利用信息資源，體驗(yàn)數(shù)學(xué)精彩

張映姜

摘要：運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)資源，能有效地增進(jìn)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。本文將網(wǎng)絡(luò)作為載體，闡述了如何利用信息資源，引導(dǎo)學(xué)生參與網(wǎng)絡(luò)交互獲得直觀體驗(yàn)，欣賞數(shù)學(xué)家傳奇感悟數(shù)學(xué)的趣味，品味幾何經(jīng)典，體驗(yàn)數(shù)學(xué)豐厚的文化底蘊(yùn)，擲骰子玩數(shù)學(xué)游戲豐富概率的認(rèn)知體驗(yàn)，拋針求圓周率體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求，領(lǐng)悟深刻的數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；網(wǎng)絡(luò)；經(jīng)驗(yàn)；體驗(yàn)；數(shù)學(xué)家

學(xué)習(xí)需要體驗(yàn)，通過體驗(yàn)獲得認(rèn)知、價值、觀念等，不僅形成概念，掌握理論，還產(chǎn)生情感、培養(yǎng)態(tài)度甚至形成信仰。所以，體驗(yàn)、感悟是重要的教育方式，只有真正感悟，親身體驗(yàn)，才能最終在內(nèi)心深處沉淀，成為素質(zhì)、能力，伴其一生，受用一生。

● 參與網(wǎng)絡(luò)交互：直觀體驗(yàn)

有意義、情感的數(shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)?zāi)茇S富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，而體驗(yàn)則是對經(jīng)驗(yàn)的超越。平面截立體利于豐富學(xué)生的幾何經(jīng)驗(yàn)。利用共享的幾何資源，參與平面截立體交互，獲得平面截球體、圓柱、圓錐等的經(jīng)歷，得到“做的經(jīng)驗(yàn)”，也能豐富幾何截面閱歷，活化學(xué)生內(nèi)在的、惰性的個體知識經(jīng)驗(yàn)。生動的平面截立體的動畫能夠促進(jìn)幾何直觀的體驗(yàn)（如圖1），形成平面截立方體得到六邊形截面的經(jīng)驗(yàn)。在操作中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟，把握平面截立方體得到正方形、三角形、四邊形、五邊形等截面的幾何策略，在活動中領(lǐng)略幾何截面與六個面的位置關(guān)系，在截立方體的過程中獲得形象直觀的經(jīng)驗(yàn)：什么樣的位置能截幾個面，截n個面就能得到n邊形。在截立體圖形的網(wǎng)絡(luò)活動中豐富幾何體驗(yàn)，培養(yǎng)幾何直覺。如圖2所示，在平面截立體的過程中獲得幾何體驗(yàn)，獲得幾何直觀，形成空間想象力。教學(xué)過程中可以通過虛擬操作，獲得直觀體驗(yàn)，豐富學(xué)生截立體的知識經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)聯(lián)想，激發(fā)想象力。

● 聆聽數(shù)學(xué)傳奇：豐富情感體驗(yàn)

情感是體驗(yàn)過程的結(jié)果。積極的數(shù)學(xué)情感會產(chǎn)生良好的體驗(yàn)結(jié)果。許多幾何曲線蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家豐富的情感，如心形線。點(diǎn)擊網(wǎng)絡(luò)http：//www2.emath.pu.edu.tw/s9121049/geometry4-1.htm（如圖3），網(wǎng)頁上心形線的動畫栩栩如生。心形線是16世紀(jì)解析幾何創(chuàng)始人笛卡爾與克里斯汀公主愛情的見證。笛卡爾因與18歲公主的戀愛而遭到國王的強(qiáng)烈反對，并被驅(qū)趕。笛卡爾給公主的信全被截獲，因信中只有極坐標(biāo)方程r=a（1-sinθ）的第13封信才得以交給公主。公主揭開了信中極坐標(biāo)方程的謎底“心形線”，爾后淚流滿面，但還不知道這是笛卡爾的最后一封信。心形線浸泡著凄婉的愛情故事，純粹的曲線被賦予了大師的浪漫與豐富的情感。這封另類情書，至今仍保存在笛卡爾的紀(jì)念館里。有情感的融入才會有體驗(yàn)，從本質(zhì)上來看，體驗(yàn)是伴隨著情感的。有著浪漫故事的心形線r=a（1-sinθ）讓我們有了情感、想象等學(xué)習(xí)體驗(yàn)。那么，r=a（1-sinθ）便不再是索然無味的公式，而被賦予了豐富的內(nèi)涵，是有著凄婉動人故事的知識載體。打上人類活動的烙印，融入人類情感，于是數(shù)學(xué)知識有了人文屬性，也就給人以情感的體驗(yàn)。

