動力鉗開口齒輪組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與模態(tài)分析

劉志剛

（江蘇如石機(jī)械有限公司，江蘇如東226406）

設(shè)計(jì)計(jì)算

動力鉗開口齒輪組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與模態(tài)分析

劉志剛

（江蘇如石機(jī)械有限公司，江蘇如東226406）

開口齒輪是鉆桿動力鉗鉗頭部分的重要傳動部件。目前，開口齒輪組的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法單一，造成體積較大。針對開口齒輪組的結(jié)構(gòu)與布局，通過選取合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為輸入變量，依據(jù)齒輪嚙合條件和接觸、彎曲疲勞強(qiáng)度等構(gòu)造約束條件，以總體尺寸為優(yōu)化目標(biāo)，采用改進(jìn)的粒子群算法（PSO）對開口齒輪組進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。分別將優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)建模并導(dǎo)入ANSYS Workbench，通過模態(tài)分析對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)一步論證。結(jié)果表明：采用改進(jìn)PSO方法優(yōu)化后的模型體積更小，同時(shí)各階固有頻率得到提高，說明該方法能夠有效指導(dǎo)鉆桿動力鉗的開口齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

鉆桿動力鉗；開口齒輪；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；模態(tài)分析

隨著石油、天然氣等礦物能源的開采量增加，深井、超深井逐漸增多，使得修井機(jī)械裝備不斷發(fā)展，其中鉆桿動力鉗得到廣泛開發(fā)與應(yīng)用。開口齒輪是開口式動力鉗鉗頭部位的主要受力部件，作為動力傳遞與鉗頭咬緊機(jī)構(gòu)，開口齒輪組的結(jié)構(gòu)參數(shù)與布局對于動力鉗的力學(xué)性能及外觀尺寸等都有著重要影響［1］。開口齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要包括齒輪參數(shù)設(shè)計(jì)和傳動機(jī)構(gòu)位置布局設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)的傳動齒輪參數(shù)設(shè)計(jì)方法需要參照標(biāo)準(zhǔn)傳動齒輪設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)，并考慮材料強(qiáng)度與齒輪載荷加入相應(yīng)的安全系數(shù)，最后進(jìn)行校核［2］。另一方面對于開口齒輪傳動機(jī)構(gòu)的布局確定方法通常是在給定的安裝條件下帶入多組數(shù)據(jù)找出所有可能的布局參數(shù)，最后根據(jù)其他制約條件選擇最優(yōu)布局參數(shù)。由于以上設(shè)計(jì)過程很多參數(shù)依靠經(jīng)驗(yàn)確定，沒有明確優(yōu)化目標(biāo)，易造成鉆桿動力鉗鉗頭的傳動機(jī)構(gòu)體積過大，材料成本增加。因此需要以開口齒輪組構(gòu)成的傳動機(jī)構(gòu)體積精簡為目標(biāo)，進(jìn)行多參數(shù)的齒輪組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)目前已在工程應(yīng)用領(lǐng)域廣泛使用［3］，但在開口齒輪組的優(yōu)化設(shè)計(jì)中存在一些問題：①依賴經(jīng)驗(yàn)選取的參數(shù)較多，較難確定；②優(yōu)化過程計(jì)算量大，效率較低；③容易陷入局部最優(yōu)解。針對上述的組合優(yōu)化問題，現(xiàn)代智能優(yōu)化算法可以在約束條件內(nèi)快速有效找出全局最優(yōu)解，其中粒子群算法（PSO）是一種基于迭代的隨機(jī)全局最優(yōu)優(yōu)化算法［4］，該算法通過粒子群在解空間追隨最優(yōu)粒子搜索最優(yōu)解，相比于經(jīng)典的遺傳算法具有簡單易行、精度高和收斂快等特點(diǎn)，適合應(yīng)用于開口齒輪組結(jié)構(gòu)的多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 基本設(shè)計(jì)參數(shù)

