淺談概率論中的獨(dú)立性

劉波

摘 要： 本文歸納和總結(jié)了概率論課程中隨機(jī)事件和隨機(jī)變量的獨(dú)立性的概念和性質(zhì).

關(guān)鍵詞： 概率論 隨機(jī)變量 獨(dú)立性

在概率論課程中，獨(dú)立性是一個(gè)非常重要的概念，在教學(xué)過程中它既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).現(xiàn)對(duì)概率論中出現(xiàn)的獨(dú)立性問題做總結(jié)和歸納.

1.事件的獨(dú)立性

設(shè)A，B是兩個(gè)事件，一般而言P（A）≠P（A|B），這表示事件的發(fā)生對(duì)事件的發(fā)生的概率有影響，只有當(dāng)P（A）=P（A|B）時(shí)，才可以認(rèn)為B的發(fā)生與否對(duì)A的發(fā)生毫無影響，這時(shí)就稱A，B兩個(gè)事件是獨(dú)立的.

定義1[1]：如果P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A與B獨(dú)立.

在實(shí)際問題中，我們一般不用定義判斷兩個(gè)事件A，B是否相互獨(dú)立，而是相反，從試驗(yàn)的具體條件及試驗(yàn)的具體本質(zhì)分析判斷它們有無關(guān)聯(lián)，是否獨(dú)立.如果獨(dú)立，就可以用定義中的公式來計(jì)算積事件的概率.

定義2[1]：設(shè)有n個(gè)事件A，A，…，A，如果對(duì)任意k（1

P（AA…A）=P（A）P（A）…P（A） （1）

則稱此n個(gè)事件A，A，…，A相互獨(dú)立.

三個(gè)事件相互獨(dú)立不僅是兩兩獨(dú)立的，而且滿足三三獨(dú)立.

注：（1）A與B互不相容和相互獨(dú)立的關(guān)系.

若AB=？準(zhǔn)，則稱A與B互不相容，互不相容是說明兩個(gè)事件沒有相同的樣本點(diǎn).而獨(dú)立是說明兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響.所以它們是兩個(gè)不同的概念，但它們之間也有一定的聯(lián)系，如例1.

例1：若P（A）>0，P（B）>0，則有：（1）當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)，則有A與B相容，即AB≠？準(zhǔn).（2）當(dāng)A與B互不相容時(shí)，有A與B不相互獨(dú)立.

解：（1）由A與B相互獨(dú)立和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=P（A）P（B）>0，故AB≠？準(zhǔn)，即A與B相容.

（2）由A與B互不相容和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=0≠P（A）P（B），故P（AB）≠P（A）P（B），即A與B不獨(dú)立.

由上例得到，若P（A）>0，P（B）>0，則A與B相互獨(dú)立與A，B互不相容不能同時(shí)成立.但是若去掉P（A）>0，P（B）>0這個(gè)條件，則存在這樣的事件，它們互不相容而且相互獨(dú)立，如不可能事件與任何事件互不相容，而且與任何事件相互獨(dú)立.

（2）由定義可知必然事件和不可能事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.

（3）判斷兩事件A，B 的獨(dú)立性通常是根據(jù)它們的實(shí)際意義看彼此是否有影響進(jìn)行判斷的.但不能用經(jīng)驗(yàn)判斷時(shí)，就必須用獨(dú)立的定義判斷.

（4）對(duì)于三個(gè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但不一定三個(gè)事件相互獨(dú)立.

例2：隨機(jī)投擲編號(hào)為 1 與 2 的兩個(gè)骰子設(shè)A表示1號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)；A表示2號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)；A表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，則有P（A）=P（A）=P（A）=1/2；對(duì)任意的1≤i

（5） 若四對(duì)事件 中有一對(duì)是相互獨(dú)立的，則另外三對(duì)也是相互獨(dú)立的.對(duì)于這條性質(zhì)的直觀理解也是容易的：如果A與B相互獨(dú)立，則A的發(fā)生不影響B(tài)的發(fā)生，那么A的發(fā)生也不會(huì)影響B(tài)的不發(fā)生，A的不發(fā)生也不會(huì)影響B(tài)的發(fā)生，A的不發(fā)生也不會(huì)影響B(tài)的不發(fā)生.

