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    M-矩陣Hadamard積最小特征值的下界

    2014-06-05 15:27:39楊曉英劉新
    山東科學(xué) 2014年4期
    關(guān)鍵詞:劉新下界對角

    楊曉英,劉新

    (四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部,四川 廣元 628017)

    M-矩陣Hadamard積最小特征值的下界

    楊曉英,劉新

    (四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部,四川 廣元 628017)

    對于非奇異M-矩陣A與B,首先給出A的逆矩陣元素的范圍,進而利用Brauer定理,得到B?A-1最小特征值下界的新估計式。理論分析和數(shù)值算例說明新估計式改進了現(xiàn)有的結(jié)果。

    M-矩陣;Hadamard積;逆矩陣;下界

    M-矩陣是重要的矩陣類,有著廣泛應(yīng)用,物理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中的許多問題都和M-矩陣有著密切的聯(lián)系。這其中關(guān)于非奇異M-矩陣B和非奇異M-矩陣A的逆矩陣Hadamard積最小特征值的下界已經(jīng)成為研究的熱點,并獲得了一系列估計式[1-8],本文將繼續(xù)這一問題的研究,給出B?A-1最小特征值新的下界估計式。

    設(shè)N={1,2,…,n};Rm×n(Cm×n)表示m×n階實(復(fù))矩陣;Zn表示所有非對角元素都為非正實數(shù)的n×n階矩陣。

    設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n,則A可以表示為A=λI-P,其中P≥0,當(dāng)λ>ρ(P)(ρ(P)為非負矩陣P的譜半徑)時,稱A為非奇異M-矩陣。并記Mn為所有n×n階非奇異M-矩陣的集合。

    設(shè)A∈Mn,記τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)},其中σ(A)表示矩陣A的譜,τ(A)稱為矩陣A的最小特征值。詳見文獻[9]。

    定義1[9]設(shè)A∈Cn×n,當(dāng)n≥2時,若存在n×n階置換矩陣P,使得

    其中A11是r×r階子矩陣,A22是(n-r)×(n-r)階子矩陣(1≤r<n),則稱矩陣A為可約矩陣。若置換矩陣P不存在,則稱矩陣A為不可約矩陣。

    定義2[9]設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Cm×n,用A?B表示A和B對應(yīng)元素相乘而成的m×n階矩陣,即A?B=(aijbij)∈Cm×n,則A?B稱為A和B的Hadamard積。

    2008年,Huang[3]給出一個更為精確的估計式

    其中ρ(JA),ρ(JB)分別表示矩陣A與B的迭代矩陣譜半徑。

    2013年,Zhou等[5]得到如下新結(jié)果:

    本文將繼續(xù)這一問題的研究,利用Brauer定理給出B?A-1最小特征值的一些新的下界估計式,新估計式改進了文獻[5]和其他文獻中相應(yīng)的結(jié)果。

    1 符號與引理

    為方便起見,首先給出如下符號。對于i,j,l∈N,記

    引理1[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,A-1=(βij),則

    引理2[11]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(βij),則

    引理3[2]設(shè)A,B∈Rn×n,若D∈Rn×n與E∈Rn×n是對角矩陣,則

    引理4[12]設(shè)A=(aij)n×n是任意復(fù)矩陣,則A的所有特征值都位于下列區(qū)域之中

    2 主要結(jié)果

    定理1設(shè)A=(aij)∈Mn是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,A-1=(βij),則

    證明:由A∈Mn以及符號定義,可知0≤δji<di<1,0≤si≤1,j≠i,i,j∈N。令

    由于A是嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則存在ε>0,使得

    令Si(ε)=diag(δ1i(ε)si(ε),…,δi-1,i(ε)si(ε),1,δi+1,i(ε)si(ε),…,δni(ε)si(ε)),i∈N,則不難證明ASi(ε)也是嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則由引理1可知

    定理2設(shè)A=(aij)∈Mn是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,A-1=(βij),B=(bij)∈Mn,則

    那么,存在實數(shù)ηji(0≤ηji≤1),使得

    令U=diag(u1,u2,…,un)>0,有σ(B?A-1)=σ(U-1(B?A-1)U)=σ(U(BT?(A-1)T)U-1),因為τ(B?A-1)是B?A-1的一個特征值,則τ(B?A-1)∈σ(U(BT?(A-1)T)U-1。令τ(B?A-1)=λ,由引理4知,存在數(shù)對(i,j),i≠j(1≤i,j≤n),使得