1.1 傳動機(jī)構(gòu)要求

由于開口齒輪組是4個(gè)直齒圓柱齒輪相互嚙合，屬于過約束齒輪機(jī)構(gòu)，因此在設(shè)計(jì)開口齒輪組時(shí)要考慮正確的安裝條件，否則會導(dǎo)致卡死、安裝錯(cuò)位等現(xiàn)象，使齒輪組不能正常工作。開口齒輪的安裝原理簡圖如圖1所示，其中開口齒輪齒數(shù)Z3，開口寬度為b，兩個(gè)對稱分布的惰輪齒數(shù)Z2，小齒輪齒數(shù)Z1，O2O3與O1O3夾角為α，O1O2與O2O3夾角為β，O1O2與O1O3夾角為γ。

圖1 開口齒輪組安裝簡圖

根據(jù)文獻(xiàn)［5］給出的4齒輪機(jī)構(gòu)約束條件，結(jié)合圖1進(jìn)行分析可以得到開口齒輪組正確安裝條件：

式中：da1，da2，da3分別為各齒輪齒頂圓直徑。

在已知各齒輪模數(shù)和齒數(shù)時(shí)，要確定開口齒輪正確安裝條件參數(shù)首先需要根據(jù)上述約束給出角度α的最大與最小值，并通過在該范圍內(nèi)對α多次試取值帶入式（1）得到多組符合條件的n，最后根據(jù)其他制約條件選取α的最優(yōu)值，并依此推導(dǎo)出其他參數(shù)，從而獲得4齒輪開口齒輪組的正確安裝條件。

除了安裝條件，開口齒輪組各齒輪的模數(shù)、齒數(shù)以及齒寬等參數(shù)也會對最終總體機(jī)構(gòu)體積和結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生影響。所以設(shè)計(jì)開口齒輪傳動機(jī)構(gòu)需要綜合考慮齒輪嚙合原理和正確安裝條件，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化。

1.2 原始設(shè)計(jì)參數(shù)

鉆桿動力鉗為開口式動力鉗，最大適用管徑216 mm。初始的開口齒輪組的基本參數(shù)包括：功率64 k W；輸出轉(zhuǎn)速4.2 r／min；傳動比2.8；輸出轉(zhuǎn)矩135 k N·m。主要設(shè)計(jì)參數(shù)包括：開口寬度bk＝223.64 mm；嚙合齒輪模數(shù)m＝12；開口齒輪齒數(shù)Z3＝67，齒寬b3＝100 mm；惰輪齒數(shù)Z2＝28，齒寬b2＝105 mm；小齒輪齒數(shù)Z1＝24，齒寬b1＝110 mm；夾角α＝31°。

式中：n為正整數(shù)，α、γ單位為rad。

2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化條件

2.1 定義優(yōu)化變量

通常情況下對于開口齒輪組的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮所有的相關(guān)參數(shù)，但同時(shí)也會增加計(jì)算和求解時(shí)的工作量與難度，所以只需要提取對優(yōu)化目標(biāo)影響較大的參數(shù)，精簡優(yōu)化問題的變量維數(shù)，便于問題求解并簡化計(jì)算。這里對齒輪的壓力角、齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)均按標(biāo)準(zhǔn)直齒輪選??；開口齒輪的開口寬度是由最大管徑?jīng)Q定的，因此該參數(shù)不做改變；一般嚙合齒輪對中要求小齒輪寬度應(yīng)比大齒輪寬5～10 mm，這里為了簡化變量維數(shù)只設(shè)立開口齒輪Z3的齒寬系數(shù)φd為變量，而齒輪Z2和Z1齒寬的分別比齒輪Z3齒寬大5 mm和10 mm。因此開口齒輪的體積優(yōu)化問題中關(guān)鍵變量參數(shù)最終可以確定為齒輪模數(shù)m，小齒輪齒數(shù)Z1，惰輪齒數(shù)Z2，開口齒輪齒數(shù)Z3，齒輪位置夾角α，開口齒輪齒寬系數(shù)φd。即：

2.2 約束條件確定

2.2.1 齒輪模數(shù)

