柱錐斜交相貫線解析性質(zhì)分析與特殊點圖解方法

劉 敏， 林 犀， 馮 涓

(1. 清華大學機械工程系，北京 100084；2. 清華大學土木工程系，北京 100084)

柱錐斜交相貫線解析性質(zhì)分析與特殊點圖解方法

劉 敏1， 林 犀2， 馮 涓1

(1. 清華大學機械工程系，北京 100084；2. 清華大學土木工程系，北京 100084)

軸線相交的圓柱和圓錐兩立體相交時，一般情況下會產(chǎn)生兩條相貫線。文章分析了在圓柱、圓錐正交和圓柱、圓錐斜交情況下，相貫線隨圓柱半徑變化而形成的不同形狀和特殊點性質(zhì)。進一步結(jié)合解析形式分析，推導了圓柱、圓錐軸線相交并產(chǎn)生左右兩條相貫線時，兩條相貫線上最里點的分布規(guī)律；相貫線形狀與圓柱半徑取值范圍的精確對應(yīng)關(guān)系；并給出了確定相貫線上最里點的輔助球半徑公式。最后，文章依據(jù)以上結(jié)果提出了圓柱、圓錐斜交時相貫線上所有特殊點的圖解方法。

畫法幾何；圓柱、圓錐相貫線；斜交；解析證明；圖解法

軸線相交的圓柱和圓錐兩曲面立體相貫是工程上較為常見的形體相貫形式(如圖1所示)。一般情況下，其相貫線是盤繞在圓柱面和圓錐面上的兩支空間曲線。本文將軸線相交的圓柱和圓錐相貫簡稱為柱錐相貫，它們的交線簡稱為柱錐相貫線。精確地找到柱錐相貫線上的所有特殊點位置是柱錐相貫投影作圖的關(guān)鍵問題。本文重點討論圓柱和圓錐軸線傾斜相交情況下，左右兩側(cè)相貫線上所有特殊點的分布規(guī)律和精確作圖問題。在下文的討論中，圓柱的半徑記作R柱，圓柱圓錐軸線交點處圓錐的內(nèi)切球半徑記作R球。θ為圓柱圓錐軸線的夾角，α為圓錐的半頂角，h為圓柱圓柱軸線交點到圓錐錐頂?shù)木嚯x。為了研究方便，本文將圓錐軸線豎直放置，圓錐和圓柱軸線平行于正立投影面進行投影作圖。

圖1 柱錐相貫

1 柱錐相貫線的分類

柱錐相貫一般可分為柱錐正交和柱錐斜交兩大類。當圓柱和圓錐軸線垂直相交時(θ=90°)，本文簡稱柱錐正交，當圓柱和圓錐軸線傾斜相交時(θ≠90°且θ≠0°)，本文簡稱柱錐斜交。柱錐正交時，假設(shè)圓錐形狀不變，圓柱圓錐軸線的相對位置和傾斜角度不變，當圓柱半徑變化時，柱錐相貫線形狀和特殊點位置發(fā)生變化，分為以下4種形式：

圖2 柱錐正交時相貫線的四類形式

(1) 當R柱≤R球sinα時，柱錐左右兩側(cè)相貫線上的最高點H1和H2與分別與左側(cè)相貫線的最右點R和以及右側(cè)相貫線最左點 L重合，如圖 2(a)所示[1]。相貫線上的所有特殊點均可通過輔助平面法或輔助球面法作圖得到[2]。

(2) 當R球sinα＜R柱＜R球時，柱錐左右兩側(cè)相貫線上的最里點可借助輔助球法獲得，通過半徑為R球的圓錐內(nèi)切球，即最小輔助球，可作圖獲得最里點R和L，如圖2(b)所示。相貫線上的所有特殊點均可通過輔助平面法或是輔助球面法作圖得到。

(3) 當R柱=R球時，兩回轉(zhuǎn)體具有公共的內(nèi)切球。根據(jù)蒙日定理[2]，相貫線變化為兩條平面曲線——橢圓，在正面投影上，兩條相貫線的投影積聚在輪廓線交點的連線上，左右兩側(cè)的相貫線上的最里點重合于一點，如圖2(c)所示。

