；二階錐規(guī)劃；導(dǎo)向矢量

自適應(yīng)波束形成在無(wú)線電通信、聲吶、雷達(dá)、醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用［1］。標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器（standard Capon beamformer，SCB）［2］是理想條件下陣增益最高的處理器。但是SCB算法是建立在陣列對(duì)期望信號(hào)響應(yīng)精確已知的假想基礎(chǔ)上，在實(shí)際應(yīng)用中不可避免存在觀測(cè)方向誤差、陣型標(biāo)定誤差、快拍數(shù)有限等條件失配情況，此時(shí)SCB算法會(huì)將實(shí)際期望信號(hào)誤作干擾［3-4］，導(dǎo)致信號(hào)自消現(xiàn)象。基于特征空間的波束形成方法（eigen-space projection，ESP）［5］和對(duì)角加載類算法是提升SCB算法穩(wěn)健性的常用方法。ESP方法需要精確已知信號(hào)子空間的維數(shù)，且在低信噪比情況下失效。Li等提出的穩(wěn)健Capon波束形成算法（robust Capon beamforming，RCB）等［6-9］都屬于對(duì)角加載算法，但在導(dǎo)向矢量失配程度較大時(shí)，這些算法對(duì)干擾的抑制能力受到限制［7］。Hassanien等提出的基于二次規(guī)劃的穩(wěn)健波束形成（sequential quadratic programming，SQP）［10］能在給定區(qū)間內(nèi)搜索最優(yōu)導(dǎo)向矢量，但算法中過(guò)多的參數(shù)設(shè)置使算法的性能很難達(dá)到最優(yōu)。針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器在存在條件失配時(shí)，特別是失配程度較大時(shí)性能嚴(yán)重下降問(wèn)題，提出了一種迭代尋優(yōu)的穩(wěn)健波束形成（iterative optimization robust Capon beamforming，IO-RCB）算法，該算法首次使用矩陣濾波思想構(gòu)造約束條件，惟一的先驗(yàn)信息是期望信號(hào)可能的入射區(qū)間。本文提出的算法可以減小聲吶系統(tǒng)等在實(shí)際應(yīng)用中受環(huán)境和條件失配的影響。

1 穩(wěn)健波束形成算法

考慮M元均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，K+1組窄帶平面波（一組信號(hào)和K組干擾）從Θ＝θ0θ1… θK]方向入射到基陣，信號(hào)、干擾與噪聲均互不相關(guān)，則基陣接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

[

式中：w∈CM×1為待優(yōu)化權(quán)值，as為預(yù)設(shè)導(dǎo)向矢量。針對(duì)SCB算法在實(shí)際應(yīng)用中性能下降問(wèn)題，文獻(xiàn)［6］提出了穩(wěn)健Capon波束形成方法（RCB）。假設(shè)期望信號(hào)的真實(shí)導(dǎo)向矢量屬于如下不確定集：

則RCB波束形成器可以表述為

式中：C為用戶設(shè)定的正定矩陣。RCB算法的性能不僅依賴于導(dǎo)向矢量不確定集的估計(jì)精度，且在導(dǎo)向矢量失配程度較大時(shí)嚴(yán)重退化。

2 迭代尋優(yōu)的穩(wěn)健波束形成算法

2.1 目標(biāo)函數(shù)和約束條件的構(gòu)造

對(duì)式（2）中的預(yù)設(shè)導(dǎo)向矢量作如下修正：

式中：Q∈CM×（M-1）為列滿秩阻塞矩陣，滿足QΗas＝0且QΗQ＝I；η∈CM-1為待求向量。利用新的導(dǎo)向矢量下，式（2）中的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