由于傳遞大扭矩的開口齒輪模數(shù)不能過小，通過同類傳動機(jī)構(gòu)類比確定模數(shù)取值范圍：

且x1取值按GB1357—1987標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪模數(shù)選取。

2.2.2 齒數(shù)

各齒輪齒數(shù)都應(yīng)取整數(shù)，同時(shí)應(yīng)滿足不產(chǎn)生根切，根據(jù)具體工況分析有：

并且允許傳動比前后有0.05的誤差：

2.2.3 齒寬

針對齒輪齒寬有：b＝φdd1。大齒輪齒寬系數(shù)φd選取范圍0.2～2.4，d1為小齒輪分度圓直徑，小齒比大齒寬5～10 mm，這里為簡化程序取5 mm，所以只需對開口齒輪齒寬系數(shù)定義約束：

2.2.4 齒面接觸疲勞強(qiáng)度

齒面接觸疲勞強(qiáng)度校核公式為：

式中：ZE為彈性系數(shù)；ZH為區(qū)域系數(shù)；Zε為重合度系數(shù)；K為載荷系數(shù)；T1為小齒輪扭矩；μ為接觸大齒輪齒數(shù)與小齒輪齒數(shù)之比。

開口齒輪組有2類嚙合情況，分別帶入優(yōu)化變量參數(shù)簡化有：

2.2.5 齒根彎曲疲勞強(qiáng)度

式中：YFa為齒形系數(shù)，Ysa為應(yīng)力修正系數(shù)，Yε為重合度系數(shù)，σFP為許用彎曲應(yīng)力。

分別帶入齒輪的變量參數(shù)簡化后有：

2.3 適應(yīng)度函數(shù)確定

開口齒輪組以及動力鉗鉗頭尺寸主要是由齒輪

齒根彎曲疲勞強(qiáng)度校核公式為：Z1和Z3中心距、Z2和Z4中心距和齒寬來確定，以此為依據(jù)，構(gòu)造衡量開口齒輪組體積的適應(yīng)度函數(shù)如下：

函數(shù)f（x）越小表明齒輪組總體積越小，以約束范圍內(nèi)全局最小值作為優(yōu)化目標(biāo)。

3 基于改進(jìn)PSO的開口齒輪組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對開口齒輪組結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)優(yōu)化方法，一般通過經(jīng)驗(yàn)多次試取或者對結(jié)構(gòu)做近似分析，但傳統(tǒng)優(yōu)化方法往往不具備全局性，容易陷入局部最優(yōu)解，而且隨著設(shè)計(jì)變量增加和約束范圍增大，優(yōu)化分析的效率顯著降低，優(yōu)化結(jié)果也不理想。對于這類多條件約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題，更適合智能優(yōu)化算法解決。PSO算法是一種利用群體智能的隨機(jī)優(yōu)化算法，具有收斂快、易實(shí)現(xiàn)、全局搜索能力強(qiáng)等特點(diǎn)［6］。

3.1 PSO優(yōu)化算法

PSO算法受鳥群覓食行為啟發(fā)，將約束范圍內(nèi)的一個(gè)解稱為粒子，而多個(gè)粒子構(gòu)成的種群稱為粒子群。假設(shè)xi＝（xi1，xi2，…，xin）為粒子i在解空間中的n維坐標(biāo)，同時(shí)每個(gè)粒子都有決定其移動方向與距離的飛行速度向量Vi＝（Vi1，Vi2，……，Vin）；在第t次迭代過程中粒子i自身所找到的最優(yōu)解的位置為Pi（t）＝（Pi1，Pi2，…，Pin），稱為個(gè)體極值，函數(shù)P為適應(yīng)度函數(shù)；整個(gè)粒子群搜索到的最優(yōu)解位置Pg（t）＝（Pg1，Pg2，…，Pgn），稱為全局極值。對于開口齒輪組結(jié)構(gòu)體積最小的優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)值越小，對應(yīng)的適應(yīng)函數(shù)值越好。標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法粒子的速度與位置更新公式如下［7］：

