時空Kriging插值在邊坡變形監(jiān)測中的應(yīng)用

王建民,張 錦,鄧增兵,王燕濤

(1.太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院,山西太原 030024;2.中煤平朔集團(tuán)有限公司,山西朔州 036006)

時空Kriging插值在邊坡變形監(jiān)測中的應(yīng)用

王建民1,張 錦1,鄧增兵2,王燕濤2

(1.太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院,山西太原 030024;2.中煤平朔集團(tuán)有限公司,山西朔州 036006)

邊坡形變監(jiān)測中的監(jiān)測點布設(shè)受限現(xiàn)場條件,布設(shè)位置可能不盡合理且數(shù)量有限,監(jiān)測區(qū)域數(shù)據(jù)處理時需要進(jìn)行時空插值。將經(jīng)典的Kriging空間插值進(jìn)行時空擴展,利用時空一類積和式方法建立了時空變異函數(shù)模型;分析了參數(shù)與變形的之間的關(guān)系;給出了時空插值的計算方法。以平朔露天礦邊坡監(jiān)測為實驗對象,將整體時空Kriging插值與單一的Kriging空間插值結(jié)果進(jìn)行對比分析,結(jié)果表明,同時兼顧了時間與空間關(guān)聯(lián)性的時空Kriging插值精度有所提高。將監(jiān)測區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格化,初步建立了監(jiān)測區(qū)域的三維動態(tài)形變場模型,從整體上分析了邊坡的穩(wěn)定性。

時空插值;Kriging;邊坡監(jiān)測;變異函數(shù)

礦山地面災(zāi)害種類繁多,其中露天開采工程產(chǎn)生的邊坡會給礦山的安全生產(chǎn)帶來隱患,實時動態(tài)監(jiān)測邊坡的穩(wěn)定性,研究其變形規(guī)律和變形趨勢,有利于促進(jìn)礦山地質(zhì)災(zāi)害環(huán)境的一體化管理,對礦區(qū)生產(chǎn)建設(shè)服務(wù)具有重要的現(xiàn)實意義。

近年來,GNSS(global navigation satellite system, GNSS)、測量機器人、多傳感器集成系統(tǒng)等高新技術(shù)在變形監(jiān)測中得到應(yīng)用[1-5],呈現(xiàn)出自動化,高精度的特點,這些先進(jìn)的監(jiān)測設(shè)備仍需人為布置一定數(shù)量的監(jiān)測點才能發(fā)揮其優(yōu)勢。邊坡監(jiān)測點位的選擇既受地形條件限制,又受施工作業(yè)干擾;另外,貴重的監(jiān)測設(shè)備也不允許無限地增加監(jiān)測點,從而導(dǎo)致監(jiān)測點布置缺乏合理性且測點數(shù)目相對稀少;有時受其他因素的影響,造成部分監(jiān)測點的數(shù)據(jù)缺失或被污染。為了彌補監(jiān)測點不足、布置不合理以及數(shù)據(jù)缺失造成的影響,需要應(yīng)用空間插值方法。變形監(jiān)測獲取的數(shù)據(jù)是時空數(shù)據(jù),如果只進(jìn)行空間插值,可能忽略了時空相關(guān)性,有必要進(jìn)行時空插值。

空間插值方法主要有幾何方法、統(tǒng)計方法、函數(shù)方法以及綜合方法[6],其中以Kriging為代表的地學(xué)統(tǒng)計方法就是對空間隨機分布變量的相關(guān)性進(jìn)行定量描述,該方法已應(yīng)用于眾多學(xué)科,其可行性和有效性已得到證實。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用Kriging方法研究邊坡的變形速率,將區(qū)域變化量演化為與時間有關(guān)的函數(shù),弱化了時空關(guān)聯(lián)性。朱吉祥等運用Kriging插值法研究滑坡危險性區(qū)劃[8],沒有關(guān)聯(lián)前期的觀測數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[9]雖然給出了Kriging空間插值的時空擴展方法,但該方法實現(xiàn)簡單,其不足之處是計算分隔距離時,僅僅是將時間和空間距離合并計算,沒有構(gòu)建時間變異函數(shù)。文獻(xiàn)[10-11]應(yīng)用時空Kriging插值研究了區(qū)域變化量的時空分布特征,給出了精度分析,沒有與 Kriging空間插值進(jìn)行對比,體現(xiàn)不出Kriging插值經(jīng)時空擴展后的優(yōu)越性。雖然Kriging插值在工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,并得到了較高的評價,但該方法在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的較少,主要原因是變形監(jiān)測對于數(shù)據(jù)的精度要求高,這就決定了插值結(jié)果也要達(dá)到相應(yīng)的精度。

