數(shù)學(xué)建模思想在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)改革中的運(yùn)用

張姮妤，鄧廷勇，趙 爽

(1.綏化學(xué)院，黑龍江 綏化 152061；2.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)，黑龍江 大慶 163000)

運(yùn)籌學(xué)作為一門與眾多科學(xué)相聯(lián)系的新興學(xué)科，運(yùn)籌學(xué)的理論和方法在企事業(yè)管理、社會(huì)服務(wù)、經(jīng)濟(jì)投入及生產(chǎn)決策等領(lǐng)域中發(fā)揮著越來越重要的作用.目前，各高校的理學(xué)、工學(xué)、經(jīng)濟(jì)貿(mào)易與工商管理等專業(yè)中都開設(shè)了運(yùn)籌學(xué)課程.運(yùn)籌學(xué)是一門優(yōu)化學(xué)科，具有以數(shù)學(xué)為主要工具、注重實(shí)際應(yīng)用、具有多學(xué)科交叉性等特點(diǎn).但在傳統(tǒng)的運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中存在重理論、輕實(shí)踐、教學(xué)內(nèi)容枯燥、教學(xué)形式單一、學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高、解決實(shí)際問題能力不強(qiáng)等現(xiàn)象.因此，如何對(duì)傳統(tǒng)的運(yùn)籌學(xué)教學(xué)進(jìn)行改革是一個(gè)值得研究和探索的問題.本人多年來一直從事運(yùn)籌學(xué)和數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和指導(dǎo)工作，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，若在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，可在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式和學(xué)生能力培養(yǎng)等方面有效地解決上述傳統(tǒng)運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中所存在的問題.本文主要闡述運(yùn)籌學(xué)與數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在聯(lián)系，說明在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法是十分必要的，將運(yùn)籌學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模有機(jī)地結(jié)合起來，能全面加強(qiáng)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，進(jìn)一步提高運(yùn)籌學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量.

1 運(yùn)籌學(xué)教學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想的必要性

數(shù)學(xué)建模是一種通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際中遇到的各種問題的方法.運(yùn)籌學(xué)致力于解決現(xiàn)實(shí)世界中的很多實(shí)際問題，將這些實(shí)際問題加以提煉，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并用該數(shù)學(xué)模型提供的解來解釋現(xiàn)實(shí)問題，抓住問題的主要矛盾，確定已知條件和未知因素之間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和表達(dá)式進(jìn)行描述，這樣，運(yùn)籌學(xué)就和數(shù)學(xué)建模緊密的聯(lián)系起來了.從運(yùn)籌學(xué)的研究?jī)?nèi)容及特點(diǎn)可以看出：運(yùn)籌學(xué)在處理問題時(shí)，根據(jù)研究對(duì)象的不同建立不同的數(shù)學(xué)模型，其中包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、排隊(duì)論、決策論、對(duì)策論、存儲(chǔ)論等常用的數(shù)學(xué)模型.在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常涉及到有關(guān)經(jīng)濟(jì)建設(shè)、生產(chǎn)實(shí)踐及企業(yè)管理中有限資源分配問題，以期獲得最大收益.要解決這類問題，首要的就是根據(jù)需要建立數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)建模中的數(shù)學(xué)模型很多又都來源于運(yùn)籌學(xué)，因此，從一定意義上來說，數(shù)學(xué)建模是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要組成部分，所以在運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)中一定要貫穿數(shù)學(xué)建模的思想方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

運(yùn)籌學(xué)教學(xué)改革實(shí)踐說明，運(yùn)籌學(xué)教學(xué)以數(shù)學(xué)建模的實(shí)際案例為背景，建模與優(yōu)化算法二者并重，既可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，又保證了學(xué)生具備扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，符合新時(shí)期人才培養(yǎng)的要求.運(yùn)籌學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的教學(xué)改革不但豐富了運(yùn)籌學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，改變了課程的教學(xué)形式，也提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)建模思想教育和建模訓(xùn)練是非常必要的，教學(xué)效果是積極肯定的.

2 數(shù)學(xué)建模思想在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

為了充分發(fā)揮運(yùn)籌學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合在教學(xué)改革中的作用，就應(yīng)該注意在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模的思想、方法和教學(xué)案例的運(yùn)用.

2.1 教學(xué)設(shè)計(jì)上體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想

教學(xué)設(shè)計(jì)是教師體現(xiàn)教學(xué)思想、指導(dǎo)完成具體教學(xué)任務(wù)的教學(xué)安排.傳統(tǒng)的運(yùn)籌學(xué)教學(xué)往往把注意力較多地集中在理論知識(shí)的處理上，而對(duì)例題、習(xí)題等內(nèi)容的選取、次序和搭配等教學(xué)設(shè)計(jì)的不夠合理，特別是對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的融入不夠充分，使學(xué)生對(duì)這門課程本質(zhì)的把握不深、不透，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和應(yīng)用能力的培養(yǎng).因此，在運(yùn)籌學(xué)課程的教學(xué)設(shè)計(jì)中，首先要注意引用與建模問題有關(guān)的教學(xué)案例，設(shè)置一些與日常生活密切相關(guān)的、有趣的問題，在充分體現(xiàn)該問題的實(shí)踐性、體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的同時(shí)，設(shè)計(jì)合理的案例.

