箱形截面扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算方法分析

牛金龍 金志強(qiáng)

（1.上海市城鄉(xiāng)建設(shè)和交通委員會(huì)科學(xué)技術(shù)委員會(huì)，上海200032；2.沈陽(yáng)遠(yuǎn)大鋁業(yè)工程有限公司，沈陽(yáng)110027）

箱形截面扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算方法分析

牛金龍1，*金志強(qiáng)2

（1.上海市城鄉(xiāng)建設(shè)和交通委員會(huì)科學(xué)技術(shù)委員會(huì)，上海200032；2.沈陽(yáng)遠(yuǎn)大鋁業(yè)工程有限公司，沈陽(yáng)110027）

在工程應(yīng)用中，采用箱形截面承受外力偶的作用，在極限狀態(tài)設(shè)計(jì)中要對(duì)箱形截面的扭轉(zhuǎn)角及扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力進(jìn)行校核，但箱形截面的抗扭剛度采用經(jīng)典的彈性力學(xué)解析解比較困難。采用有限元軟件ANSYS和彈性力學(xué)薄膜比擬計(jì)算方法及材料力學(xué)簡(jiǎn)化計(jì)算方法分別針對(duì)矩形截面及箱形截面的抗扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行了分析性對(duì)比，并繪出相應(yīng)的曲線圖，相應(yīng)提出了三種計(jì)算方法的使用性范圍，同時(shí)給出了相同厚度條件下ANSYS及彈性力學(xué)解析解計(jì)算扭轉(zhuǎn)剛度比值δ隨a／b的變化曲線，對(duì)工程的應(yīng)用具有指導(dǎo)性意義。

力偶，箱形截面，抗扭剛度，有限元，薄膜比擬

1 引 言

在幕墻結(jié)構(gòu)及其建筑結(jié)構(gòu)工程應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的要求，使矩形截面構(gòu)件承受扭轉(zhuǎn)外力偶作用，在對(duì)截面進(jìn)行承載能力極限及使用能力極限要求校核時(shí)，要計(jì)算截面的剪應(yīng)力和桿件的扭轉(zhuǎn)角。但矩形截面構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)不同于圓柱截面的扭轉(zhuǎn)，由于軸向翹曲變形的存在，使得材料力學(xué)［1］方法在解決問(wèn)題上遇到了很大的困難。針對(duì)這些問(wèn)題，于海洋等［2］利用應(yīng)力函數(shù)法求得的截面剪應(yīng)力解析解表達(dá)式和運(yùn)用有限元分析得到了關(guān)于截面控制線上的剪應(yīng)力分布規(guī)律。尹剛等［3］采用加權(quán)殘值解法對(duì)矩形截面進(jìn)行的分析。但由于目前的截面抗扭計(jì)算公式都是采用實(shí)心截面與現(xiàn)實(shí)箱形截面桿件有所區(qū)別，且按照彈性力學(xué)［4］推導(dǎo)的計(jì)算公式計(jì)算比較繁瑣無(wú)法運(yùn)用的實(shí)際的工程中，針對(duì)這些情況，本文結(jié)合工程實(shí)際運(yùn)用中采用彈性力學(xué)解析解法和有限元軟件ANSYS［5，6］及材料力學(xué)簡(jiǎn)化解分別針對(duì)不同的情況進(jìn)行截面抗扭剛度的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比性分析，在一定條件下采用三種計(jì)算方法都能達(dá)到設(shè)計(jì)精度的要求，反之采用簡(jiǎn)化計(jì)算方法會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的變化的關(guān)系，同時(shí)分析了有限元分析方法和彈性力學(xué)的解析解的關(guān)系，在工程設(shè)計(jì)應(yīng)用中供設(shè)計(jì)者作為參考的依據(jù)。

2 經(jīng)典彈性力學(xué)解析解［7］

按照彈性力學(xué)矩形截面應(yīng)力函數(shù)φ表達(dá)式為

式中 K——截面扭轉(zhuǎn)角；

G——截面的剪切模量。

圖1 箱型截面圖Fig.1 Box section drawing

對(duì)于純扭轉(zhuǎn)的閉口薄壁截面其應(yīng)力邊界條件為

對(duì)于橫截面邊長(zhǎng)a／b為任意數(shù)值的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式為