● 欣賞數(shù)學(xué)經(jīng)典：體驗(yàn)精彩思維

許多數(shù)學(xué)經(jīng)典名題，不僅具有豐厚的文化沉淀，而且能揭示精辟的規(guī)律，演繹出奇妙的數(shù)學(xué)思維，使人們驚嘆于數(shù)學(xué)的魅力。九點(diǎn)圓定理是數(shù)學(xué)史上的奇跡，自古以來就被人們欣賞、玩味：三角形三邊的中點(diǎn)、三邊上高的垂足，以及垂心與三頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，共九個點(diǎn)，均在同一個圓上，無論三角形是直角的、鈍角的或銳角的。點(diǎn)擊網(wǎng)頁，動畫演示http：//www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php（如圖4），充分揭示了幾何學(xué)上幾點(diǎn)共圓的美妙奇觀，展現(xiàn)了九點(diǎn)圓的魅力。

人們對九點(diǎn)圓規(guī)律有深刻揭示，對共圓有奇妙的體驗(yàn)。著名數(shù)學(xué)家歐拉、龐斯萊、費(fèi)爾巴哈對九點(diǎn)圓思考之深切，癡迷之瘋狂，極為罕見。由于在九點(diǎn)共圓方面的不朽貢獻(xiàn)，九點(diǎn)圓也稱之為歐拉圓、龐斯萊圓、費(fèi)爾巴哈圓、歐拉不僅僅體驗(yàn)到九點(diǎn)共圓，而且還發(fā)現(xiàn)三角形ABC，九點(diǎn)圓的圓心O、外心I、重心G以及垂心H在一條神奇的直線上，即奇妙的歐拉線，更為精彩的是九點(diǎn)圓的圓心O恰好是三角形垂心H與外心I連線段的中點(diǎn)。現(xiàn)代信息技術(shù)神奇地展現(xiàn)出三角形的九點(diǎn)圓、絕妙的點(diǎn)以及驚奇的歐拉線（如圖5）。還有讓我們終身難以忘懷的是，三角形的九點(diǎn)圓與其三個旁切圓均相切，即經(jīng)典的費(fèi)爾巴哈定理（如圖6）。利用網(wǎng)絡(luò)資源，領(lǐng)略三角形與相關(guān)圓的神奇關(guān)系，增進(jìn)了學(xué)生的思維體驗(yàn)，使其獲得了許多美妙的知識體驗(yàn)，數(shù)學(xué)思維的深刻、有序和諧讓學(xué)生得到精神上的極大愉悅。

● 拋骰子玩游戲：增強(qiáng)認(rèn)知體驗(yàn)

認(rèn)知的價值是在具體情境中建構(gòu)意義、產(chǎn)生情感，并獲得豐富多彩的體驗(yàn)，脫離情境進(jìn)行抽象的認(rèn)知是毫無意義的。知識的獲得與認(rèn)知體驗(yàn)不可分離，知識是在情境中通過認(rèn)知體驗(yàn)獲得的。對概率認(rèn)知體驗(yàn)需要在拋骰子等游戲活動中體驗(yàn)歷史，獲得隨機(jī)觀念，欣賞軼事，回味趣聞。打開網(wǎng)頁，http：//4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/gltj_sjsy.htm#（如圖7），展示精彩的拋骰子游戲，演示費(fèi)馬與帕斯卡擲拋骰子游戲，能夠溫習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)案例，探討點(diǎn)數(shù)問題。骰子的擲拋是人類的數(shù)學(xué)經(jīng)典，能使學(xué)生體驗(yàn)到人類隨機(jī)觀念的形成過程，豐富概率的認(rèn)知體驗(yàn)。