比如，學(xué)校食堂服務(wù)的優(yōu)化模型，到食堂就餐是每個(gè)學(xué)生關(guān)心的問題，能否快速接收到服務(wù)是學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)，可以指導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的現(xiàn)狀進(jìn)行考察，然后利用數(shù)學(xué)的方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析和研究，提出合理化建議.這是運(yùn)籌學(xué)中的排隊(duì)論問題，還有學(xué)校浴池服務(wù)、理發(fā)服務(wù)等和學(xué)生生活、學(xué)習(xí)密切相關(guān)的問題都屬于類似問題，通過對(duì)這些問題的案例設(shè)計(jì)啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生積極主動(dòng)參與教學(xué)過程，真正成為學(xué)習(xí)的主人.

2.2 教學(xué)環(huán)節(jié)上滲透數(shù)學(xué)建模思想

為了使學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)取得較好效果，教師應(yīng)該拋棄“填鴨式”的滿堂灌教學(xué)方法，采用探究式教學(xué)，由淺入深、由直觀到抽象地進(jìn)行知識(shí)傳授，引導(dǎo)學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)的概念和方法，獲得學(xué)習(xí)的樂趣.

例如，在運(yùn)籌學(xué)的緒論介紹中，可引入齊王與田忌賽馬的故事情節(jié)，田忌通過對(duì)上等馬、中等馬、下等馬的合理匹配，充分利用自身現(xiàn)有資源，發(fā)揮最大效用.這個(gè)故事的引入，不僅體現(xiàn)出運(yùn)籌學(xué)的優(yōu)化思想，而且避免了直接給出運(yùn)籌學(xué)定義和研究對(duì)象給學(xué)生帶來的困惑，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

此外，對(duì)運(yùn)籌學(xué)的講授，不僅要注意知識(shí)的傳播，還要注意知識(shí)的擴(kuò)展和延伸，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性、嚴(yán)謹(jǐn)性和開闊性.例如，對(duì)“運(yùn)輸問題”的講解，可以先提出問題，讓學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行求解，學(xué)生基本使用建立線性規(guī)劃模型后用單純形法求解的方法.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析運(yùn)輸問題線性規(guī)劃模型的特點(diǎn)，引出表上作業(yè)法，這種方法針對(duì)運(yùn)輸問題變量多，結(jié)構(gòu)獨(dú)特的特點(diǎn)，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化，其實(shí)質(zhì)還是單純形法.同時(shí)將運(yùn)輸問題，分配問題比較，后者通常使用匈牙利法，根據(jù)二者都存在平衡問題，可以向?qū)W生提出“兩種方法是否可以互相通用”的問題，讓學(xué)生自己思考比較.

在教學(xué)方法上，教師采用啟發(fā)式教學(xué)，不僅能使學(xué)生積極思考，融會(huì)貫通地掌握知識(shí)，還能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生思維創(chuàng)造力.

2.3 課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

在教學(xué)過程中，為了有效、系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題的能力，教師要注意收集一些有實(shí)際意義的、學(xué)生感興趣的題目，將其融入課堂教學(xué).每次上課前教師都要根據(jù)精心設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)內(nèi)容，思考如何將原本枯燥無味的運(yùn)籌課上得活潑而生動(dòng)，使其達(dá)到最佳的教學(xué)效果.

另外，在講授規(guī)劃時(shí)，可以編排“學(xué)生選課”問題來作為引入點(diǎn).例如，某校規(guī)定，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在大一、大二期間至少要學(xué)習(xí)2門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，3門數(shù)學(xué)實(shí)踐課程和2門計(jì)算機(jī)課程，課程名稱及學(xué)分等要求見表1.問題：學(xué)生畢業(yè)時(shí)最少需要學(xué)習(xí)哪些課程.如何使學(xué)生選擇課程少，又能獲得多學(xué)分，可以選擇哪些課程.

這是一個(gè)貼近學(xué)生生活的分配問題，可對(duì)其建立0-1規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，由此引出整數(shù)規(guī)劃和0-1規(guī)劃的解法.對(duì)于學(xué)生而言，既希望所選的課程數(shù)量較少，又希望所得學(xué)分較多，這樣又可以引出多目標(biāo)規(guī)劃問題.從而學(xué)生就會(huì)對(duì)該問題很感興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，收到很好的教學(xué)效果.通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以用運(yùn)籌學(xué)的知識(shí)解決自己身邊遇到的問題，能夠做到學(xué)以致用，可以增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣.