式中：c1、c2為加速常數(shù)，一般在0～2間取值；r1、r2為區(qū)間在（0，1）間的相互獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)。粒子速度Vi通常限定在［－Vmax，Vmax］。

3.2 改進(jìn)的PSO優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的求解主要研究所有粒子與種群中性能最優(yōu)粒子的結(jié)構(gòu)影響，但對于各粒子個(gè)體與領(lǐng)域粒子的關(guān)系及影響沒有得到很好的體現(xiàn)。因此為了平衡算法的收斂速度和優(yōu)化精度，對粒子速度更新引入慣性權(quán)重ω和周圍極值的影響，粒子速度更新公式為：

式中：Pj（t）為當(dāng)前粒子跟蹤周圍粒子的極值，c3為權(quán)重系數(shù)。

慣性權(quán)重ω較大可提高全局搜索能力，較小時(shí)可增強(qiáng)局部搜索能力。因此通過帶入最大和最小權(quán)值ωmax、ωmin對ω作非線性調(diào)整：

式中：t為當(dāng)前迭代數(shù)，Gen為總迭代數(shù)。此外根據(jù)文獻(xiàn)［8］可知指數(shù)n取0.5時(shí)尋優(yōu)能力最好。

3.3 算法流程

1） 根據(jù)開口齒輪組的優(yōu)化變量X對粒子群初始的隨機(jī)位置和速度進(jìn)行初始化設(shè)定。

2） 依據(jù)式（17）計(jì)算各粒子的適應(yīng)函數(shù)值。

3） 對每個(gè)粒子經(jīng)歷的位置適應(yīng)值進(jìn)行比較，將最優(yōu)值作為當(dāng)前粒子的局部最優(yōu)解。

4） 對每個(gè)粒子將其當(dāng)前的局部最優(yōu)解與群體中的最優(yōu)解比較，將最優(yōu)解作為當(dāng)前的全局最優(yōu)解。

5） 根據(jù)式（20）、（21）對所有粒子位置和速度更新。

6） 若迭代次數(shù)未達(dá)到上限Gen則返回步驟2），否則結(jié)束。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

整個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)的硬件環(huán)境CPU為i5 2.5GHz內(nèi)存4G的筆記本，軟件平臺為MATLAB7.0。PSO算法參數(shù)選?。簩W(xué)習(xí)因子c1＝c2＝1.4962，c3＝1.2，慣性權(quán)重ωmax＝0.729 8，ωmin＝0.316 2，種群數(shù)popsize＝50，最大迭代次數(shù)Gen＝100。算法全局最優(yōu)值迭代曲線如圖2。

圖2 改進(jìn)PSO算法迭代曲線

可以看出粒子群在第12次迭代時(shí)收斂到最優(yōu)適應(yīng)值。具體參數(shù)圓整后與原始參數(shù)對比如表1。

表1 優(yōu)化前后參數(shù)對比

經(jīng)過驗(yàn)證優(yōu)化后參數(shù)符合設(shè)計(jì)要求，并且相比于原始設(shè)計(jì)參數(shù)體積更小，目標(biāo)值相比于原始目標(biāo)值減少了27.64%。

5 ANSYS Workbench開口齒輪組模態(tài)分析

通過在Pro／E環(huán)境下建立優(yōu)化前后4齒輪的嚙合模型，進(jìn)一步導(dǎo)入ANSYS Workbench的靜力學(xué)模態(tài)分析“Modal”模式中進(jìn)行模態(tài)分析，對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)性能。

1） 添加材料 開口齒輪組的齒輪材料均為42Cr Mo，彈性模量2.06×1011Pa，泊松比0.3，密度7 800 kg／m3。

2） 設(shè)定接觸類型 齒輪傳動為有摩擦接觸類型，故定義為Frictional，摩擦因數(shù)0.06。

3） 網(wǎng)格劃分 齒輪組的網(wǎng)格劃分類型為自由劃分，網(wǎng)格大小為3 mm。

4） 施加約束 對各個(gè)齒輪約束x，y，z方向平動自由度與x，y轉(zhuǎn)動自由度，只保留軸向的z方向轉(zhuǎn)動自由度。

5） 求解結(jié)果 一般對于齒輪的模態(tài)分析的階數(shù)不需要太高，這里設(shè)定分析前5階的模態(tài)。并在“solution”中選擇“Insert｜Deformation｜Total”，添加1～5階振動模態(tài)下的形變情況，并通過“solve”選項(xiàng)求解。得到優(yōu)化前后各模態(tài)下形變云圖，選取效果較為明顯的的1、3、4階模態(tài)下形變對比如圖3所示。各階固有頻率與變形量均列在表2中。