    若B?A-1不可約。令G=(gij)是n×n階置換矩陣,且g12=g23=…=gn-1,n=gn1=1,其余gij=0。則對于任意正實數(shù)ε,當(dāng)ε充分小時,使得A-εG,B-εG的所有順序主子式為正,從而A-εG和B-εG都是不可約非奇異M-矩陣,若用A-εG,B-εG代替A,B,并令ε→0,則結(jié)論仍然成立。證畢。

    定理3設(shè)A=(aij)∈Mn是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,A-1=(βij),B=(bij)∈Mn,則

    證明:不失一般性,假設(shè)

    由(2.1)式與(2.3)式,得

    由符號定義,可知δkisi≤ri,i≠j,(1≤i,j≤n),進而ui≤mi,i∈N,所以

    故結(jié)論成立。證畢。

    定理3說明,定理2改進了文獻[5]中定理4.8的結(jié)果。

    3 數(shù)值算例

    例1設(shè)

    易知,矩陣A與B都是非奇異M-矩陣。那么

    由文獻[2]中定理5.7.31得τ(B?A-1)≥0.07,由文獻[3]中定理9得τ(B?A-1)≥0.052,由文獻[5]中定理4.8得τ(B?A-1)≥0.075。應(yīng)用本文的定理2,可得τ(B?A-1)≥0.141 1。事實上,τ(B?A-1)=0.214 8。

    通過算例分析,可知定理2的結(jié)果有效地改進文獻[5]中的定理4.8和其他現(xiàn)有的結(jié)果。

    [1]FIEDLER M,MARKHAM T L.An inequality for the Hadamard product of an M-matrix and inverse M-matrix[J].Linear Algebra Appl,1988,101(4):1-8.

    [2]HORN R A,JOHNSON CR.Topics inmatrix analysis[M].New York:Cambridge University Press,1991:113-115,298-299,375.

    [3]HUANG R.Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices[J].Linear Algebra Appl,2008,428(7):1551-1559.

    [4]LIY T,LIY Y,WANG RW,et al.Some new bounds on eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product ofmatrices[J].Linear Algebra Appl,2010,432(2/3):536-545.

    [5]ZHOU D M,CHEN G L,WUG X,et al.On some new bounds for eigenvalues of the Hadamard productand the Fan product of matrices[J].Linear Algebra Appl,2013,438(3):1415-1426.

    [6]陳付彬,任獻花,郝冰.M-矩陣Hadamard積最小特征值的新下界[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2012,32(2):60-66.

    [7]劉新,楊曉英.M-矩陣Hadamard積最小特征值的新下界[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,30(2):53-55.

    [8]王峰.非奇異M-矩陣的逆矩陣和M-矩陣的Hadamard積的最小特征值下界估計[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,26(2):341-345.

    [9]陳景良,陳向暉.特殊矩陣[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000.

    [10]YONG X R.Proof of a conjecture of Fiedler and Markham[J].Linear Algebra Appl,2000,320(1/2/3):167-171.

    [11]LIY T,CHEN F B,WANG D F.New lower bounds on eigenvalue of the Hadamard product of an M-matrix and its inverse[J]. Linear Algebra Appl,2009,430(4):1423-1431.

    [12]BRAUER A.Limits for the characteristic roots of amatrix.II[J].Duke Math J,1947,14(1):21-26.

    Lower bound ofm inimal eigenvalue for Hadam ard product of M-matrices

    YANG Xiao-ying,LIU Xin
    (Department of Basic Education,Sichuan Information Technology College,Guangyuan 628017,China)

    We initially present the range of the elements of inverse matrix of A for two nonsingular M-matrices A and B.We further obtain a new estimation formula of the lower bound of the minimal eigenvalue ofB?A-1with the theorem of Brauer.Theoretical analysis and numerical examples demonstrate that it improves the existing results.

    M-matrix;Hadamard product;inverse matrix;lower bound

    O151.21

    A

    1002-4026(2014)04-0104-05

    10.3976/j.issn.1002-4026.2014.04.018

    2013-07-10

    四川省教育廳自然科學(xué)研究基金(13ZB0393;14ZB0442);四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基金(2012C04)

    楊曉英(1984-),女,講師,碩士,研究方向為矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用。

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