2.隨機(jī)變量的獨(dú)立性

在多維隨機(jī)變量中，各分量的取值有時(shí)會(huì)相互影響，但有時(shí)會(huì)毫無影響.譬如一個(gè)的身高X和體重Y就會(huì)相互影響，但與收入Z一般無影響.當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量的取值互不影響時(shí)，就稱它們是相互獨(dú)立的.

定義3[1]：設(shè)n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為FF的邊際分布函數(shù)，如果對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x，有

則稱X相互獨(dú)立.

類似隨機(jī)事件的獨(dú)立性，隨機(jī)變量相互獨(dú)立說明，各個(gè)隨機(jī)變量的取值不會(huì)相互影響，或者說隨機(jī)變量之間沒有任何關(guān)系.

注：（1）不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系.二維隨機(jī)變量（X，Y），當(dāng)Cov（X，Y）=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān).這時(shí)可能由兩類情況導(dǎo)致：一類是X與Y的取值毫無關(guān)聯(lián)；一類是X與Y間存在某種非線性關(guān)系，譬如平方關(guān)系、對(duì)數(shù)關(guān)系等.而相互獨(dú)立說明兩個(gè)隨機(jī)變量沒有任何關(guān)系.因此若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)；若X與Y不相關(guān)，則不能得到X與Y相互獨(dú)立.這個(gè)性質(zhì)表明：“不相關(guān)”是比“獨(dú)立”更弱的一個(gè)概念.

例3：設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間（0.5，0.5）上的均勻分布，Y=cosX，試證X與Y不相關(guān).

證：由于隨機(jī)變量X，Y有函數(shù)關(guān)系Y=cosX，則顯然X與Y不獨(dú)立.因?yàn)镋（X）=0，所以Cov（X，Y）=E（XY）=0，即X與Y不相關(guān)，而且X與Y不獨(dú)立.

這個(gè)例子表明，“獨(dú)立”必導(dǎo)致“不相關(guān)”，而“不相關(guān)”不一定導(dǎo)致“獨(dú)立”.獨(dú)立要求嚴(yán)，不相關(guān)要求寬.因?yàn)楠?dú)立性是用分布定義的，二不相關(guān)只是用矩定義的.另外可以看出，關(guān)于數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)中：若X與Y相互獨(dú)立，則有E（XY）=E（X）E（Y），可以將條件“相互獨(dú)立”降弱為“不相關(guān)”.

（2）對(duì)于二維正態(tài)分布N，不相關(guān)與相互獨(dú)立是等價(jià).即對(duì)于二維正態(tài)分布（X，Y），若ρ=0，則隨機(jī)變量X，Y不相關(guān)，而且相互獨(dú)立；若ρ≠0，則隨機(jī)變量X，Y相關(guān)，不相互獨(dú)立.

（3）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為p（x，y），X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是p（x，y）可分離變量，即p（x，y）=h（x）g（y），而且h（x）與邊際密度函數(shù)p（x）相差一個(gè)常數(shù)因子k，g（y）與邊際密度函數(shù)p（y）相差一個(gè)常數(shù)因子k，并且.應(yīng)用這條性質(zhì)可以更方便地判斷兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立性.

（4）利用獨(dú)立隨機(jī)變量的可加性，可以方便地計(jì)算隨機(jī)變量和的分布.如：二項(xiàng)分布，泊松分布，正態(tài)分布，伽馬分布，卡方分布.這些分布都具有可加性.

（5）注意利用獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和的性質(zhì)，如獨(dú)立同分布的兩點(diǎn)分布的和為二項(xiàng)分布，n個(gè)相互獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和是服從自由度為n的卡方分布，利用這樣的性質(zhì)可以更簡(jiǎn)便地推導(dǎo)二項(xiàng)分布和卡方分布的一些性質(zhì)，如數(shù)學(xué)期望和方差等.

（6）獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)為每個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)的乘積.特征函數(shù)是計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的分布的有利工具，如果隨機(jī)變量還滿足相互獨(dú)立的條件，則更簡(jiǎn)化了計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)分布的計(jì)算.

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