(4) 當R柱＞R球時，柱錐相貫線轉(zhuǎn)變?yōu)樯舷聝刹糠郑戏较嘭灳€上的最低點U1，以及下方相貫線上的最高點U2，借助側(cè)面投影，通過圖解容易得到，這里不再詳述。

由上可見，在柱錐正交的情況下，柱錐相貫線上的所有特殊點都可以通過輔助平面法或輔助球面法直接作圖確定。在柱錐斜交時，不失一般性，討論圓柱從左上向右下傾斜，即柱錐軸線夾角θ＜90°時相貫線的形狀。根據(jù)圓柱半徑R柱的變化，柱錐左右兩側(cè)的相貫線均可分為四類形式，但兩側(cè)分類形成的圓柱半徑略有不同。圖3給出了左側(cè)相貫線的四類形式以及分類條件。

(1) 當R柱≤Rmin時，左側(cè)相貫線上的最高點H1就是它的最右點R，如圖3(a)所示。其左右兩側(cè)相貫線上的最前點F1和最后點F2無法直接通過輔助平面法或輔助球面法作圖獲得，見圖3(a)。

(2) 當Rmin＜R柱＜R球時，左側(cè)相貫線上的最右點R并不對應(yīng)最高點H1，也不對應(yīng)半徑為R球最小球作為輔助球面法所確定的相貫線上的點。該點無法應(yīng)用一般的輔助平面法或輔助球面法直接求作。其左右兩側(cè)相貫線上的最前和最后點也無法使用一般作圖方法確定，如圖3(b)所示。

(3) 當R柱=R球時，如圖3(c)所示，相貫線變化為兩條平面曲線——橢圓，在正面投影上，兩條相貫線的投影積聚在圓柱和圓錐輪廓線交點的對角連線上。左右兩側(cè)相貫線的最里點重合，所有特殊點均可直接作圖得到。

(4) 當R柱＞R球時，柱錐相貫線變成上下兩部分，上方相貫線上的最低點U1，以及下方相貫線上的最高點U2，可借助最小輔助球，即圓柱的內(nèi)切球確定，如圖3(d)所示。

柱錐斜交時右側(cè)相貫線和左側(cè)相貫線具有類似的性質(zhì)，亦可分為四類形式(這里不再單獨給出圖例)，但是其第(1)類形式和第(2)類形式分類的臨界圓柱半徑尺寸與左側(cè)不同，具體如下：

(1) 當R柱≤Rmax時，柱錐右側(cè)相貫線上的最高點H2就是它的最左點L。

(2) 當Rmax＜R柱＜R球時，柱錐右側(cè)相貫線上的最左點L不對應(yīng)最高點H2，也不對應(yīng)最小輔助球所確定的相貫線上的點。

右側(cè)相貫線的第(3)類和第(4)類形式的分類條件與左側(cè)相同，Rmin和Rmax的取值大小將在下節(jié)結(jié)合解析法分析詳細討論。由此可見，在柱錐斜交時，若左右兩側(cè)相貫線處在第(1)或第(2)類形式下，該相貫線上的某些特殊點無法通過輔助平面法或是輔助球面法直接作圖確定。而當圓柱從左下向右上傾斜，即柱錐軸線夾角θ＞0°，其兩條相貫線具有和圖3示例左右對稱的性質(zhì)，文中不再單獨討論。

2 柱錐斜交時相貫線的解析形式分析

本節(jié)結(jié)合解析形式分析，重點分析柱錐斜交情況下，左右兩側(cè)相貫線為第(2)類形式時，左側(cè)相貫線上最右點 R和右側(cè)相貫線上最左點 L的分布規(guī)律，以及柱錐斜交兩側(cè)相貫線第(1)和第(2)形式分類的兩個臨界尺寸Rmin和Rmax的取值。

