基于時(shí)變狀態(tài)矩陣的故障系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

馬 靜，彭明法，李益楠，王上行，高 健，王增平

（1.華北電力大學(xué)電力系統(tǒng)保護(hù)與動(dòng)態(tài)安全監(jiān)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206；2.嘉興市供電公司，浙江 嘉興 314033；3.湖州電力局，浙江 湖州 313000）

0 引言

隨著電網(wǎng)運(yùn)行規(guī)模的擴(kuò)大和運(yùn)行方式的復(fù)雜多變，系統(tǒng)遭受擾動(dòng)的概率將不可避免地增大[1-3]。在系統(tǒng)遭受擾動(dòng)，尤其是故障擾動(dòng)時(shí)，擾動(dòng)后系統(tǒng)能否漸進(jìn)穩(wěn)定對(duì)電網(wǎng)的安全至關(guān)重要。因此，為故障后系統(tǒng)提供穩(wěn)定性判據(jù)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[4]。

目前，在平衡點(diǎn)特征根對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響方面，已開(kāi)展了大量的研究[5]。在平衡點(diǎn)處，通過(guò)一階泰勒展開(kāi)，獲得系統(tǒng)在該點(diǎn)的振蕩頻率及阻尼比，從而判斷系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處遭受擾動(dòng)后能否穩(wěn)定運(yùn)行。然而，僅依靠阻尼比這個(gè)單一指標(biāo)，并不能判斷系統(tǒng)在大擾動(dòng)影響下的穩(wěn)定性[6]。尤其在短路故障發(fā)生后，系統(tǒng)的運(yùn)行點(diǎn)將大幅偏離原平衡點(diǎn)，且時(shí)變因素急劇增強(qiáng)，此時(shí)，基于平衡點(diǎn)的特征根分析方法將無(wú)法判斷故障后系統(tǒng)能否穩(wěn)定運(yùn)行[7]。通過(guò)求取系統(tǒng)故障后的狀態(tài)運(yùn)行軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性[8-10]，需事先求得系統(tǒng)的不返回點(diǎn)，而不返回點(diǎn)受系統(tǒng)的模型、擾動(dòng)場(chǎng)景等多因素影響，因而，直接通過(guò)系統(tǒng)的受擾軌跡判斷穩(wěn)定性極其困難[11]。能量函數(shù)法通過(guò)描述系統(tǒng)在故障中及故障后不同時(shí)刻系統(tǒng)的能量，可判定系統(tǒng)在大擾動(dòng)下是否漸進(jìn)穩(wěn)定[12]。然而，該方法從能量角度而非時(shí)域角度分析穩(wěn)定性問(wèn)題[13-14]，因此，無(wú)法計(jì)及系統(tǒng)的時(shí)變狀態(tài)矩陣與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種適用于分析故障系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。首先，通過(guò)系統(tǒng)在故障消失點(diǎn)的狀態(tài)及運(yùn)行方式，逐步推算系統(tǒng)在故障后各運(yùn)行點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡及時(shí)變狀態(tài)矩陣，在此基礎(chǔ)上，求取差分方程的解，并根據(jù)時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。2機(jī)系統(tǒng)和16機(jī)系統(tǒng)仿真算例表明，該方法能夠準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)在不同故障位置及故障持續(xù)時(shí)間等情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性情況。

1 電力系統(tǒng)時(shí)變狀態(tài)矩陣

發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程在工作點(diǎn)附近線性化后可表達(dá)為

其中：x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，當(dāng)系統(tǒng)采用六階模型時(shí)，其為；A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。