知識經(jīng)驗(yàn)來源于知識的認(rèn)知體驗(yàn)，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是在認(rèn)知活動中獲得并最終形成的。從“出身”不好的骰子體驗(yàn)概率論的誕生，發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)思想，獲得人類的重要知識經(jīng)驗(yàn)。在骰子很早用于賭博、占卜的游戲中體驗(yàn)隨機(jī)觀念。在伽利略探究多顆骰子的游戲中，探究點(diǎn)數(shù)問題：“點(diǎn)數(shù)和為9或10的次數(shù)哪個多”，增強(qiáng)概率的認(rèn)知體驗(yàn)。某個知識被經(jīng)歷、領(lǐng)略、感悟，從而獲得知識的意義、存在的價值，以及生命的活力。從歷史悠久的擲骰子玩游戲中，不僅能感受數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)熱情，而且能領(lǐng)略數(shù)學(xué)家思維的高超、方法的新穎，更能體驗(yàn)概率豐富的文化內(nèi)涵。知識因文化而被人理解，并具有豐富的意義；離開了文化，數(shù)學(xué)也會變得不可理解。

● 拋針求圓周率：體驗(yàn)方法的魅力

數(shù)學(xué)上的每一次成功都是數(shù)學(xué)方法的突破，如拋針求圓周率，不僅能體驗(yàn)數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的追求，更能領(lǐng)略蒙特卡羅方法。網(wǎng)絡(luò)上提供了生動有趣、方便實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)拋針游戲，可再現(xiàn)蒲豐拋針求圓周率的試驗(yàn)過程。點(diǎn)擊網(wǎng)頁http：//www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/bufjava_old.html（如圖8），設(shè)置拋針4321次，相交2748次，圓周率估計值3.1448326。蒲豐拋針求圓周率的經(jīng)典的方法讓我們能夠品味到圓周率π的趣味，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的無窮魅力，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)家的不懈追求。

數(shù)學(xué)知識離不開數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求、不懈探究，拋針求圓周率深深地吸引著蒲豐。蒲豐癡迷于拋針求圓周率的經(jīng)典探究，他在一組平行線的紙上，拋n次針，與直線相交m次，得到了若樣本容量較大時，相交的概率用相交頻率代替；當(dāng)平行線間距離為d，針長l的結(jié)論。于是，。當(dāng)時取，則。讓我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的精彩：拋針能求圓周率π的近似值！1777年，蒲豐投2212次，相交704次，計算出。由拋針求圓周率π，我們體驗(yàn)了蒲豐精湛的思維、求π方法的精彩，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)方法的無窮魅力。蒲豐后的100多年里，沃爾夫、賴納、史密斯、德·摩根、福克斯、拉澤里尼等眾多數(shù)學(xué)家先后癡迷于拋針求圓周率，從中我們可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)家強(qiáng)烈的好奇心、執(zhí)著的專業(yè)追求。endprint

摘要：運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)資源，能有效地增進(jìn)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。本文將網(wǎng)絡(luò)作為載體，闡述了如何利用信息資源，引導(dǎo)學(xué)生參與網(wǎng)絡(luò)交互獲得直觀體驗(yàn)，欣賞數(shù)學(xué)家傳奇感悟數(shù)學(xué)的趣味，品味幾何經(jīng)典，體驗(yàn)數(shù)學(xué)豐厚的文化底蘊(yùn)，擲骰子玩數(shù)學(xué)游戲豐富概率的認(rèn)知體驗(yàn)，拋針求圓周率體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求，領(lǐng)悟深刻的數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；網(wǎng)絡(luò)；經(jīng)驗(yàn)；體驗(yàn)；數(shù)學(xué)家

學(xué)習(xí)需要體驗(yàn)，通過體驗(yàn)獲得認(rèn)知、價值、觀念等，不僅形成概念，掌握理論，還產(chǎn)生情感、培養(yǎng)態(tài)度甚至形成信仰。所以，體驗(yàn)、感悟是重要的教育方式，只有真正感悟，親身體驗(yàn)，才能最終在內(nèi)心深處沉淀，成為素質(zhì)、能力，伴其一生，受用一生。

● 參與網(wǎng)絡(luò)交互：直觀體驗(yàn)