2.1 柱錐相貫線的解析方程

建立如圖1所示的空間直角坐標系O-ΧYZ, 在此坐標系中，圓錐曲面的方程為：

而傾斜圓柱面的方程為：

聯(lián)立式(1)～(2)并消去y后，可以得到柱錐相貫線正面投影的方程[3]：

由式(3)可知，柱錐相貫線的正面投影方程在一般情況下為雙曲線[4-5]。

欲求式(3)所表達的方程在 Χ軸方向極值點(即左右兩側(cè)相貫線的最里點)，需根據(jù)極值法對其求導。將式(3)表達為隱式 f(x,z)= 0，則其極值點應(yīng)滿足：

即，

整理得到：

式(6)為一斜截式直線方程，容易看出這是一條與圓柱半徑R柱無關(guān)的直線。它既是式(3)具有Χ方向極值點的條件關(guān)系式，也具有特定的幾何意義,即R柱在一定范圍內(nèi)變化時，左右兩側(cè)相貫線上最里點的正面投影變化規(guī)律。

將z=h帶入式(6)，可得到x=htgθ，即點Α (htgθ, h)在該直線上。點Α位置見圖4，它是正面投影中傾斜圓柱軸線和過圓錐錐頂?shù)乃骄€的交點位置[6]。

討論特殊點Β( ?hsin2αctgθ ，h sin2α)，該點為R柱=R球時，左右兩側(cè)相貫線相重合的最里點投影位置，見圖3(c)中r′≡l′點位置。將z= h sin2α帶入式(6)，可得到 x= ?hsin2αctgθ ，即特殊點B( ?hsin2αctgθ，h sin2α)也在式(6)所表達的直線上。

圖4 極值點分布直線及其上的四點Α、Β、C、D位置

因此，過點Α和點Β的直線滿足式(6)，它是柱錐相貫線上極值點的正面投影分布軌跡。若令點C和點D分別為直線ΑΒ與圓錐左右兩側(cè)V面外形輪廓線的交點(見圖4)，由于直線上的ΑC段已超出圓柱面投影范圍，僅CD線段是柱錐相貫線上最里點的有效分布軌跡。由此我們可得到如下結(jié)論：

結(jié)論 1.式(6)所表達的直線是柱錐斜交，相貫線Χ方向極值點隨R柱變化時的理論分布軌跡。直線上點 C到傾斜圓柱軸線的距離對應(yīng)臨界圓柱半徑Rmin，點D到傾斜圓柱軸線的距離對應(yīng)的臨界圓柱半徑 Rmax。當Rmin＜R柱＜R球時，左側(cè)相貫線上的最右點R位于直線段CΒ之上。當Rmax＜R柱＜R球時，右側(cè)相貫線上的最左點L位于直線段ΒD之上。

2.2 Rmin和Rmax值的推導

為計算兩圓柱半徑Rmin和Rmax值的大小，需沿傾斜圓柱軸線建立新坐標系O-ΧY′Z′，如圖4中藍色的傾斜坐標軸所示。在坐標系O-Χ′Y′Z′中，式(6)在 Z′軸上的截距為在 Χ′軸上的截距為O-Χ′Y′Z′坐標系中式(6)可表示為：

根據(jù)坐標旋轉(zhuǎn)變換，圓錐左側(cè)的V面外形輪廓線方程為：

聯(lián)立式(7)～(8)并消去 z′，并且由于R球=h sin α，可得到

因此，

用類似的方法可以推導Rmax。圓錐面右側(cè)的V面外形輪廓線方程為：

聯(lián)立式(7)、(11)并消去 ′z，可得到：

若將θ=90°帶入式(10)、(12)，可得到柱錐正交時，與上文中討論的柱錐正交時的第(1)類和第(2)類形式的臨界尺寸相符。若θ＜90°，則Rmin＜Rmax。若 θ＞90°，則Rmin＞Rmax。若令θ′=180°?θ，則θ＞90°時，而這是圓柱從左下向右上傾斜時，取θ′角為柱錐軸線所夾銳角時的情形。