本文以平朔露天煤礦邊坡監(jiān)測為研究實驗區(qū),從監(jiān)測數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律出發(fā),將單一Kriging空間插值擴展到時空域進(jìn)行時空Kriging插值,用一類積和式構(gòu)建時空變異函數(shù),注重的是測點與測點的時空相關(guān)性,以2個不同監(jiān)測周期的監(jiān)測數(shù)據(jù)為例,分別進(jìn)行Kriging空間插值計算,并與整體時空Kriging插值結(jié)果進(jìn)行對比分析。在監(jiān)測區(qū)進(jìn)行時空插值,建立了時空形變場模型,從整體上分析其變形趨勢和穩(wěn)定性。

1 時空Kriging插值基本原理

Kriging方法是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ),根據(jù)未知樣點有限鄰域內(nèi)的若干已知樣本點數(shù)據(jù),以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息,對未知樣點進(jìn)行的一種線性無偏最優(yōu)估計[12]。在實際應(yīng)用中,常采用抽樣的方式獲得區(qū)域化變量在某個區(qū)域內(nèi)的值。如果采樣是一個時空過程,此時的區(qū)域變化量將演變成為時空區(qū)域變化量[13],時空位置用函數(shù) Z(ha, ta)=Z(x,y,z,t)(ha=f(x,y,z))表示。用普通Kriging進(jìn)行時空擴展,即

式中,Z?(hp,tp)為未知點p的估計值;Z(hi,ti)為未知點周圍的已知點i的值;λi為第i個已知樣本點的權(quán)重;n(u,t)為已知樣本點對的數(shù)目。

1.1 實驗變異函數(shù)值的估計

為求取權(quán)重系數(shù)λ,首先根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算變異函數(shù)γ(hs,ht)的估計值γ?(hs,ht),即實驗變異函數(shù)值。用所有已知樣本點組成的任意點對計算時空變異函數(shù)值,用式(2)進(jìn)行估算。

式中,hs,ht為對應(yīng)的樣本空間分隔距離和時間分隔距離;z(hi,ti)為點i的觀測值;z(hi+hs,ti+ht)是與z(hi,ti)在空間上相距hs,時間上相距ht的觀測值; n(hs,ht)是時空分隔距離為hs和ht的樣本點對總數(shù)。

取不同的分隔距離(hs,ht),用式(2)可計算出相應(yīng)的γ?(hs,ht),以h為橫軸,γ?為堅軸繪制實驗變異函數(shù)散點圖。

1.2 時空變異函數(shù)模型

構(gòu)建變異函數(shù)并正確的估計模型參數(shù)是時空Kriging插值的核心,常用的有效變異函數(shù)模型有指數(shù)模型、球形模型、高斯模型[14-15],式(3)是球形模型的一般計算公式。

式中,C0為塊金值;C0+C為基臺值;C為偏基臺值;a為變程。

根據(jù)變異函數(shù)散點圖分布特點,選擇合適的變異函數(shù)模型擬合出變異函數(shù)曲線。變異函數(shù)曲線反映了一個采樣點與其相鄰采樣點的空間關(guān)系。

在變異函數(shù)曲線圖中有4個相應(yīng)的參數(shù):塊金值(C0)、變程(a)、基臺值(C0+C)、偏基臺值(C),由這4個參數(shù)決定了區(qū)域變化量在空間上的變異性。就構(gòu)造空間變異函數(shù)模型而言,技術(shù)方法成熟,這里不進(jìn)行詳細(xì)說明。在變程a為半徑的鄰域內(nèi),任何兩點的數(shù)據(jù)都是相關(guān)的,其相關(guān)程度一般隨兩點的距離增大而減弱。塊金系數(shù)U(U=C0/(C0+C))是塊金值與基臺值的比值[16],用于反映變量的空間自相關(guān)程度,其值越小表明自相關(guān)程度越高。