式（6）中對(duì)as+Qη歸一化是為了防止尺度模糊。新導(dǎo)向矢量需滿足如下2個(gè)約束：1）在期望信號(hào)功率小于干擾功率時(shí)不能指向干擾方向，且對(duì)干擾的抑制能力不能降低；2）不能放大基陣的噪聲成分，即不能降低對(duì)噪聲的抑制能力。下面分別從這2個(gè)約束討論，訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不含期望信號(hào)成分且快拍數(shù)足夠大時(shí)，式（2）中權(quán)向量可以寫(xiě)成［11］

式中：γm（m＝1，…M）為Ri+n按降序排列的特征值，滿足γ1≥…≥γK≥γK+1＝…＝γM，um為對(duì)應(yīng)的特征向量。γmin表示最小的特征值。wSCB對(duì)應(yīng)的波束響應(yīng)可以表示為式中：a（θ）表示基陣對(duì)θ方向的導(dǎo)向矢量；pm（θ）＝uΗma（θ）為第m個(gè)特征波束，即以第m個(gè)特征向量作為加權(quán)向量得到的波束響應(yīng)；ρm＝aΗsum可視為調(diào)節(jié)因子。文獻(xiàn)［11］指出，特征向量是正交的，特征波束間也是相互正交的，且在干擾方向ρm通過(guò)調(diào)節(jié)pm（θ）的大小使ρmum（θ）＝aΗsa（θ）。因此wSCB對(duì)第k個(gè)干擾的響應(yīng)為

若要保證新導(dǎo)向矢量對(duì)應(yīng)權(quán)值對(duì)干擾方向抑制能力不降低，必須有

式（10）顯然也可以保證新的導(dǎo)向矢量不會(huì)指向干擾方向。

令Θs表示期望信號(hào)可能出現(xiàn)的扇面（區(qū)域大小和預(yù)處理精度有關(guān)），Θp表示其補(bǔ)集。若要保證新導(dǎo)向矢量對(duì)噪聲不放大，需滿足［10］

由于干擾信號(hào)真實(shí)方向未知，同時(shí)為了全局優(yōu)化，結(jié)合式（10）和式（11）可得式中：δθ表示θ方向噪聲功率的平方根。利用δk和δθ作為加權(quán)是為了保證對(duì)功率越大的干擾或噪聲的抑制能力越強(qiáng)。利用干擾、噪聲間互不相關(guān)，式（12）等價(jià)于：

2.2 Rn的構(gòu)造

本節(jié)以矩陣濾波原理［12］為基礎(chǔ)，給出一種適合存在導(dǎo)向矢量誤差時(shí)特定區(qū)域干擾和噪聲協(xié)方差矩陣的重構(gòu)方法，將Θs扇面設(shè)為矩陣濾波器的阻帶，并離散化為θi（i＝1，2，…，Ns）；同時(shí)將Θp設(shè)為矩陣濾波器的通帶，并離散化為θj（j＝1，2，…，Np）。按阻帶約束通帶最小均方誤差準(zhǔn)則，矩陣濾波器優(yōu)化問(wèn)題可以表述為

式中：ξ0為人為設(shè)定的阻帶扇面內(nèi)衰減率。式（15）可以轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問(wèn)題［13］利用Sedumi或CVX等工具箱求解。

現(xiàn)驗(yàn)證利用式（15）設(shè)計(jì)的矩陣濾波器對(duì)存在導(dǎo)向矢量誤差時(shí)的適用性。期望信號(hào)導(dǎo)向矢量誤差由觀察方向誤差和隨機(jī)誤差組成，而對(duì)干擾只需考慮隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差，不妨設(shè)

式中：θp為觀測(cè)方向，Δθ為觀測(cè)方向誤差，Δ a0和Δ ak分別為隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差。利用Rayleigh商的性質(zhì)可得