電力系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)，穩(wěn)定運(yùn)行于平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣為定常矩陣。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生短路故障時(shí)，故障消失后，設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不發(fā)生改變，因此狀態(tài)矩陣A中的結(jié)構(gòu)參數(shù)將不發(fā)生變化，僅運(yùn)行工況偏離原平衡點(diǎn)并隨時(shí)間發(fā)生變化，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程仍滿足式(1)。在t時(shí)刻將轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程按泰勒級(jí)數(shù)1 階展開(kāi)，得t時(shí)刻線性化后的轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)方程，記為[15]。設(shè)故障持續(xù)時(shí)間為tc，故障線路占整條線路的全長(zhǎng)為，故障消失點(diǎn)處系統(tǒng)的運(yùn)行工況記為(x0，y0，y0為非狀態(tài)向量)。顯然(x0，y0)與故障條件(tc，)和系統(tǒng)的初始運(yùn)行點(diǎn)(平衡點(diǎn))密切相關(guān)，并且(x0，y0)將對(duì)故障后系統(tǒng)能否穩(wěn)定運(yùn)行起決定性作用。

系統(tǒng)在tk時(shí)刻故障消失，由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可推得在時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)變量如式(2)[16]。

已知tk時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，通過(guò)式(2)可得系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)，進(jìn)而逐步計(jì)算系統(tǒng)各運(yùn)行點(diǎn)的狀態(tài)及時(shí)變狀態(tài)矩陣。式(2)可簡(jiǎn)化表述為

2 時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 線性時(shí)變系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定充要條件證明

首先，選取李雅普諾夫函數(shù)：

該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在小范圍內(nèi)可描述為

將式(3)代入式(5)中，經(jīng)合并式(5)可表示為

2.2 線性時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

由2.1 節(jié)可知，式(3)表征的時(shí)變系統(tǒng)能夠漸進(jìn)穩(wěn)定運(yùn)行至平衡點(diǎn)的充要條件是：對(duì)于任意給定正定實(shí)對(duì)稱矩陣，必存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣，使式(8)成立，且是系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)[17-18]。

差分方程(8)的解為

由式(9)可知，通過(guò)給定的正定實(shí)對(duì)稱矩陣，系統(tǒng)的時(shí)變狀態(tài)矩陣，以及k時(shí)刻矩陣，可求得系統(tǒng)在k+1 時(shí)刻差分方程的解，然后通過(guò)P陣的特征根判斷系統(tǒng)在故障后是否漸進(jìn)穩(wěn)定。若P陣正定，則系統(tǒng)在故障后能夠漸進(jìn)穩(wěn)定；若P陣中最小特征值變負(fù)，則表明系統(tǒng)在故障后將失去穩(wěn)定。本方法并不局限于拓?fù)洳蛔兊那闆r，當(dāng)系統(tǒng)故障導(dǎo)致拓?fù)浒l(fā)生改變時(shí)，可將故障或拓?fù)涓淖儗?duì)系統(tǒng)的影響視為正常分量和故障分量的疊加，當(dāng)用功率注入表示故障分量時(shí)，依然可以用本方法進(jìn)行分析。

3 算例分析

3.1 等值2 機(jī)系統(tǒng)仿真算例

等值2 機(jī)系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)在0.1 s 時(shí)，其中一條聯(lián)絡(luò)線某點(diǎn)發(fā)生三相短路，其中短路點(diǎn)距離節(jié)點(diǎn)M 的距離占整條線路的全長(zhǎng)為，短路的持續(xù)時(shí)間為tc，故障消失后，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不發(fā)生改變，根據(jù)電力系統(tǒng)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)（PMU）技術(shù)規(guī)范[19]，國(guó)內(nèi)PMU 最低采樣頻率為200 Hz，系統(tǒng)仿真時(shí)間步長(zhǎng)為0.005 s。

圖1 2 機(jī)系統(tǒng)線路圖Fig.1 Two-machine system

以表1中故障情況為例，分析系統(tǒng)在不同故障位置和故障切除時(shí)間下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。通過(guò)本方法計(jì)算可得，在該仿真步長(zhǎng)下，當(dāng)故障位置為0.5 時(shí)，系統(tǒng)的準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間為0.205 s，當(dāng)故障位置為0.8 時(shí)，系統(tǒng)的準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間為0.195 s (準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為準(zhǔn)臨界穩(wěn)定情況，下一仿真步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的短路持續(xù)時(shí)間，將使系統(tǒng)失去穩(wěn)定)。并且通過(guò)計(jì)算可知，平均每步迭代求解差分方程解所需的時(shí)間為0.001 6 s(聯(lián)想-Y480，4 G 內(nèi)存，32 位操作系統(tǒng))，其效率較高。