圖3 優(yōu)化前后模態(tài)分析

從圖3結(jié)果可以看出，無論優(yōu)化前后各階模態(tài)下最大形變位置都相差不多，形變主要集中在開口齒輪缺口附近齒上，其中1階形變方向主要沿開口齒輪徑向，而3和4階形變方向沿開口齒輪軸向。在3階和4階的形變云圖中可以看到各齒輪重要部位嚙合處都在形變較小區(qū)域，而且優(yōu)化后嚙合處形變數(shù)值明顯比優(yōu)化前小。

表2 優(yōu)化前后模態(tài)分析結(jié)果對比

從表2中的數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)化后的開口齒輪組各階的固有頻率相比于原始參數(shù)下的齒輪組結(jié)構(gòu)有提高，而3、4和5階模態(tài)下的最大變形量也有所減少，充分說明優(yōu)化后的開口齒輪組的結(jié)構(gòu)性能及工作穩(wěn)定性均有所提高。

6 結(jié)論

1） 針對鉆桿動力鉗開口齒輪組的設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)布局，創(chuàng)新提出動力鉗開口齒輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。以體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用基于慣性權(quán)重ω和周圍極值的改進(jìn)PSO算法求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，準(zhǔn)確獲取開口齒輪組體積最小時(shí)的結(jié)構(gòu)與布局參數(shù)。

2） 采用ANSYS Workbench軟件進(jìn)行模態(tài)分析，驗(yàn)證了動力鉗開口齒輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)后能夠減小體積，提高各階模態(tài)下固有頻率，同時(shí)高階模態(tài)下最大變形量減少。

3） 通過本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠極大提高動力鉗開口齒輪的設(shè)計(jì)效率，簡化計(jì)算，減少試驗(yàn)成本，并且在保證設(shè)計(jì)結(jié)果安全可靠基礎(chǔ)上精簡體積，對于鉆桿動力鉗優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

4） 當(dāng)前的鉆桿動力鉗開口齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)僅局限于齒輪組的尺寸與布局，而完整的開口齒輪組還需要包含轉(zhuǎn)軸、上蓋等部件，而整體部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析更具有實(shí)際意義。因此，今后將研究開口齒輪組整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及動力鉗的整機(jī)模態(tài)分析。

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Structure Optimization Design and Modal Analysis of the Power Tong Notched Gears

LIU Zhi-gang
（Jiangsu Rushi Machinery Co.，Ltd.，Rudong 226406，China）

The notched gears are important transmission components of the drill pipe power tongs，but currently the methods for notched gear optimization are simple and there are no proper optimization methods.The improved PSO algorithm was used to optimize the design of the notched gear structure.The appropriate structure parameters were selected as input variables，and constraint conditions were built according to gear condition and bending fatigue strength etc.The optimization design was based on the overall size of the target.The models before and after optimization of notched gear were imported into ANSYS workbench for modal analysis，and the results illustrate that the optimized model is smaller and enhanced structurally，and the natural frequencies of the model is improved.The results can be concluded that the optimization method based on improved PSO can be considered as a valuable reference for the optimization design of notched gears and is with good engineering value.

drill pipe power tong；notched gear；structure optimization design；modal analysis

TE921.202

A

10.3969／j.issn.1001-3482.2014.12.007

1001-3482（2014）12-0026-05

2014-06-10

劉志剛（1966-），男，江蘇如東人，高級工程師，現(xiàn)從事石油井口及工具的研制與管理工作。