一般導(dǎo)向矢量誤差的范數(shù)‖Δ a0‖?‖a（θ0）‖，由式（18）知矩陣濾波器對(duì)真實(shí)信號(hào)仍具有抑制能力。同樣式（19）中‖Δ ak‖?‖GΗa（θk）‖，即第2項(xiàng)對(duì)第1項(xiàng)影響較小，矩陣濾波器仍能保證干擾近似無(wú)失真通過(guò)。綜上存在隨機(jī)導(dǎo)向矢量失配時(shí)，矩陣濾波器仍具有一定空域的濾波能力，濾波能力和隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差范數(shù)大小有關(guān)。

下面由一個(gè)數(shù)值仿真說(shuō)明，考慮12元均勻線陣離散阻帶設(shè)定為Θs＝［5°∶1°∶15°］，通帶設(shè)定為Θp＝［-90°∶1°∶-5°］∪［25°∶1°∶90°］，阻帶衰減設(shè)為-30 dB，利用式（15）設(shè)計(jì)濾波器。

圖1分別顯示理想情況和存在隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差時(shí)矩陣濾波器幅度響應(yīng)，其中隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差為服從均值為0，方差為δ2I（δ＝0.1）復(fù)高斯分布。從圖1可以看出存在隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差時(shí)，阻帶衰減雖減少但仍小于-21 dB，且通帶起伏不超過(guò)0.3 dB，這和利用式（18）和式（19）估計(jì)結(jié)果吻合。

圖1 矩陣濾波器幅度響應(yīng)Fig.1 Magnitude response of the matrix filter

存在隨機(jī)導(dǎo)向矢量失配時(shí)，矩陣濾波器仍具有一定的空域?yàn)V波能力，因此Θp扇面內(nèi)的干擾和噪聲協(xié)方差矩陣可由下式重構(gòu)：

2.3 問(wèn)題的求解

式（14）無(wú)法直接求得最優(yōu)解，下面給出一種迭代尋優(yōu)的方法。忽略尺度模糊的影響，則式（14）轉(zhuǎn)化為

式（21）為二次約束二次規(guī)劃問(wèn)題，易轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問(wèn)題求解。迭代尋優(yōu)的具體步驟如下：

1）令上次迭代獲得的最優(yōu)導(dǎo)向矢量為as，求對(duì)應(yīng)于as的阻塞矩陣Q，并求解式（21）獲得η。

2）對(duì)新導(dǎo)向矢量as+Qη進(jìn)行歸一化

若迭代終止時(shí)獲得最優(yōu)導(dǎo)向矢量為a＾s，則IORCB算法權(quán)值為

3 仿真分析

為了對(duì)比各算法的性能設(shè)計(jì)了以下幾組實(shí)驗(yàn)?？紤]12元均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)。兩組干擾分別從-30°和35°方向入射到基陣，干噪比分別為20 dB和25 dB，期望信號(hào)入射方位在［5°，15°］，信號(hào)、干擾和噪聲均為互不相關(guān)的窄帶隨機(jī)過(guò)程。對(duì)下述方法進(jìn)行了對(duì)比分析：SCB算法、固定對(duì)角加載算法FDL、HKB算法［8］、GLC算法［9］、ESP算法、RCB算法和聯(lián)合處理SQP算法［10］，其中FDL算法固定對(duì)角加載量為10倍白噪聲功率，對(duì)ESP算法而言假設(shè)信號(hào)子空間維數(shù)精確已知，SQP算法的參數(shù)同文獻(xiàn)［10］，RCB算法中的不確定集選取為球形且參數(shù)ε根據(jù)實(shí)際情況按文獻(xiàn)［7］計(jì)算。所有仿真結(jié)果除波束圖外均為200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)取平均值，κ＝10-5，除3.4節(jié)外矩陣濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)均同2.2節(jié)。

3.1 波束圖的對(duì)比

考察存在導(dǎo)向矢量失配時(shí)，各算法的波束圖（只顯示SCB、RCB和本文方法）。期望信號(hào)信噪比為20 dB，入射方向?yàn)?3°，波束觀測(cè)方向?yàn)?0°，即存在3°觀測(cè)方向誤差，隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差Δa為服從均值為0、協(xié)方差矩陣為δ2I（δ＝0.1）的復(fù)向量。快拍數(shù)取200，RCB算法參數(shù)ε＝4.3。圖2顯示各算法波束圖，其中垂直虛線表示信號(hào)和干擾的實(shí)際入射方向。