結(jié)論 2.柱錐軸線傾斜相交時，若則左側(cè)相貫線為 交 線 第 (1)類 形 式 。 若則左側(cè)相貫 線 為 交 線 第 (2)類 形 式 。 若則右側(cè)相貫線為 交 線 第 (1)類 形 式 。 若則右側(cè)相貫線為交線第(2)類形式。

2.3 柱錐斜交第(2)類形式相貫線上最里點位置

本節(jié)討論柱錐斜交第(2)類形式中如何利用輔助球法確定左側(cè)相貫線的最右點R以及右側(cè)相貫線的最左點位置L。首先討論如何確定這兩個最里點所對應(yīng)的輔助球半徑R。

上文已經(jīng)得到最里點R和L隨圓柱半徑變化時其正面投影的分布軌跡直線段CD，點R的正面投影r′應(yīng)位于軌跡直線ΒC上。確定點R的輔助球與圓錐的交線圓的正面投影和該輔助球與圓柱的交線圓的正面投影之交點r′。同理，確定點L的輔助球與圓錐的交線圓，以及該輔助球和傾斜圓柱交線圓的交點為L，點L的正面投影l(fā)′應(yīng)位于軌跡直線BD上。

圖5 極值點R和L對應(yīng)的輔助球

球心位于點O，半徑為Ra的輔助球方程為：

輔助球與圓錐面的交線為兩個水平圓，其正面投影為兩條水平直線1′2′和3′4′，如圖5所示。聯(lián)立式(1)、(13)，消去y，1′2′以及3′4′直線上的點應(yīng)滿足：

輔助球與圓柱面交線為兩個正垂圓，其正面投影為傾斜直線5′6′和7′8′，聯(lián)立式(2)、(13)，消去y，5′6′和7′8′直線上的點應(yīng)滿足方程：

聯(lián)立式(5)、(15)，消去x，得到兩個解：

將式(16)中兩個z值分別代入式 (14)， 得到相同的輔助球半徑Ra:

注意到式(17)中若R柱=R球，則Ra=R球，符合柱錐斜交時左右兩側(cè)相貫線第(3)類形式中最里點的情況。若θ=90°，則Ra=R球，符合柱錐正交時左右兩側(cè)相貫線上最里點所對應(yīng)的輔助球半徑。

此外，圖5中軸線交點O到直線5′6′和直線7′8′的距離，即線段Om1′和Om2′的長度為：

結(jié)論 3.柱錐軸線傾斜相交，左右兩側(cè)相貫線若為第(2)類形式，左側(cè)相貫線上最右點R和右側(cè)相貫線的最左點 L對應(yīng)的輔助球半徑為在正面投影中，該輔助球與圓柱的交線到柱錐軸線交點的距離為

3 特殊點的精確作圖步驟

3.1 相貫線上最里點圖解方法

根據(jù)柱錐相貫線的解析形式分析，以及柱錐斜交相貫線上最里點分布規(guī)律的3個結(jié)論，采用輔助球面法圖解左側(cè)相貫線上最右點R和右側(cè)相貫線最左點L的精確位置。具體作圖步驟如下：

(1) 確定最里點分布軌跡直線如圖6所示。在正面投影中過圓錐錐頂作與圓錐軸線垂直的水平直線，與圓柱軸線交于點A。過點O作半徑為R球的圓錐內(nèi)切球，找到該輔助球與圓錐交線的正面投影1′2′。過點O作直線O3′垂直于圓柱軸線，交半徑為R球的輔助球的正面投影于點3′，O3′交直線1′2′于點B。過AB兩點作直線，與圓錐正面投影左側(cè)外形輪廓線交于點C，與圓錐右側(cè)外形輪廓線交于點D。CD即為柱錐相貫線第(2)類形式中最里點的分布軌跡。