為了能滿足邊界條件式（2），可設(shè)函數(shù)為無(wú)窮級(jí)數(shù)為

將式（4）代入式（1）并滿足邊界條件式（2）并整理得：

將式（5）代入式（4）及式（3）并整理得應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：

式中，c＝b－2t。

由薄膜比擬可以斷定，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形橫截面長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，例如A點(diǎn)（x＝0，y＝b／2），其大小為

應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式為

由式（8）得薄壁鋼件的最大抗扭剛度為

3 箱形截面扭轉(zhuǎn)剛度簡(jiǎn)化解

在材料力學(xué)［1］中對(duì)于閉口薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)桿件規(guī)定截面產(chǎn)生的剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布，因此橫截面上一點(diǎn)處的剪應(yīng)力為

對(duì)于單位長(zhǎng)度的整個(gè)閉口桿件的變形能表達(dá)式為

對(duì)于桿件壁厚不變的情況下，式（11）整理得：

式中 S——截面中線的長(zhǎng)度即∮d s；

ω——截面中線所圍面積。

4 三種不同計(jì)算解法對(duì)比

（1）算例1：矩形截面桿件抗扭剛度的計(jì)算

對(duì)于寬度b＝1 m、長(zhǎng)度為a的矩形截面柱體，運(yùn)用有限元軟件ANSYS和彈性力學(xué)薄膜比擬原理分別對(duì)長(zhǎng)寬比相同的矩形截面進(jìn)行抗扭剛度計(jì)算。

從圖2中可知兩者計(jì)算結(jié)果一致，表明采用有限元軟件ANSYS對(duì)截面抗扭剛度計(jì)算的正確性。

圖2 抗扭剛度—矩形截面長(zhǎng)寬比值變化曲線Fig.2 Changing curve of ratio between torsional rigidity-length and width of rectangle section

（2）算例2：等邊箱形截面桿件抗扭剛度的計(jì)算

對(duì)于邊長(zhǎng)a＝b箱形截面柱體，圖3所示為應(yīng)用彈性力學(xué)解析解與材料力學(xué)簡(jiǎn)化解及采用有限元軟件ANSYS計(jì)算得到的針對(duì)不同邊長(zhǎng)抗扭剛度J—截面厚度與邊長(zhǎng)t／a的變化曲線。采用三種不同的計(jì)算方法的抗扭剛度J-t／a的變化曲線（圖3）可知，對(duì)于厚寬比t／a≤0.1時(shí)采用三種計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果基本一致，但對(duì)于t／a＞0.1時(shí)材料力學(xué)簡(jiǎn)化方法計(jì)算結(jié)果已偏離彈性力學(xué)解析解和ANSYS的計(jì)算結(jié)果，t／a＞0.25時(shí)材料力學(xué)簡(jiǎn)化計(jì)算抗彎剛度將產(chǎn)生錯(cuò)誤的變化曲線。當(dāng)t／a≤0.3時(shí)采用解析解和ANSYS軟件計(jì)算截面抗扭剛度J-t／a增大而增大，而t／a＞0.3時(shí)采用解析解和ANSYS軟件計(jì)算截面抗扭剛度J-t／a基本上沒(méi)變化，即在截面尺寸一定的情況下，在截面厚度增加到一定比例時(shí)，在通過(guò)增加截面厚度改變截面抗扭剛度已不再適用。

圖3 等邊箱形截面抗扭剛度—厚寬比值變化曲線Fig.3 Changing curve of ratio between equal-side box torsional rigidity-thickness and width

（3）算例3：等厚薄壁桿件抗扭剛度的計(jì)算

在本算例中，對(duì)于寬度b＝1 m箱形截面，為了研究針對(duì)三種計(jì)算方法得到桿件的抗扭剛度與箱型截面長(zhǎng)寬a／b的變化關(guān)系，取了t＝0.025、0.05、0.1、0.125 m四種不同厚度的箱形截面，圖4所示為應(yīng)用兩種不中計(jì)算方法計(jì)算的截面抗扭剛度的比值—a／b變化關(guān)系。