圖2 存在導(dǎo)向矢量失配時(shí)波束圖Fig.2 Beam-pattern in the presence of look direction error and random steering vector error

從圖2可以看出RCB算法主瓣峰值未對(duì)準(zhǔn)實(shí)際信號(hào)方向，雖然保證了整個(gè)不確定集內(nèi)響應(yīng)均大于0 dB，但也導(dǎo)致對(duì)干擾和噪聲的抑制能力降低。本文算法主瓣峰值自動(dòng)對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)方位，且干擾零陷深度和對(duì)旁瓣的抑制能力高于RCB算法。

3.2 對(duì)快拍數(shù)不足穩(wěn)健性的對(duì)比

考慮快拍數(shù)有限時(shí)各算法的性能。期望信號(hào)入射方位為10°，信噪比為20 dB，快拍數(shù)從12到204以陣元數(shù)為間隔變化，暫不考慮其他失配的情況。RCB算法中的參數(shù)取0.3 M。

圖3顯示各算法輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線。從圖3可以看出，當(dāng)快拍數(shù)為1 M時(shí)，本文算法的性能略低于RCB算法，但仍高于其他算法。在快拍數(shù)大于4 M后，本文算法性能優(yōu)于其他所有算法。在快拍數(shù)較小時(shí)本文算法性能相對(duì)較低的原因是，由于快拍數(shù)不足引起的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣誤差可以看作由隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差引起，快拍數(shù)很低時(shí)等效的隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差較大，正如2.2節(jié)中的分析，此時(shí)矩陣濾波器的濾波效果受隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差限制，因此導(dǎo)致本文算法性能在低快拍時(shí)受限。

圖3 輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化曲線Fig.3 Output SINR versus the number of snapshot

3.3 對(duì)觀測(cè)方向誤差穩(wěn)健性的對(duì)比

波束觀測(cè)方向固定為10°，實(shí)際信號(hào)入射方向在［5°，15°］以1°為間隔變化，期望信號(hào)信噪比為10 dB，快拍數(shù)取200，不考慮隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差的影響。圖4顯示各算法性能隨觀測(cè)方向誤差變化曲線。從圖4中可以看出，隨觀測(cè)方向誤差的增加，本文算法和ESP算法的性能幾乎沒(méi)有下降，且本文算法的性能優(yōu)于ESP算法。本文算法對(duì)觀測(cè)方向誤差穩(wěn)健性較高的原因在于主瓣能自適應(yīng)指向信號(hào)實(shí)際入射方向。

圖4 各算法性能隨觀測(cè)方向誤差變化曲線Fig.4 Output SINR versus look direction error

3.4 導(dǎo)向矢量失配對(duì)算法性能影響對(duì)比

考慮同時(shí)存在觀測(cè)方向誤差和隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差時(shí)算法性能。期望信號(hào)入射方位為13°，波束觀測(cè)方向?yàn)?0°，隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差同3.1節(jié)，快拍數(shù)取200，RCB算法參數(shù)取5。圖5顯示存在導(dǎo)向矢量失配時(shí)各算法性能曲線。從圖5可以看出在整個(gè)觀測(cè)區(qū)間內(nèi)本文算法性能均優(yōu)于其他算法。

圖5 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線Fig.5 Output SINR versus SNR