表1 2 機(jī)系統(tǒng)的故障情況Table 1 Fault cases of two-machine system

圖2、圖3為系統(tǒng)的準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)刻前后采用本方法的判別結(jié)果，其中，圖2(a)、圖3(a)中點(diǎn)線、實(shí)線、虛線分別對(duì)應(yīng)不同短路持續(xù)時(shí)間下發(fā)電機(jī)1 與2 之間功角差的實(shí)際值，×線、＋線、*線分別對(duì)應(yīng)不同短路持續(xù)時(shí)間下利用本方法推導(dǎo)得到的功角差；圖2(b)、圖3(b)為各時(shí)刻矩陣P最小特征根。

由圖2(a)、圖3(a)可知，本方法計(jì)算得到的發(fā)電機(jī)功角差曲線與實(shí)際系統(tǒng)功角差曲線較為接近。

圖2 α為0.5 時(shí)故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.2 Stability of fault system when α is 0.5

由圖2(a)、圖3(a)中實(shí)線和虛線可知，發(fā)電機(jī)1 和2 之間的功角差呈振蕩收斂趨勢(shì)，表明系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。由圖2(b)、圖3(b)中實(shí)線和虛線可知，在故障切除時(shí)間均不大于準(zhǔn)極限切除時(shí)間的情況下，矩陣P的最小特征值都大于0，表明矩陣P始終保持正定，系統(tǒng)最終可漸進(jìn)穩(wěn)定至平衡點(diǎn)，這與實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定趨勢(shì)相符。

由圖2(a)和圖3(a)中點(diǎn)線可知，當(dāng)故障切除時(shí)間大于準(zhǔn)極限切除時(shí)間時(shí)，發(fā)電機(jī)之間的功角差呈發(fā)散趨勢(shì)，表明在此故障情況下系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)。再者，圖2(b)和圖3(b)中點(diǎn)線顯示矩陣P的最小特征值逐漸減小，直至小于0，矩陣P不再為正定矩陣，表明系統(tǒng)不能漸進(jìn)穩(wěn)定運(yùn)行至平衡點(diǎn)，與實(shí)際情況相吻合。需要注意的是，初始矩陣P和Q均取決于故障持續(xù)時(shí)間，當(dāng)故障持續(xù)時(shí)間改變時(shí)，矩陣P和Q亦發(fā)生變化，導(dǎo)致在同一時(shí)刻迭代的矩陣P差異較大，因此故障持續(xù)時(shí)間不同時(shí)，其最小特征值與系統(tǒng)故障時(shí)間之間并無(wú)特定關(guān)系。

圖3 α為0.8 時(shí)故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.3 Stability of fault system when α is 0.8

3.2 16 機(jī)系統(tǒng)仿真算例

采用IEEE16 機(jī)68 節(jié)點(diǎn)[20-21]的新英格蘭—紐約互聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)一步驗(yàn)證本方法的有效性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示，該系統(tǒng)可分為5 大區(qū)域。其中發(fā)電機(jī)采用六階詳細(xì)模型，勵(lì)磁采用IEEE-DC1 型勵(lì)磁，負(fù)荷模型采用恒功率模型。系統(tǒng)在0.1 s 時(shí)刻，線路28-29 某點(diǎn)發(fā)生三相短路故障，故障位置為a，故障持續(xù)時(shí)間為tc，故障消失后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，系統(tǒng)時(shí)間步長(zhǎng)為0.005 s。以表2中六種故障情況為例，分析系統(tǒng)在故障后的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