將空間域擴展到時空域,時空變異函數(shù)模型的建立相比空間變異函數(shù)復(fù)雜。目前,關(guān)于時空變異函數(shù)模型的研究主要可分為兩大類:可分離型和不可分離型[17]。可分離型主要通過將空間變異函數(shù)與時間變異函數(shù)簡單的相乘或相加得到,分割了時間空間的相關(guān)信息;而后者雖然構(gòu)建相對復(fù)雜,但更有效地描述了變量的時空變異結(jié)構(gòu)。其中,一類積和式是常用的一種不可分離模型,式(4)是一類積和式時空變異函數(shù)模型[13,18]。

其中,γst,γs,γt分別為對應(yīng)的時空變異函數(shù)、空間變異函數(shù)和時間變異函數(shù);Cst(0,0),Cs(0),Ct(0)分別為對應(yīng)的基臺值,這3個量可用時空變異函數(shù)實驗?zāi)Ｐ?式(2))進(jìn)行估計;k1,k2,k3是模型中的參數(shù)。

時空變異函數(shù)γst(hs,ht)的一個主要優(yōu)點是根據(jù)空間變異函數(shù)γs(hs)、時間函數(shù)γt(ht)和時空臺基值Cst(0,0)來確定。Kriging插值要求估計誤差的方差最小,用式(4)可以計算出任意2點的時空變異函數(shù)值,引入拉格朗日乘除數(shù)可求得權(quán)重系數(shù)λ,許多文獻(xiàn)進(jìn)行過詳述[12-13,16],這里不再說明。

1.3 時空插值

空間Kriging只能估計某一時間上未知區(qū)域的變形量,估計任意時刻任意位置的變形量,需要用到時空Kriging插值,時空插值的計算步驟如下:

(1)運用式(2)計算實驗時空變異函數(shù)值,并估計時空臺基值Cst(0,0)。

(2)分別設(shè)ht=0和hs=0得到對應(yīng)的γs(hs)和γt(ht),擬合最佳空間變異函數(shù)和時間變異函數(shù),得到相應(yīng)的Cs(0)和Ct(0)。

(3)計算 k1,k2,k3,將參數(shù) Cst(0,0),Cs(0), Ct(0)代入式(4)得到時空變異函數(shù)模型。

(4)運用時空變異函數(shù)計算觀測點的各個權(quán)重系數(shù)λi,用式(1)計算待估計點的形變Z?。

2 應(yīng)用實例

2.1 數(shù)據(jù)來源

實驗區(qū)是平朔露天煤礦開采形成的典型邊坡,走向方位約為120°,走向長約300 m,海拔約1 300 m,監(jiān)測區(qū)面積約為3.5萬m2。研究區(qū)域是露天開采后形成的邊坡,目前已不再進(jìn)行露天開采,但是在邊坡的一側(cè)下方仍然進(jìn)行井工開采,如果邊坡發(fā)生崩塌下滑,可能危害到井工開采,發(fā)生安全事故,需要進(jìn)行監(jiān)測。監(jiān)測區(qū)沿傾向方向呈階梯狀分布(圖1)。為了充分發(fā)揮監(jiān)測點的作用,根據(jù)監(jiān)測區(qū)地形特征,在監(jiān)測區(qū)沿走向方向在各個“臺階”上布設(shè)了監(jiān)測點,構(gòu)成5條監(jiān)測線,總共有67個監(jiān)測點。受地形條件限制和施工作業(yè)干擾,研究區(qū)域上布置的監(jiān)測點在縱向分布上點間距較小,在橫向分布方向上點間距較大,小部分區(qū)域的點稀少。

圖1 監(jiān)測點分布Fig.1 Monitoring point arrangement

2.2 實驗過程

實驗數(shù)據(jù)由20期的數(shù)據(jù)組成,因個別監(jiān)測點數(shù)據(jù)缺失,總的監(jiān)測數(shù)據(jù)量個數(shù)小于n=67×20。區(qū)域變化量Zk(hi)(i=1,2,…,q(k))(k=1,…,m),m為周期數(shù),m=20。Kriging插值的條件是數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布,對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(表1,以兩期的結(jié)果為例),滿足Kriging插值的要求。

表1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征值Table 1 Statistical feature values of data cm

2.2.1 空間插值變異函數(shù)