有意義、情感的數(shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)?zāi)茇S富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，而體驗(yàn)則是對經(jīng)驗(yàn)的超越。平面截立體利于豐富學(xué)生的幾何經(jīng)驗(yàn)。利用共享的幾何資源，參與平面截立體交互，獲得平面截球體、圓柱、圓錐等的經(jīng)歷，得到“做的經(jīng)驗(yàn)”，也能豐富幾何截面閱歷，活化學(xué)生內(nèi)在的、惰性的個體知識經(jīng)驗(yàn)。生動的平面截立體的動畫能夠促進(jìn)幾何直觀的體驗(yàn)（如圖1），形成平面截立方體得到六邊形截面的經(jīng)驗(yàn)。在操作中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟，把握平面截立方體得到正方形、三角形、四邊形、五邊形等截面的幾何策略，在活動中領(lǐng)略幾何截面與六個面的位置關(guān)系，在截立方體的過程中獲得形象直觀的經(jīng)驗(yàn)：什么樣的位置能截幾個面，截n個面就能得到n邊形。在截立體圖形的網(wǎng)絡(luò)活動中豐富幾何體驗(yàn)，培養(yǎng)幾何直覺。如圖2所示，在平面截立體的過程中獲得幾何體驗(yàn)，獲得幾何直觀，形成空間想象力。教學(xué)過程中可以通過虛擬操作，獲得直觀體驗(yàn)，豐富學(xué)生截立體的知識經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)聯(lián)想，激發(fā)想象力。

● 聆聽數(shù)學(xué)傳奇：豐富情感體驗(yàn)

情感是體驗(yàn)過程的結(jié)果。積極的數(shù)學(xué)情感會產(chǎn)生良好的體驗(yàn)結(jié)果。許多幾何曲線蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家豐富的情感，如心形線。點(diǎn)擊網(wǎng)絡(luò)http：//www2.emath.pu.edu.tw/s9121049/geometry4-1.htm（如圖3），網(wǎng)頁上心形線的動畫栩栩如生。心形線是16世紀(jì)解析幾何創(chuàng)始人笛卡爾與克里斯汀公主愛情的見證。笛卡爾因與18歲公主的戀愛而遭到國王的強(qiáng)烈反對，并被驅(qū)趕。笛卡爾給公主的信全被截獲，因信中只有極坐標(biāo)方程r=a（1-sinθ）的第13封信才得以交給公主。公主揭開了信中極坐標(biāo)方程的謎底“心形線”，爾后淚流滿面，但還不知道這是笛卡爾的最后一封信。心形線浸泡著凄婉的愛情故事，純粹的曲線被賦予了大師的浪漫與豐富的情感。這封另類情書，至今仍保存在笛卡爾的紀(jì)念館里。有情感的融入才會有體驗(yàn)，從本質(zhì)上來看，體驗(yàn)是伴隨著情感的。有著浪漫故事的心形線r=a（1-sinθ）讓我們有了情感、想象等學(xué)習(xí)體驗(yàn)。那么，r=a（1-sinθ）便不再是索然無味的公式，而被賦予了豐富的內(nèi)涵，是有著凄婉動人故事的知識載體。打上人類活動的烙印，融入人類情感，于是數(shù)學(xué)知識有了人文屬性，也就給人以情感的體驗(yàn)。

● 欣賞數(shù)學(xué)經(jīng)典：體驗(yàn)精彩思維

許多數(shù)學(xué)經(jīng)典名題，不僅具有豐厚的文化沉淀，而且能揭示精辟的規(guī)律，演繹出奇妙的數(shù)學(xué)思維，使人們驚嘆于數(shù)學(xué)的魅力。九點(diǎn)圓定理是數(shù)學(xué)史上的奇跡，自古以來就被人們欣賞、玩味：三角形三邊的中點(diǎn)、三邊上高的垂足，以及垂心與三頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，共九個點(diǎn)，均在同一個圓上，無論三角形是直角的、鈍角的或銳角的。點(diǎn)擊網(wǎng)頁，動畫演示http：//www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php（如圖4），充分揭示了幾何學(xué)上幾點(diǎn)共圓的美妙奇觀，展現(xiàn)了九點(diǎn)圓的魅力。