表2 16 機(jī)系統(tǒng)的故障情況Table 2 Fault cases of sixteen-machine system

圖4 16 機(jī)68 節(jié)點(diǎn)電網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Test system of sixteen-machine 68-bus

通過(guò)本文方法分析可知，在該仿真步長(zhǎng)長(zhǎng)下，當(dāng)系統(tǒng)在故障位置為0.5 時(shí)，其準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間為0.095 s，當(dāng)故障位置為0.8 時(shí)，其準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間為0.085 s。通過(guò)仿真計(jì)算可得，此時(shí)平均迭代求解時(shí)間為0.002 4 s(聯(lián)想-Y480，4G內(nèi)存，32 位操作系統(tǒng))，其求解效率較高。

圖5、圖6為系統(tǒng)的準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)刻前后采用本方法的判別結(jié)果，其中，圖5(a)、圖6(a)中點(diǎn)線、實(shí)線、虛線分別對(duì)應(yīng)不同短路持續(xù)時(shí)間下發(fā)電機(jī)1 與2 之間功角差的實(shí)際值，×線、＋線、*線分別對(duì)應(yīng)不同短路持續(xù)時(shí)間下利用本方法推導(dǎo)得到的功角差；圖5(b)、圖6(b)為各時(shí)刻矩陣P最小特征根。

圖5 α為0.5 時(shí)故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.5 Stability of fault system when αis 0.5

由圖5(a)、圖6(a)可知，通過(guò)本方法計(jì)算得到的發(fā)電機(jī)功角差曲線與精確功角差曲線相吻合，表明本方法的正確性。

圖6 α為0.8 時(shí)故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.6 Stability of fault system when α is 0.8

由圖5(a)、圖6(a)中實(shí)線和虛線可知，發(fā)電機(jī)1和2 之間的功角差呈振蕩收斂趨勢(shì)，表明系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。由圖5(b)、圖6(b)中實(shí)線和虛線可知，當(dāng)故障切除時(shí)間不大于準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間時(shí)，故障消失后，矩陣P始終保持正定，表明系統(tǒng)在故障消失后可以保持穩(wěn)定運(yùn)行，這與實(shí)際仿真得到的功角差曲線相符合。

由圖5(a)和圖6(a)中點(diǎn)線可知，當(dāng)故障切除時(shí)間大于準(zhǔn)極限切除時(shí)間時(shí)，發(fā)電機(jī)之間功角差呈發(fā)散趨勢(shì)，表明在此故障情況下系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)。再者，由圖5(b)和圖6(b)中點(diǎn)線可知，當(dāng)故障切除時(shí)間大于準(zhǔn)極限穩(wěn)定切除時(shí)間時(shí)，矩陣P最小特征值逐漸變?yōu)樨?fù)值，表明系統(tǒng)在故障后失去穩(wěn)定，與實(shí)際情況相吻合。

4 結(jié)論

本文提出了一種分析故障系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。該方法有效計(jì)及了系統(tǒng)的實(shí)變狀態(tài)矩陣與穩(wěn)定性之間的關(guān)系，從而避免了能量函數(shù)方法的逐步積分，并且可迅速判斷故障切除后系統(tǒng)是否穩(wěn)定。首先，通過(guò)系統(tǒng)在故障消失點(diǎn)的運(yùn)行工況，逐步求得系統(tǒng)在故障后系統(tǒng)各運(yùn)行點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡及時(shí)變狀態(tài)矩陣。然后，通過(guò)各時(shí)刻差分方程的解，判定系統(tǒng)是否漸進(jìn)穩(wěn)定。最后，2 機(jī)系統(tǒng)和16 機(jī)系統(tǒng)算例表明，該方法能夠正確，快速分析系統(tǒng)在不同故障類因素下的穩(wěn)定性。系統(tǒng)軌跡雖然可以定性判穩(wěn)，但無(wú)法對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行定量地分析。本方法通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)時(shí)變狀態(tài)矩陣，還可對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度、靈敏度等指標(biāo)進(jìn)行定量分析。

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