取每期的監(jiān)測數(shù)據(jù)用普通Kriging進(jìn)行獨立的空間插值,根據(jù)監(jiān)測點的平均距離和分布,最終確定分隔距離為5 m。在GS+軟件的支持下得到實驗變異函數(shù)值,做實驗變異函數(shù)的散點圖,選擇球形模型擬合變異函數(shù)曲線,得到對應(yīng)的變程、臺基值、塊金值參數(shù),將其代入式(3)可得任意點對的變異函數(shù)值。

圖2是其中2個周期的空間變異函數(shù)結(jié)構(gòu),對應(yīng)曲線是經(jīng)擬合后的變異函數(shù)曲線,各自的參數(shù)差異列于表2。第12期的變程有所減小,表明監(jiān)測點較第7期的變異范圍減小,趨于穩(wěn)定;第12期的塊金值較小,表明隨機性因素影響更小;兩期的塊金系數(shù)都較小,形變有較強的自相關(guān)性,可進(jìn)行空間插值。

圖2 2個周期的空間變異函數(shù)值的分布及擬合后的變異函數(shù)曲線Fig.2 Sample spatial variograms(squares)and fitted variogram models(line)for deformation at two different periods

表2 空間變異函數(shù)參數(shù)Table 2 Parameters of spatial variograms function

2.2.2 時空插值變異函數(shù)

用GS+軟件單獨進(jìn)行時間插值(hs=0)和空間插值(ht=0)得到相應(yīng)的Ct(0)和Cs(0),因GS+不具有時空插值的功能,結(jié)合Matlab編程按照前文描述的時空插值的計算步驟,進(jìn)行時空插值得到時空變異函數(shù)的參數(shù)(表3),其中時間塊金系數(shù)小于空間塊金系數(shù),表明時間上的相關(guān)性強于空間的相關(guān)性,時空塊金值有所增加,受隨機因素的影響增大。

根據(jù)表3中的參數(shù)值用式(4)求得另3個參數(shù)值(k1,k2,k3)。圖3(a)是用所有的時空數(shù)據(jù)利用式(2)建立的時空變異函數(shù)的實驗?zāi)Ｐ?。圖3(b)是用式(4)計算得到的一類積和模型。

表3 時空變異函數(shù)參數(shù)Table 3 Parameters of space-time variograms function

圖3 時空變異函數(shù)值和二維積和時空曲面Fig.3 Sample space-time variogram surface and 2-D product-sum space-time variogram model

3 插值精度評價

交叉驗證法是進(jìn)行插值的有效性評價的理想方法,基本思想:假設(shè)研究的區(qū)域內(nèi)有n個已知點,將測量值Z(θi)(i=1,…,n)暫時從數(shù)據(jù)中除去,用剩下的測量值建立模型估計除去的測量值 Z?(θi);將Z(θi)放回到已知數(shù)據(jù)中,再選其他點進(jìn)行估計,這樣就能得到每個測量值的估計值Z?(θi)。計算殘差dZi=Z?(θi)-Z(θi),殘差值用于計算Z與Z?一致性的評價指標(biāo)。經(jīng)交叉驗證后,以Z?(θi)作為豎軸, Z(θi)作為橫軸作誤差統(tǒng)計分布。圖4(a)和(b)分別是第7期和第12期的空間插值的估計值與實測值的分布和誤差統(tǒng)計,圖4(c)是時空插值的估計值與實測值的分布和誤差統(tǒng)計,從圖中可以看出時空插值的點距離直線相對集中一些,而且小誤差更多,說明時空插值精度有所提高。

圖4 2個不同周期僅空間插值的估計值與實測值散點圖和時空插值的散點Fig.4 The bivariate distribution of predicted against actual values with only space Kriging for No.7 and No.12 and the bivariate distribution of predicted against actual values with space-time Kriging

根據(jù)殘差計算結(jié)果,用殘差由式(5)計算均方根預(yù)測誤差(RMSE),式(6)計算平均誤差(ME)作為檢驗標(biāo)準(zhǔn)衡量插值效果的有效性,檢驗標(biāo)準(zhǔn)值越小則估值結(jié)果越準(zhǔn)確,插值效果越好,預(yù)測值就越接近它們的真實值;平均誤差趨于0認(rèn)為估計是無偏的;式(7)計算判定系數(shù)R2,R2由殘差平方和總體平方和兩部分組成,其值越接近1,表明線形相關(guān)程度越高。