人們對九點(diǎn)圓規(guī)律有深刻揭示，對共圓有奇妙的體驗(yàn)。著名數(shù)學(xué)家歐拉、龐斯萊、費(fèi)爾巴哈對九點(diǎn)圓思考之深切，癡迷之瘋狂，極為罕見。由于在九點(diǎn)共圓方面的不朽貢獻(xiàn)，九點(diǎn)圓也稱之為歐拉圓、龐斯萊圓、費(fèi)爾巴哈圓、歐拉不僅僅體驗(yàn)到九點(diǎn)共圓，而且還發(fā)現(xiàn)三角形ABC，九點(diǎn)圓的圓心O、外心I、重心G以及垂心H在一條神奇的直線上，即奇妙的歐拉線，更為精彩的是九點(diǎn)圓的圓心O恰好是三角形垂心H與外心I連線段的中點(diǎn)。現(xiàn)代信息技術(shù)神奇地展現(xiàn)出三角形的九點(diǎn)圓、絕妙的點(diǎn)以及驚奇的歐拉線（如圖5）。還有讓我們終身難以忘懷的是，三角形的九點(diǎn)圓與其三個旁切圓均相切，即經(jīng)典的費(fèi)爾巴哈定理（如圖6）。利用網(wǎng)絡(luò)資源，領(lǐng)略三角形與相關(guān)圓的神奇關(guān)系，增進(jìn)了學(xué)生的思維體驗(yàn)，使其獲得了許多美妙的知識體驗(yàn)，數(shù)學(xué)思維的深刻、有序和諧讓學(xué)生得到精神上的極大愉悅。

● 拋骰子玩游戲：增強(qiáng)認(rèn)知體驗(yàn)

認(rèn)知的價值是在具體情境中建構(gòu)意義、產(chǎn)生情感，并獲得豐富多彩的體驗(yàn)，脫離情境進(jìn)行抽象的認(rèn)知是毫無意義的。知識的獲得與認(rèn)知體驗(yàn)不可分離，知識是在情境中通過認(rèn)知體驗(yàn)獲得的。對概率認(rèn)知體驗(yàn)需要在拋骰子等游戲活動中體驗(yàn)歷史，獲得隨機(jī)觀念，欣賞軼事，回味趣聞。打開網(wǎng)頁，http：//4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/gltj_sjsy.htm#（如圖7），展示精彩的拋骰子游戲，演示費(fèi)馬與帕斯卡擲拋骰子游戲，能夠溫習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)案例，探討點(diǎn)數(shù)問題。骰子的擲拋是人類的數(shù)學(xué)經(jīng)典，能使學(xué)生體驗(yàn)到人類隨機(jī)觀念的形成過程，豐富概率的認(rèn)知體驗(yàn)。

知識經(jīng)驗(yàn)來源于知識的認(rèn)知體驗(yàn)，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是在認(rèn)知活動中獲得并最終形成的。從“出身”不好的骰子體驗(yàn)概率論的誕生，發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)思想，獲得人類的重要知識經(jīng)驗(yàn)。在骰子很早用于賭博、占卜的游戲中體驗(yàn)隨機(jī)觀念。在伽利略探究多顆骰子的游戲中，探究點(diǎn)數(shù)問題：“點(diǎn)數(shù)和為9或10的次數(shù)哪個多”，增強(qiáng)概率的認(rèn)知體驗(yàn)。某個知識被經(jīng)歷、領(lǐng)略、感悟，從而獲得知識的意義、存在的價值，以及生命的活力。從歷史悠久的擲骰子玩游戲中，不僅能感受數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)熱情，而且能領(lǐng)略數(shù)學(xué)家思維的高超、方法的新穎，更能體驗(yàn)概率豐富的文化內(nèi)涵。知識因文化而被人理解，并具有豐富的意義；離開了文化，數(shù)學(xué)也會變得不可理解。