(2) 確定左右兩側(cè)相貫線形式。柱錐相貫線的具體形式取決于R柱和R球之間的大小關(guān)系。如圖6所示，過點3′作直線p′q′平行于圓柱軸線并與圓柱內(nèi)切球正面投影相切，交圓錐左側(cè)外形輪廓線于點p′，交圓錐右側(cè)外形輪廓線于點 q′。根據(jù)圓柱上方的外形輪廓線與圓錐左側(cè)外形輪廓線交點s′的位置可以確定左側(cè)相貫線的形式：①若點s′與點C重合或點 s′位于點 C之下，則柱錐左側(cè)相貫線屬于(1)類形式，點S為左側(cè)相貫線上的最右點。②若點s′位于點C和點p′之間，左側(cè)相貫線屬于(2)類形式。左側(cè)相貫線上的最右點位于線段BC上。③若點s′與點p′重合，則左側(cè)相貫線屬于第(3)類形式。點B為左側(cè)相貫線上的最右點。④若點s′位于點p′的上方，則柱錐相貫線屬于第(4)類形式，相貫線分為上下兩支。

右側(cè)相貫線的最左點分析方法類似(見圖 6)：①若圓柱上方的V面外形輪廓線與圓錐右側(cè)外形輪廓線交點t′與點D重合或位于點D之下，則柱錐右側(cè)相貫線屬于第(1)類形式。點T為右側(cè)相貫線的最左點。若點t′位于點D和點q′之間，則右側(cè)相貫線屬于第(2)類形式。右側(cè)相貫線上的最左點位應(yīng)于線段BD上。③若點t′與點q′重合，兩側(cè)相貫線均屬于第(3)類形式。點B為右側(cè)相貫線上的最左點。④若點t′在點q′的上方，兩側(cè)相貫線均屬于第(4)類形式，相貫線分為上下兩支。

圖6 圖解極值點分布軌跡并確定柱錐相貫線的形式

(3) 求作第(2)類形式兩側(cè)相貫線最里點位置。完成左右兩側(cè)相貫線形式分類后，若左側(cè)或右側(cè)相貫線屬于第(2)類形式，則需作圖確定其最里點R或L所對應(yīng)的輔助球與圓柱交線的正面投影，即圖 5中直線5′6′或直線7′8′的位置。

由式(18)，可以得到：

圖7 ?以及?圖解方法

①利用R球作為直角三角形斜邊，R柱作為直角三角形一條直角邊，構(gòu)造直角三角形，則另一條直角邊長度為如圖7所示。時，首先圖解h cosa c osq 的長度，如圖 7所示：線段|v′2′|= h cosa。在圓柱軸線上截取線段長度 |Og′|=| v′2′|，過點g′向圓錐軸線作垂線，交圓錐軸線于點k′，則|O k ′|= h cosac osq 。利用長度為h的線段作為斜邊，長度為 h cosac osq的線段作為一條直角邊，構(gòu)造直角三角形，則另一條直角邊的長度為如圖7所示。

圖8 圖解m1′和m2′的位置及r′和l′位置

在圓柱軸線上截取線段|Om1′ |=|Om2′ |=|RM|確定點m1′和m2′位置，過m1′點作直線5′6′垂直圓柱軸線交圓柱V面外形輪廓線于點5′和點6′，直線5′6′為左側(cè)相貫線上最右點對應(yīng)輔助球與圓柱交線的正面投影。直線5′6′與直線BC的交點r′即為柱錐左側(cè)相貫線上最右點的正面投影。類似的，過 m2′點作直線7′8′垂直圓柱軸線交圓柱V面外形輪廓線于點7′和點8′，直線7′8′為右側(cè)相貫線上最左點所對應(yīng)輔助球與圓柱的交線的正面投影。直線 7′8′與直線BD的交點l′即為柱錐右側(cè)相貫線上最左點的正面投影。

到此，柱錐斜交且左右兩側(cè)相貫線為第(2)類形式時，左側(cè)相貫線上最右點和右側(cè)相貫線的最左點的圖解方法已給出。注意此圖解方法也適用于θ＞90°時，即圓柱從左下向右上傾斜時，兩側(cè)相貫線上最里點的作圖。