式中,Z?(θ)為估計值;Z(θ)為在相同點的觀測值;n為估計點的數(shù)量。

將空間插值和時空插值交叉驗證的評價指標(biāo)列于表4,從表中可以看出空間插值和時空插值都具有較強的線形相關(guān)性,時空插值的預(yù)測精度有所提高,其中時空插值的RMSE比空間插值分別提高38.8%和47.6%;時空插值的ME比空間插值分別提高54%和58%。

將監(jiān)測區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格化,在格網(wǎng)點上對同期數(shù)據(jù)分別進(jìn)行空間插值和時空插值,建立三維時空形變場模型(圖5)。從模型中可以看出,接近邊坡底部位置變形較大,邊坡上方的形變較小,兩種插值結(jié)果變化不明顯;邊坡下方區(qū)域時空插值比空間插值變形大,由于時空插值使用了時空數(shù)據(jù),說明該區(qū)域長期以來變形較大。

表4 精度評價指標(biāo)Table 4 Precision evaluation

圖5 同期空間插值和時空插值的三維形變場Fig.5 Three-dimensional deformation field at the same period spatial interpolation and space-time interpolation

4 結(jié) 語

考慮邊坡變形的區(qū)域性,將Kriging空間插值擴展到時空域,依據(jù)實驗區(qū)的監(jiān)測點分布特征和監(jiān)測周期,選擇合適的時空分隔距離,構(gòu)建了時空變異函數(shù)模型,給出了相應(yīng)的算法,實現(xiàn)了時空聯(lián)合插值。經(jīng)過實例驗證,時空Kriging比單粹Kriging空間插值精度得到提高。在監(jiān)測區(qū)域進(jìn)行時空插值計算,建立了監(jiān)測區(qū)域的三維形變場模型,從整體上預(yù)測了邊坡區(qū)域的穩(wěn)定性和形變趨勢。

時空Kriging插值的不足之處是計算量較大,在選擇變異函數(shù)模型時還需要人工干預(yù)。今后需進(jìn)一步研究自適應(yīng)變異函數(shù)模型,優(yōu)化算法提高多周期累積數(shù)據(jù)計算效率,實現(xiàn)變形觀測數(shù)據(jù)處理和圖形輸出的自動化。

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Slope deformation analyses with space-time Kriging interpolation method

WANG Jian-min1,ZHANG Jin1,DENG Zeng-bing2,WANG Yan-tao2

(1.College of Mining Technology,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China;2.China Coal Pingshuo Group Co.,Ltd.,Shuozhou 036006, China)

Slope deformation analyses based on monitoring points are unscientific because of limited monitoring points and unreasonable layout.Therefore,the interpolation of deformation information from monitoring points is very necessary.In this paper,the space-time Kriging interpolation was used to analysis slope deformation in Pingshuo Open-pit Mine instead of classic Kriging interpolation.The space-time variograms function using the space-time of 2D productsum method was established,and the relationship between the main parameters of the model and the deformation was analyzed.The results show that the accuracy of space-time Kriging interpolation is satisfactory when the temporal-spatial relevance is considered.Accordingly,the dynamic deformation models were established based on the grid points of the monitoring area.The models are important for the analysis of slope stability from the regional scale.

space-time interpolation;Kriging;slope monitoring;variogram function

TD824

A

0253-9993(2014)05-0874-06

王建民,張 錦,鄧增兵,等.時空Kriging插值在邊坡變形監(jiān)測中的應(yīng)用[J].煤炭學(xué)報,2014,39(5):874-879.

10.13225/j.cnki.jccs.2014.0282

Wang Jianmin,Zhang Jin,Deng Zengbing,et al.Slope deformation analyses with space-time Kriging interpolation method[J].Journal of China Coal Society,2014,39(5):874-879.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2014.0282

2014-03-09 責(zé)任編輯:王婉潔

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863)資助項目(2013AA122301);國家自然科學(xué)基金資助項目(41371373);山西省軟科學(xué)基金資助項目(2013041060-02)

王建民(1976—),男,內(nèi)蒙古烏蘭察布人,講師。E-mail:8844.4321@163.com