● 拋針求圓周率：體驗(yàn)方法的魅力

數(shù)學(xué)上的每一次成功都是數(shù)學(xué)方法的突破，如拋針求圓周率，不僅能體驗(yàn)數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的追求，更能領(lǐng)略蒙特卡羅方法。網(wǎng)絡(luò)上提供了生動有趣、方便實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)拋針游戲，可再現(xiàn)蒲豐拋針求圓周率的試驗(yàn)過程。點(diǎn)擊網(wǎng)頁http：//www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/bufjava_old.html（如圖8），設(shè)置拋針4321次，相交2748次，圓周率估計值3.1448326。蒲豐拋針求圓周率的經(jīng)典的方法讓我們能夠品味到圓周率π的趣味，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的無窮魅力，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)家的不懈追求。

數(shù)學(xué)知識離不開數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求、不懈探究，拋針求圓周率深深地吸引著蒲豐。蒲豐癡迷于拋針求圓周率的經(jīng)典探究，他在一組平行線的紙上，拋n次針，與直線相交m次，得到了若樣本容量較大時，相交的概率用相交頻率代替；當(dāng)平行線間距離為d，針長l的結(jié)論。于是，。當(dāng)時取，則。讓我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的精彩：拋針能求圓周率π的近似值！1777年，蒲豐投2212次，相交704次，計算出。由拋針求圓周率π，我們體驗(yàn)了蒲豐精湛的思維、求π方法的精彩，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)方法的無窮魅力。蒲豐后的100多年里，沃爾夫、賴納、史密斯、德·摩根、?？怂?、拉澤里尼等眾多數(shù)學(xué)家先后癡迷于拋針求圓周率，從中我們可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)家強(qiáng)烈的好奇心、執(zhí)著的專業(yè)追求。endprint

摘要：運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)資源，能有效地增進(jìn)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。本文將網(wǎng)絡(luò)作為載體，闡述了如何利用信息資源，引導(dǎo)學(xué)生參與網(wǎng)絡(luò)交互獲得直觀體驗(yàn)，欣賞數(shù)學(xué)家傳奇感悟數(shù)學(xué)的趣味，品味幾何經(jīng)典，體驗(yàn)數(shù)學(xué)豐厚的文化底蘊(yùn)，擲骰子玩數(shù)學(xué)游戲豐富概率的認(rèn)知體驗(yàn)，拋針求圓周率體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求，領(lǐng)悟深刻的數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；網(wǎng)絡(luò)；經(jīng)驗(yàn)；體驗(yàn)；數(shù)學(xué)家

學(xué)習(xí)需要體驗(yàn)，通過體驗(yàn)獲得認(rèn)知、價值、觀念等，不僅形成概念，掌握理論，還產(chǎn)生情感、培養(yǎng)態(tài)度甚至形成信仰。所以，體驗(yàn)、感悟是重要的教育方式，只有真正感悟，親身體驗(yàn)，才能最終在內(nèi)心深處沉淀，成為素質(zhì)、能力，伴其一生，受用一生。

● 參與網(wǎng)絡(luò)交互：直觀體驗(yàn)

有意義、情感的數(shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)?zāi)茇S富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，而體驗(yàn)則是對經(jīng)驗(yàn)的超越。平面截立體利于豐富學(xué)生的幾何經(jīng)驗(yàn)。利用共享的幾何資源，參與平面截立體交互，獲得平面截球體、圓柱、圓錐等的經(jīng)歷，得到“做的經(jīng)驗(yàn)”，也能豐富幾何截面閱歷，活化學(xué)生內(nèi)在的、惰性的個體知識經(jīng)驗(yàn)。生動的平面截立體的動畫能夠促進(jìn)幾何直觀的體驗(yàn)（如圖1），形成平面截立方體得到六邊形截面的經(jīng)驗(yàn)。在操作中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟，把握平面截立方體得到正方形、三角形、四邊形、五邊形等截面的幾何策略，在活動中領(lǐng)略幾何截面與六個面的位置關(guān)系，在截立方體的過程中獲得形象直觀的經(jīng)驗(yàn)：什么樣的位置能截幾個面，截n個面就能得到n邊形。在截立體圖形的網(wǎng)絡(luò)活動中豐富幾何體驗(yàn)，培養(yǎng)幾何直覺。如圖2所示，在平面截立體的過程中獲得幾何體驗(yàn)，獲得幾何直觀，形成空間想象力。教學(xué)過程中可以通過虛擬操作，獲得直觀體驗(yàn)，豐富學(xué)生截立體的知識經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)聯(lián)想，激發(fā)想象力。

