Mahalanobis距離判別法在天氣預測方面的應用研究

田 兵

(包頭師范學院 《陰山學刊》編輯部,內(nèi)蒙古 包頭 014030)

判別分析是統(tǒng)計學中一個非常重要的概念.它是判別樣品所屬類型的一種統(tǒng)計方法.它的基本思想是在各組已知樣品觀測數(shù)據(jù)的基礎上，確定一個判別函數(shù)，構(gòu)造一個判別準則，根據(jù)已有的判別準則，對待測定類型的新樣品進行比較歸類.常用的判別方法有 Mahalanobis判別法、Bayes判別法、Fisher判別法和逐步判別法.

Mahalanobis距離判別分析法是判別分析中最常用一種方法.Mahalanobis距離判別分析法是根據(jù)觀測到的樣本的若干數(shù)量特征對新獲得的樣本進行歸類、識別，判別其所屬類型的一種統(tǒng)計分析方法.該方法的主要思想是比較樣本到各個總體的Mahalanobis距離，然后將其判給Mahalanobis距離最近的那個總體.目前，該方法已經(jīng)被廣泛的應用到經(jīng)濟學、社會學、醫(yī)學、心理學、生物學、地質(zhì)學等諸多領域.本文主要探討的是Mahalanobis距離判別法在天氣預測方面的應用.

1 天氣數(shù)據(jù)

據(jù)以往經(jīng)驗，今天與昨天的溫度差X和今天的壓溫差(氣壓與溫度之差)Y是預報明天下雨與否的兩個重要因素.現(xiàn)有一批已收集的天氣數(shù)據(jù)如表1所示.今測得今天與明天的溫度差、壓溫差分別為x1=8.1，x2=2.0(待測樣本x)，那么明天是否會下雨？

表1 濕度差與壓溫差數(shù)據(jù)

其中雨天與非雨天這兩類總體(分別用H和I表示)均有m=2個指標(濕度差和壓溫差)，各有n=10個樣本觀測數(shù)據(jù)，另外有一個待測樣本x.

2 Mahalanobis距離判別法

根據(jù)Mahalanobis距離判別法的數(shù)學思想，首先計算出兩類總體(雨天和非雨天)的均值，然后計算這兩類總體的協(xié)方差陣，之后計算出待測樣本x與兩類總體(雨天和非雨天)的距離，最后比較這兩個距離的大小進而得出結(jié)論.

2.1 分別計算兩類總體的均值

可以得到雨天數(shù)據(jù)的均值為μ1，非雨天數(shù)據(jù)的均值為μ2，其中

2.2 分別計算兩類總體的協(xié)方差陣

雨天與非雨天的協(xié)方差陣分別為∑1，∑2，通過計算可以得到

不難看出∑1≠∑2.即：雨天和非雨天數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣不相等.

2.3 計算待測樣本與兩類總體的Mahalanobis距離

在統(tǒng)計分析與計算中，考慮到隨機變量方差的信息，定義一種新距離：Mahalanobis距離.其定義如下：設x與y是從均值為μ，協(xié)方差陣為∑的總體X中抽取的兩個樣本，則總體X內(nèi)兩點x與y的Mahalanobis距離定義為

定義樣本x與總體X的Mahalanobis距離為

根據(jù)Mahalanobis距離的定義，可以得到待測樣本x與雨天(H)和非雨天(I)總體的Mahalanobis距離平方分別為

2.4 通過判別函數(shù)得出結(jié)論

要判斷待明天是否會下雨，就是判斷測樣本x屬于總體H還是I.需要計算x到雨天H和非雨天I的Mahalanobis距離的平方d2(x,H)與d2(x,I).然后進行比較，如果

d2(x,H)≤d2(x,I)

則判定樣本x是屬于總體H，即明天下雨；如果

d2(x,H)>d2(x,I)

則判定樣本x是來自總體I，即明天不下雨.這樣我們可以得到如下判別函數(shù)：

ω(x)=d2(x,H)-d2(x,I)

稱ω(x)為兩總體H與I的距離判別函數(shù).

令

R1={x|ω(x)≥0};
R2={x|ω(x)<0},

則R1和R2為兩總體的距離判別準則.

通過比較發(fā)現(xiàn)

ω(x)=
d2(x,H)-d2(x,I)=-11.37813<0,

所以判斷測樣本x屬于總體H，可以得出結(jié)論明天會下雨.

3 總結(jié)

對于已有的10個雨天和非雨天的濕度差和壓溫差數(shù)據(jù)，運用多元統(tǒng)計中的Mahalanobis距離判別法得到了判別待測樣本屬于雨天還是非雨天的判別函數(shù)，經(jīng)過具體計算得出待測樣本屬于雨天這樣的結(jié)論.通過上述過程證明Mahalanobis距離判別法在天氣預測中具有計算簡單, 結(jié)論明確,具有較高可信度的特點.

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