表1 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)選課表

在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中，為了豐富教學(xué)內(nèi)容，教師平時(shí)要注意收集國(guó)內(nèi)外優(yōu)秀的運(yùn)籌學(xué)建模案例，要?jiǎng)?chuàng)建運(yùn)籌學(xué)案例庫(kù)，在課堂上針對(duì)不同的學(xué)生，讓他們做不同的案例，真正做到因材施教.在課后教學(xué)實(shí)踐中，要求學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的運(yùn)籌學(xué)理論，建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，并給出相應(yīng)的算法，編制運(yùn)算程序，最后給出結(jié)果分析，并以論文的方式給予解答.如果問題的解答比較麻煩，一個(gè)人很難在很短的時(shí)間內(nèi)完成，就要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和問題的難易程度把學(xué)生分成小組來完成題目，這樣的教學(xué)方式，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模參賽能力.以我校運(yùn)籌學(xué)教學(xué)改革為例，經(jīng)過一學(xué)期的訓(xùn)練，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模大賽中取得了很好的成績(jī)，其中在2012年?yáng)|北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽中，我校有兩個(gè)代表隊(duì)獲黑龍江賽區(qū)的一等獎(jiǎng)，四個(gè)代表隊(duì)獲黑龍江賽區(qū)的二等獎(jiǎng).在2013年“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，我校有一個(gè)代表隊(duì)獲黑龍江賽區(qū)的一等獎(jiǎng)，三個(gè)代表隊(duì)獲黑龍江賽區(qū)的二等獎(jiǎng).通過這樣的訓(xùn)練，不僅提高了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生敢于向困難挑戰(zhàn)的精神以及相互協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神.

2.4 課程考核中結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想

在以往的運(yùn)籌學(xué)課程考試中，就是用一張?jiān)嚲斫獯饐栴}，學(xué)生只會(huì)套用書上的公式，進(jìn)行機(jī)械的手工運(yùn)算，脫離了運(yùn)籌學(xué)解決實(shí)際問題的本質(zhì)要求，無法體現(xiàn)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.因此，在運(yùn)籌學(xué)課程的考核上也可以進(jìn)行考核方法和考核內(nèi)容的改革：將運(yùn)籌學(xué)考試分為兩部分，一部分為基礎(chǔ)知識(shí)的測(cè)試，采取筆試的形式(占60%)，另一部分為基本技能的測(cè)試，采取論文的形式(占40%)，基本技能測(cè)試部分主要考查學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.

例如，我校2012年運(yùn)籌學(xué)課程期末考核中，要求學(xué)生在考前提交一篇論文，解決圖書優(yōu)化借閱問題.這是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)排隊(duì)論問題，實(shí)際上就是要求學(xué)生對(duì)本校圖書館服務(wù)的現(xiàn)狀進(jìn)行分析，就如何能快速接收到服務(wù)，提出合理化建議，建立一個(gè)“圖書借閱優(yōu)化模型”.這項(xiàng)考核要求學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)提出問題解決方案、建立優(yōu)化借閱模型并撰寫相關(guān)論文.教師通過這樣的考核，比較真實(shí)地了解了學(xué)生掌握運(yùn)籌學(xué)知識(shí)的情況，了解了學(xué)生穩(wěn)定運(yùn)用這些知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力情況，為全面、客觀地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況提供了重要依據(jù).幾年來的運(yùn)籌學(xué)課程考核實(shí)踐表明，在基本技能測(cè)試中將運(yùn)籌學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合是可行的，也是成功的，它在學(xué)生的實(shí)踐能力、運(yùn)用能力和創(chuàng)新能力的全面培養(yǎng)中發(fā)揮了重要作用.

3 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)籌學(xué)與數(shù)學(xué)建模是既相互獨(dú)立、又有密切聯(lián)系的兩門數(shù)學(xué)學(xué)科，實(shí)踐性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性是這兩門課程的共同特點(diǎn).數(shù)學(xué)建模的思想和方法在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用為培養(yǎng)學(xué)生的各種能力、加強(qiáng)專業(yè)素質(zhì)教育提供了一個(gè)新的平臺(tái).教學(xué)改革實(shí)踐說明，將數(shù)學(xué)建模思想融入運(yùn)籌學(xué)教學(xué)改革的思路是正確的，改革措施是得當(dāng)?shù)模虒W(xué)效果是很好的.

需要指出的是，將運(yùn)籌學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的教學(xué)改革無疑對(duì)教師的教學(xué)能力和綜合素質(zhì)提出了更高的要求，教師具有積極的教學(xué)改革意識(shí)、較強(qiáng)的教學(xué)材料組織和教學(xué)實(shí)施能力是保證這項(xiàng)教學(xué)改革成功的關(guān)鍵所在.我們相信，只要教育科學(xué)不斷發(fā)展，教學(xué)改革就永無止境.運(yùn)籌學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的教學(xué)改革也必定是一個(gè)不斷完善、不斷提高的過程.我們只要秉著嚴(yán)肅認(rèn)真、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，勇于探索、孜孜以求，就會(huì)使這門課程的教學(xué)改革達(dá)到一個(gè)“沒有最好、只有更好”的新境界.

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