● 聆聽數(shù)學(xué)傳奇：豐富情感體驗(yàn)

情感是體驗(yàn)過程的結(jié)果。積極的數(shù)學(xué)情感會產(chǎn)生良好的體驗(yàn)結(jié)果。許多幾何曲線蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家豐富的情感，如心形線。點(diǎn)擊網(wǎng)絡(luò)http：//www2.emath.pu.edu.tw/s9121049/geometry4-1.htm（如圖3），網(wǎng)頁上心形線的動畫栩栩如生。心形線是16世紀(jì)解析幾何創(chuàng)始人笛卡爾與克里斯汀公主愛情的見證。笛卡爾因與18歲公主的戀愛而遭到國王的強(qiáng)烈反對，并被驅(qū)趕。笛卡爾給公主的信全被截獲，因信中只有極坐標(biāo)方程r=a（1-sinθ）的第13封信才得以交給公主。公主揭開了信中極坐標(biāo)方程的謎底“心形線”，爾后淚流滿面，但還不知道這是笛卡爾的最后一封信。心形線浸泡著凄婉的愛情故事，純粹的曲線被賦予了大師的浪漫與豐富的情感。這封另類情書，至今仍保存在笛卡爾的紀(jì)念館里。有情感的融入才會有體驗(yàn)，從本質(zhì)上來看，體驗(yàn)是伴隨著情感的。有著浪漫故事的心形線r=a（1-sinθ）讓我們有了情感、想象等學(xué)習(xí)體驗(yàn)。那么，r=a（1-sinθ）便不再是索然無味的公式，而被賦予了豐富的內(nèi)涵，是有著凄婉動人故事的知識載體。打上人類活動的烙印，融入人類情感，于是數(shù)學(xué)知識有了人文屬性，也就給人以情感的體驗(yàn)。

● 欣賞數(shù)學(xué)經(jīng)典：體驗(yàn)精彩思維

許多數(shù)學(xué)經(jīng)典名題，不僅具有豐厚的文化沉淀，而且能揭示精辟的規(guī)律，演繹出奇妙的數(shù)學(xué)思維，使人們驚嘆于數(shù)學(xué)的魅力。九點(diǎn)圓定理是數(shù)學(xué)史上的奇跡，自古以來就被人們欣賞、玩味：三角形三邊的中點(diǎn)、三邊上高的垂足，以及垂心與三頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，共九個點(diǎn)，均在同一個圓上，無論三角形是直角的、鈍角的或銳角的。點(diǎn)擊網(wǎng)頁，動畫演示http：//www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php（如圖4），充分揭示了幾何學(xué)上幾點(diǎn)共圓的美妙奇觀，展現(xiàn)了九點(diǎn)圓的魅力。

人們對九點(diǎn)圓規(guī)律有深刻揭示，對共圓有奇妙的體驗(yàn)。著名數(shù)學(xué)家歐拉、龐斯萊、費(fèi)爾巴哈對九點(diǎn)圓思考之深切，癡迷之瘋狂，極為罕見。由于在九點(diǎn)共圓方面的不朽貢獻(xiàn)，九點(diǎn)圓也稱之為歐拉圓、龐斯萊圓、費(fèi)爾巴哈圓、歐拉不僅僅體驗(yàn)到九點(diǎn)共圓，而且還發(fā)現(xiàn)三角形ABC，九點(diǎn)圓的圓心O、外心I、重心G以及垂心H在一條神奇的直線上，即奇妙的歐拉線，更為精彩的是九點(diǎn)圓的圓心O恰好是三角形垂心H與外心I連線段的中點(diǎn)?，F(xiàn)代信息技術(shù)神奇地展現(xiàn)出三角形的九點(diǎn)圓、絕妙的點(diǎn)以及驚奇的歐拉線（如圖5）。還有讓我們終身難以忘懷的是，三角形的九點(diǎn)圓與其三個旁切圓均相切，即經(jīng)典的費(fèi)爾巴哈定理（如圖6）。利用網(wǎng)絡(luò)資源，領(lǐng)略三角形與相關(guān)圓的神奇關(guān)系，增進(jìn)了學(xué)生的思維體驗(yàn)，使其獲得了許多美妙的知識體驗(yàn)，數(shù)學(xué)思維的深刻、有序和諧讓學(xué)生得到精神上的極大愉悅。