3.2 R柱＜R球時相貫線上最前(后)點圖解方法

當R柱＜R球時，兩側(cè)相貫線上的最前和最后點位置是圓柱面上最前和最后的兩條輪廓素線與圓錐面的交點。因此，要圖解這兩個點的位置，可使用直線與立體相交的作圖方法求作[2]。以最前點F1和F2為例，其作圖步驟如圖9所示。在圓柱面最前方的素線上任取兩點Ⅰ，ⅠⅠ。過圓錐頂點V和Ⅰ，ⅠⅠ兩點構(gòu)造輔助平面VⅠⅡ。輔助面VⅠⅡ與圓錐相交得到交線VS和VT。直線VS和VT與圓柱最前方素線的交點即為所求點F1和F2位置。同理可以求作相貫線上的最后點。

圖9 相貫線上最前點F1和F2圖解方法

4 結(jié) 論

通過解析方法詳細推導了柱錐軸線相交，相貫線四類形式的分類條件。證明了交線為第(2)類形式時，即相貫線分為左右兩支，且最里點和最高點不重合時，左側(cè)相貫線上的最右點及右側(cè)相貫線上最左點的分布軌跡，并給出了該軌跡的圖解方法。兩側(cè)相貫線上最里點的精確位置可以通過輔助球面法作圖確定。結(jié)合解析分析，在相貫線第(2)類形式中，確定最里點所對應(yīng)的輔助球半徑應(yīng)為基于這個結(jié)論，給出了相貫線第(2)類形式中最里點的圖解方法。利用直線和立體相交的作圖方法，還給出了相貫線第(1)、(2)類形式中最前最后點的圖解法。因此，在柱錐正交或斜交時，相貫線上的所有特殊點位置都可以精確圖解。

[1] 谷艷華, 侯洪生, 張秀芝. 圓柱與圓錐軸線相交時左側(cè)相貫線上最右點的解析證明與圖解[J]. 工程圖學學報, 2010, 31(4): 146-150.

[2] 田 凌, 馮 涓, 劉朝儒. 機械制圖[M]. 北京: 清華大學出版社, 2007: 160-168.

[3] 孟憲榮. 用解析法確定某些二次曲面相貫線的特殊點[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報, 1984, (4): 114-118.

[4] 牛 彥. 圓柱與圓錐斜交特殊點的研究[J]. 沈陽工業(yè)大學學報, 1998, 20(6): 53-55.

[5] Martin Michael. Algebra [M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2009: 192-195.

[6] 楊慶國. 關(guān)于正圓錐與正圓柱軸線斜交相貫線最右點分布規(guī)律及其作圖方法的探討[J]. 華東紡織工學院學報, 1981, (3): 61-70.

Analytical Characteristics of Intersection Curve between a Cylinder and a Cone with Two Obliquely Intersected Axes and Graphical Method of Locating Special Points

Liu Min1, Lin Xi2, Feng Juan1
(1. Mechanical Engineering Department, Tsinghua University, Beijing 100084 China; 2. Civil Engineering Department, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

In general situations, there will be two spatial intersection curves generated when a cylinder and a cone are intersected with each other. This paper analyzes the various cases of the intersection curves and their special point locations when the axes of the cylinder and the cone are obliquely or perpendicularly intersected. If the intersecting curves are separated as two branches on the left and right, the distribution equation of the innermost points on the two intersection curves is obtained through theoretical analysis. The paper also analyzes the exact geometric conditions for classifying the four forms of the intersection curves and their corresponding cylinder radius distributions. The auxiliary sphere radius corresponding to the inner most point is also obtained. Finally, a graphical method of locating all the special points on the intersection curve is proposed in the paper.

descriptive geometry; intersection curve of a cylinder and a cone; oblique intersection; analytical proof; graphical method

TB 23

A

2095-302X(2014)05-0682-08

2013-07-23；定稿日期：2013-10-31

劉 敏(1976–)，女，湖南衡陽人，講師，博士。主要研究方向為CAD/CAM、工程圖學、計算機圖形學。E-mail：minliu@tsinghua.edu.cn