高階混合非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法

張 超，顧東琴，謝銳敏

（江蘇師范大學數學與統(tǒng)計學院，江蘇 徐州 221116）

高階混合非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法

張 超，顧東琴，謝銳敏

（江蘇師范大學數學與統(tǒng)計學院，江蘇 徐州 221116）

對半直線上高階微分方程混合非齊次邊值問題，提出了多區(qū)域廣義Laguerre譜方法。通過選取合適基函數，數值解精確擬合非齊次邊界條件，并保持解的連續(xù)性。數值結果不僅表明新方法具有譜精度，而且表明算法恰當處理了有限區(qū)間長度對于數值結果的影響。

無界區(qū)域；四階方程混合非齊次邊值問題；多區(qū)域譜方法

0 引言

無界區(qū)域問題的求解是數學物理學科的前沿和困難問題之一。譜方法用于求解流體力學、量子力學及地球物理等領域的各種問題［1－10］。文獻［11］用Fourier變換方法求解無限長梁及長弦的振動問題的解；文獻［12］用Laguerre譜配點方法數值求解半無界區(qū)域上非線性熱傳導問題。而對無界區(qū)域上高階混合非齊次邊值問題的相關文獻鮮見。文獻［13］通過引入一類新的廣義Laguerre函數，建立了新的廣義Laguerre擬正交投影逼近理論，并結合廣義Jacobi擬正交投影逼近理論，對于高階微分方程非齊次邊值問題提出了新的廣義Laguerre區(qū)域分解譜方法。本文將利用多區(qū)域譜方法研究高階微分方程混合非齊次邊值問題的數值求解。其處理方法是將整個無限區(qū)間分解成一個有限區(qū)間和一個無限區(qū)間，通過對固定長度的有限區(qū)間上問題的恰當處理，消除有限區(qū)間部分對于數值結果的影響，從而達到提高整體精度的目的。

1 準備知識

2 四階微分方程非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法

3 數值結果

表1 算法（12）的誤差 U－uNN，ave

表2 算法（12）的誤差 U－uN N，m ax

表3為算法（12）的誤差。在表3中，分別給出當N1＝10，N2＝4N1，β＝1、2時和的值。數值結果顯示：多區(qū)域算法中的有限區(qū)間的長度越小，數值結果越好。這和理論分析也是吻合的。

表3 算法（12）的誤差

4 結論

本文提出了一個高階微分方程混合非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法。數值結果驗證了這些新譜方法的高精度。雖然在本中僅考慮了一個模型問題，但是本文的主要思想和處理問題的方法也可用于其他高階問題的求解。

［1］ Boyd JP.Chebyshev and Fourier Spectral Methods［M］.2 ed.M ineda，New York：Dover Publication Inc，2001.

［2］ Canuto C，Hussaini M Y，Quarteroni A，et al.Spectral Methods in Fluid Dynam ics［M］.Berlin：Springer-Verlag，2006.

［3］ Gottlieb D，Orszag SA.Numerical Analysis of Spectral Methods：Theory and Applications［M］.Philadelphia：SIAM-CBMS，1977.

［4］ Guo B Y，Jiao Y J.Mixed Generalized Laguerre-Fourier Spectral Method for Exterior Problem of Navier-Stokes Equations［J］.Disc Cont Dyna Syst B，2009，11：315－345.

［5］ Guo B Y，Shen J，Xu C L.Generalized Laguerre Approximation and Its Applications to Exterior Problems［J］.J Comp Math，2005，23：113－130.

［6］ Guo B Y，Sun T，Zhang C.Jacobi and Laguerre Quasi-orthogonal Approximations and Related Interpolations［J］.Math Comp，2013，281：413－441.

［7］ Guo B Y，Wang T J.Composite Generalized Laguerre-Legendre Spectral Method with Domain Decomposition and Its Application to Fokker-Planck Equation in an Infinite Channel［J］.Math Comp，2009，78：129－151.

［8］ Guo BenY，Zhang X Y.A New Generalized Laguerre Spectral Approximation and Its Applications［J］.JComp Appl Math，2005，181：342－363.

［9］ Karniadakis G E，Sherwin S J.Spectral／hp Element Methods for CFD［M］.2 ed.Oxford：Oxford Univ Press，2005.

［10］ 劉曉亞.Banach空間脈沖微分方程周期邊值問題的正解［J］.鄭州大學學報：理學版，2012（1）：15－19，45.

［11］ 王天軍.一維線性非齊次波動方程解的一個注記［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2010，31（2）：86－89.

［12］ 王天軍.半無界非線性熱傳導方程Laguerre擬譜方法［J］.應用數學與計算數學學報，2013，27（1）：9－15.

［13］ Zhang C，Guo B Y.Domain Decomposition Spectral Method for Mixed Inhomogeneous Boundary Value Problems of High Order Differential Equations on Unbounded Domains［J］.JSci Comp，2012，53：451－480.

O242

A

1672－6871（2014）02－0091－04

國家自然科學基金項目（11171227）；江蘇省高等學校大學生實踐創(chuàng)新項目（12ssjcxyb20）；江蘇師范大學博士學位教師基金項目（11XLR27）

張 超（1977－），男，江蘇徐州人，講師，博士，主要研究方向為偏微分方程數值解法.

2013－07－06