● 拋骰子玩游戲：增強(qiáng)認(rèn)知體驗(yàn)

認(rèn)知的價值是在具體情境中建構(gòu)意義、產(chǎn)生情感，并獲得豐富多彩的體驗(yàn)，脫離情境進(jìn)行抽象的認(rèn)知是毫無意義的。知識的獲得與認(rèn)知體驗(yàn)不可分離，知識是在情境中通過認(rèn)知體驗(yàn)獲得的。對概率認(rèn)知體驗(yàn)需要在拋骰子等游戲活動中體驗(yàn)歷史，獲得隨機(jī)觀念，欣賞軼事，回味趣聞。打開網(wǎng)頁，http：//4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/gltj_sjsy.htm#（如圖7），展示精彩的拋骰子游戲，演示費(fèi)馬與帕斯卡擲拋骰子游戲，能夠溫習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)案例，探討點(diǎn)數(shù)問題。骰子的擲拋是人類的數(shù)學(xué)經(jīng)典，能使學(xué)生體驗(yàn)到人類隨機(jī)觀念的形成過程，豐富概率的認(rèn)知體驗(yàn)。

知識經(jīng)驗(yàn)來源于知識的認(rèn)知體驗(yàn)，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是在認(rèn)知活動中獲得并最終形成的。從“出身”不好的骰子體驗(yàn)概率論的誕生，發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)思想，獲得人類的重要知識經(jīng)驗(yàn)。在骰子很早用于賭博、占卜的游戲中體驗(yàn)隨機(jī)觀念。在伽利略探究多顆骰子的游戲中，探究點(diǎn)數(shù)問題：“點(diǎn)數(shù)和為9或10的次數(shù)哪個多”，增強(qiáng)概率的認(rèn)知體驗(yàn)。某個知識被經(jīng)歷、領(lǐng)略、感悟，從而獲得知識的意義、存在的價值，以及生命的活力。從歷史悠久的擲骰子玩游戲中，不僅能感受數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)熱情，而且能領(lǐng)略數(shù)學(xué)家思維的高超、方法的新穎，更能體驗(yàn)概率豐富的文化內(nèi)涵。知識因文化而被人理解，并具有豐富的意義；離開了文化，數(shù)學(xué)也會變得不可理解。

● 拋針求圓周率：體驗(yàn)方法的魅力

數(shù)學(xué)上的每一次成功都是數(shù)學(xué)方法的突破，如拋針求圓周率，不僅能體驗(yàn)數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的追求，更能領(lǐng)略蒙特卡羅方法。網(wǎng)絡(luò)上提供了生動有趣、方便實(shí)用的網(wǎng)絡(luò)拋針游戲，可再現(xiàn)蒲豐拋針求圓周率的試驗(yàn)過程。點(diǎn)擊網(wǎng)頁http：//www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/bufjava_old.html（如圖8），設(shè)置拋針4321次，相交2748次，圓周率估計值3.1448326。蒲豐拋針求圓周率的經(jīng)典的方法讓我們能夠品味到圓周率π的趣味，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的無窮魅力，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)家的不懈追求。

數(shù)學(xué)知識離不開數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求、不懈探究，拋針求圓周率深深地吸引著蒲豐。蒲豐癡迷于拋針求圓周率的經(jīng)典探究，他在一組平行線的紙上，拋n次針，與直線相交m次，得到了若樣本容量較大時，相交的概率用相交頻率代替；當(dāng)平行線間距離為d，針長l的結(jié)論。于是，。當(dāng)時取，則。讓我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的精彩：拋針能求圓周率π的近似值！1777年，蒲豐投2212次，相交704次，計算出。由拋針求圓周率π，我們體驗(yàn)了蒲豐精湛的思維、求π方法的精彩，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)方法的無窮魅力。蒲豐后的100多年里，沃爾夫、賴納、史密斯、德·摩根、福克斯、拉澤里尼等眾多數(shù)學(xué)家先后癡迷于拋針求圓周率，從中我們可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)家強(qiáng)烈的好奇心、執(zhí)著的專業(yè)追求。endprint