圖4 等厚箱形截面計(jì)算抗扭剛度比值隨長(zhǎng)寬比a／b變化曲線Fig.4 Changing curve of equal thickness box section torsional rigidity by length-width ratio

從圖4可知，在厚度t一定的箱形截面，運(yùn)用薄膜比擬法與ANSYS計(jì)算的截面抗扭比值隨箱形截面長(zhǎng)寬比的變化曲線為不規(guī)則的變化曲線，但兩種方法計(jì)算抗扭剛度比值隨a／b的增大而減小，且計(jì)算抗扭剛度比值基本上在1.1～1.0之間范圍內(nèi)變化。

5 結(jié) 論

（1）對(duì)矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算，采用有限元軟件ANSYS計(jì)算的截面的抗扭剛度與采用彈性力學(xué)薄膜比擬方法計(jì)算的結(jié)果一致，在工程實(shí)際應(yīng)用中，為了便于簡(jiǎn)化計(jì)算避免解高次方程，應(yīng)采用有限元軟件計(jì)算的截面抗扭剛度。

（2）對(duì)等邊箱型截面，當(dāng)t／a≤0.1時(shí)采用三種計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果比較接近，反之t／a＞0.1時(shí)材料力學(xué)簡(jiǎn)化抗扭剛度計(jì)算方法已不再使用甚至?xí)a(chǎn)生與實(shí)際相違背的結(jié)論。在厚寬比t／a≤0.3時(shí)采用彈性力學(xué)解析解和有限元軟件計(jì)算截面抗扭剛度J—厚寬比t／b增大而增大，當(dāng)厚寬比t／a＞0.3時(shí)采用解析解和ANSYS截面抗扭剛度隨厚寬比t／a增大基本上保持不變。

（3）在不同厚度的薄壁箱形截面，采用彈性力學(xué)解析解計(jì)算與ANSYS計(jì)算的截面抗扭剛度比值比值隨a／b的增大而減小，且計(jì)算抗扭剛度比值基本上在1.1～1.0之間范圍內(nèi)變化。

（4）在工程設(shè)計(jì)的應(yīng)用中，為了提高工程結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)，能采用ANSYS計(jì)算的截面抗扭截面剛度代替薄膜比擬計(jì)算的精確解，使有限元軟件代替彈性力學(xué)解析解在工程應(yīng)用中具有指導(dǎo)性應(yīng)用。

［1］ 劉鴻文.材料力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1992.Liu Hongwen.Mechanics ofmaterials［M］.Beijing：Higher Education Press，1992.（in Chinese）

［2］ 于海洋，武建華，李鳳佩.對(duì)矩形截面桿彈性自由度扭轉(zhuǎn)的探討［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2007，29：73-74.Yu Haiyang，Wu Jianhua，Li Fengpei.Discussion of elestic free torsion of rectangle seceion rod［J］.Mechanics and Practice，2007，29：73-74.（in Chinese）

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Torsion Stiffness Calculation M ethod of a Box Cross-section Structural M ember

NIU Jinlong1，*JIN Zhiqiang2
（1.Construction and Traffic Committee of Science and Technology Committee of Shanghai，Shanghai200032，China；2.Shenyang Yuanda Aluminum Industry Engineering Co.Ltd.，Shenyang 110027，China）

In engineering applications，box cross-section structuralmembers are used to resist external couple loads.The torsion angle and torsional shear stress are checked in limit state design.However，it is difficult to calculate its torsional rigidity by a classical analytical solution of elasticmechanics.This paper compares three calculation methods-the finite element ANSYS，the membrane analogy of elastic mechanics，and the simplified calculation for the calculation of the torsional rigidity of a rectangular section and a box cross-section.The application limitation for threemethods is proposed.The curve ofδ-a／b is drawn in the same thickness.

coupled moment，box cross-section，torsional rigidity，large deformation，membrane analogy

2013－05－20

*聯(lián)系作者，Email：niu8888＠vip.sina.com