3.5 矩陣濾波器參數(shù)對(duì)算法性能的影響

本節(jié)將考察阻帶區(qū)域的設(shè)置對(duì)本文算法性能的影響。實(shí)際信號(hào)入射方向?yàn)?3°，且存在3.1節(jié)所述隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差，快拍數(shù)取200。波束指向方位θp＝10°，矩陣濾波器的阻帶設(shè)置為［θp-α，θp+ α］，過(guò)渡帶區(qū)域間隔設(shè)置為10°，阻帶衰減為-30 dB。圖6顯示α取不同值時(shí)本文算法的性能。

從圖6可以看出，當(dāng)實(shí)際信號(hào)入射方位在阻帶內(nèi)時(shí)，阻帶區(qū)域設(shè)置越小本文算法的性能越好，α適當(dāng)偏大對(duì)本文算法影響不大。當(dāng)濾波器阻帶設(shè)置小于觀測(cè)方向誤差（α＝2°時(shí)），算法性能在期望信號(hào)輸入信噪比較大時(shí)略有降低，此時(shí)本文算法仍然有效的原因是是矩陣濾波器的過(guò)渡帶仍有部分濾波作用。

圖6 阻帶區(qū)域設(shè)置對(duì)算法性能的影響Fig.6 The performance of the proposed algorithm under different parameters

5 結(jié)論

針對(duì)導(dǎo)向矢量失配程度較大時(shí)，常見(jiàn)穩(wěn)健波束形成算法性能下降問(wèn)題，提出了一種迭代搜索最優(yōu)導(dǎo)向矢量的穩(wěn)健波束形成算法。推導(dǎo)了新的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并針對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題難以求解問(wèn)題，給出了一種迭代尋優(yōu)解。仿真分析結(jié)果表明：

1）本文算法唯一利用的先驗(yàn)信息是期望信號(hào)可能的入射區(qū)間，且對(duì)先驗(yàn)信息的精度要求不高，相對(duì)于基于不確定集的穩(wěn)健波束形成算法，該先驗(yàn)信息較易獲??；

2）存在觀測(cè)方向誤差時(shí)，本文算法能將主瓣峰值指向?qū)嶋H信號(hào)入射方向，對(duì)觀測(cè)方向誤差有較高穩(wěn)健性；

3）隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差對(duì)矩陣濾波器效果有一定影響，但本文算法對(duì)隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差的穩(wěn)健性能滿足實(shí)際應(yīng)用需求；

4）和目前較為常見(jiàn)算法相比，本文算法能獲得更高的輸出信干噪比。

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Robust adaptive beamforming based on iterative optimization

WANG Yan，WU Wenfeng，F(xiàn)AN Zhan，LIANG Guolong
（Science and Technology on Underwater Acoustic Laboratory，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The performance of common robust adaptive beamforming degrades with the increasing degree of the signal steering vector error.To solve this problem，a robust adaptive beamforming algorithm was proposed on the basis of searching optimal signal steering vectors with an iterative strategy.The objective function that maximizes the beamformer output power was constructed by a corrected steering vector，while the constraint was deduced from both respects of interference suppression and noise suppression.The approach of structuring constraint by using a matrix filter was given and the rationality was explicated.Considering the difficulty in solving the optimization problem，an iterative optimization method was proposed，and the method solved a second-order program problem at each iteration.The simulation results show that，compared with common methods，this proposed method achieves higher signal-to-interference-plus-noise ratios（SINR）in the case of a steering vector mismatch.Moreover，the prior information of this proposed method is easier to extract.

robust adaptive beamforming；matrix filter；iterative optimization；second-order program；steering vector

10.3969／j.issn.1006-7043.201306015

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306015.html

TB566

A

1006-7043（2014）06-0741-06

2013-06-03.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-05-14 15：50：57.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51279043，61201411，51209059）；黑龍江普通高等學(xué)校青年學(xué)術(shù)骨干支持計(jì)劃（1253G019）；水聲技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目（9140C200203110C2003）.

王燕（1973-），女，教授，博士生導(dǎo)師；范展（1983-），男，博士研究生；

范展，E-mail：wwf＠hrbeu.edu.cn.