一類益于捕食者的捕獲系統(tǒng)模型建立及定性分析

華極鑫,馮維龍,姜玉秋

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

1 引言

1838年P(guān).F.Verhulst[1]提出震撼生物數(shù)學(xué)界的Logistic方程后，引起了人們對生物種群數(shù)量和結(jié)構(gòu)的變化探索的高潮，隨后刻畫種群間的相互作用的模型也不斷涌現(xiàn).1963年 Rosenzweig和MacArthur提出反映捕食者捕獲能力強(qiáng)弱的功能性反應(yīng)函數(shù)是雙曲線的Rosenzweig-MacArthur[2]模型，更加貼近了生態(tài)種群相互作用的真實(shí)狀態(tài).但是前人在建立模型時沒有將捕食者種群的自身密度限制體現(xiàn)出來，直到1974年，Bazykin參考Rosenzweig-MacArthur模型，在此基礎(chǔ)上添加了密度制約項(xiàng)，建立了Bazykin模型[2]：

(1)

Bazykin模型更好了描述了捕食者種群的自身密度制約[3]，更好的完善了種群間相互作用模型.其中N(t)和P(t)分別為tt時刻食餌和捕食者種群的數(shù)量；r為食餌在自然狀態(tài)下的內(nèi)稟增長率；K為環(huán)境能容納此種群個體的最大數(shù)量；c為捕食者對食餌的搜尋相遇的幾率；χ為捕食者吃掉食餌后的能量轉(zhuǎn)化率；δ'0代表沒有食餌情況下捕食者的死亡率；δ'1代表捕食者自我密度制約的系數(shù)；d為度量捕食者對食餌需求程度的標(biāo)準(zhǔn)，體現(xiàn)出捕食者對食餌的需求程度，捕食者對食餌需求越大，d反而越小.

如果在捕食者食餌生存的小生境D中產(chǎn)生對捕食者有利的因素，增大了捕食者與食餌的相遇幾率[4]和捕獲食餌的幾率(例如，人們大量砍伐森林，讓食餌沒有躲藏之處，捕食者更容易的發(fā)現(xiàn)捕獲食餌)等，捕食者的死亡率和密度制約系數(shù)也都隨之改變，假設(shè)模型在沒有食餌情況下捕食者的死亡率和自我密度制約的系數(shù)比值不變，據(jù)此建立模型：

(2)

系統(tǒng)(2)中e為對捕食者有利程度的系數(shù)；δ0為捕食者有利情況下沒有食餌時死亡率；δ1為捕食者有利情況下的密度制約系數(shù).加上對捕食者有利的因素后捕食者在平衡點(diǎn)的數(shù)量就會大于不加有利因素時捕食者的數(shù)量，這樣也保證了捕食者在不能預(yù)計和不能克服的自然狀況下不至于滅絕.下面本文將對系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性態(tài)詳細(xì)分析.

2 系統(tǒng)分析

為下文方便，我們用下列記號：

(i)考慮到實(shí)際生物學(xué)意義，我們在D={(N，P)|N≥0,p≥0}上研究系統(tǒng)(2).

令

(3)

定理1 系統(tǒng)(2)在區(qū)域D上沒有閉軌線.

證明 選取Dulac函數(shù)B(N,P)=N-1P-1,由計算得

由Dulac判據(jù)知，系統(tǒng)(2)在區(qū)域D內(nèi)不存在閉軌線.

定理2 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)ο(0,0)是鞍點(diǎn).

定理3KN0時，E(K,0)是鞍點(diǎn).

.

當(dāng)K0,β>0，故E(K,0)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；當(dāng)K>N0時，有β<0，故E(K,0)是鞍點(diǎn).

定理4K>N0時，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)E'(N*,P*)，并且是局部穩(wěn)定的.

證明 先證明E'(N*,P*)的存在性和唯一性.即f1(N,P)=0和f2(N,P)=0有交點(diǎn).

由零點(diǎn)定理知存在N0≤N*≤K,使F(N*)=0,即存在正平衡點(diǎn)E'(N*,P*).因h(N)是關(guān)于N的遞增函數(shù)，故在[N0-1,K+1]上存在唯一的N*,從而E'(N*,P*)唯一.

下證E'(N*,P*)是局部穩(wěn)定的.

有

故有α>0，β>0,因此E'(N*,P*)是局部漸近穩(wěn)定的.

3 生物意義

根據(jù)系統(tǒng)(2)，在有利于捕食者捕獲食餌的情況下，捕食者在平衡點(diǎn)的數(shù)量P*會比不加有利因素時的捕食者數(shù)量大.對于瀕臨滅絕[5]危機(jī)的捕食者種群來說，我們可以人工進(jìn)行輔助，給予捕食者有利的生存條件，增加捕食者與食餌的相遇機(jī)會和捕獲機(jī)會，這樣能保證捕食者在有其它突發(fā)自然狀況下不至于滅絕，而且能使稀珍品種的捕食者繁殖壯大，有害無益的食餌繁殖得到控制，直到捕食者和食餌數(shù)量分別達(dá)到P*，N*時，兩種群相互作用達(dá)到平衡狀態(tài).系統(tǒng)(2)的建立，可以指導(dǎo)人們解決和緩解在實(shí)際生態(tài)中種群滅絕的問題，從而達(dá)到保護(hù)珍稀物種，抑制那些大量繁殖而又對人們無益處的種群的目的，實(shí)現(xiàn)生態(tài)平衡穩(wěn)定.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

[2]Peter Turchin.Complex population dynamics:Generalized Lotka-Volterra Models[J].Princeton university press,2003:94-99.

[3]馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[4]姜玉秋.Turchin-Batzli捕食者-食餌系統(tǒng)的定性分析[J].東北師大學(xué)報,2006,38(4):17-21.

[5]尚玉昌.普通生態(tài)學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2002.