對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用問題的一點(diǎn)思考

馬翊

[摘要]解決實(shí)際問題的能力是指：會(huì)提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)問題；會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程教材中的應(yīng)用，并不是僅僅通過(guò)“增加一些有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容”, “在例題和習(xí)題中增加一些應(yīng)用題”，而是要在教材設(shè)計(jì)、編排體系等方面做更深層次的考慮。具備應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)和操作性能力，而且還要切切實(shí)實(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)中掌握基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。

[關(guān)鍵詞]設(shè)計(jì) 原則性 規(guī)律性 組織化

數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題一直是數(shù)學(xué)教育家關(guān)注的重要問題。著名數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾曾對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)表示了憂慮。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)講授從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出這些結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。學(xué)習(xí)是指形成這種系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。而不是系統(tǒng)化的最后結(jié)果。因?yàn)橄到y(tǒng)化的最后結(jié)果是一個(gè)系統(tǒng)。是一個(gè)漂亮的封閉系統(tǒng)，甚至封閉到?jīng)]有入口和出口… … 學(xué)生所要學(xué)習(xí)的不是作為一個(gè)封閉系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，而是作為一項(xiàng)人類活動(dòng)的數(shù)學(xué)，即從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)的數(shù)學(xué)化過(guò)程。如果需要，也可以包括從數(shù)學(xué)本身出發(fā)的數(shù)學(xué)化過(guò)程。學(xué)生應(yīng)該形成一個(gè)相對(duì)開放的系統(tǒng)，至少是一個(gè)既有入口又有出口的封閉系統(tǒng)。

《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱大綱））提出“培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力，并逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)”是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的之一。解決實(shí)際問題的能力是指：會(huì)提出、分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)問題；會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、進(jìn)行交流，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)。數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)主要是指：對(duì)自然界和社會(huì)中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨(dú)立思考，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，加以探索和研究。實(shí)質(zhì)上這是加強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用在教學(xué)中的地位。

《大綱》 對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題只做了原則性的說(shuō)明。如何更好地貫徹大綱中的“應(yīng)用”，還有一個(gè)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程。

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅包括人們常講的用數(shù)學(xué)的結(jié)論，用數(shù)學(xué)的方法，用數(shù)學(xué)的思想，還包括用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)的觀念，用數(shù)學(xué)的精神。因此，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程教材中的應(yīng)用，并不是僅僅通過(guò)“增加一些有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容”, “在例題和習(xí)題中增加一些應(yīng)用題”，而是要在教材設(shè)計(jì)、編排體系等方面做更深層次的考慮。具體說(shuō)應(yīng)注意的幾個(gè)問題：

一、應(yīng)用的層次性

1.在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的應(yīng)用。

由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)，前面知識(shí)的學(xué)習(xí)為后面的知識(shí)做準(zhǔn)備。換句話說(shuō)，前面的知識(shí)要應(yīng)用到后面知識(shí)的學(xué)習(xí)中。

2.在其他相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用，特別是物理及工程技術(shù)中的應(yīng)用。

3 .應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去。

由于高中學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)畢競(jìng)還是有限的，他們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的現(xiàn)實(shí)問題，與應(yīng)用數(shù)學(xué)家所面臨的現(xiàn)實(shí)問題相比，充其量是個(gè)“準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題”，至少是“半數(shù)學(xué)化”的問題，是一個(gè)經(jīng)過(guò)人為加工的“數(shù)學(xué)半成品”。

4.發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題、解決問題，這四者之間，能夠發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這是最高的要求。能夠解決已經(jīng)數(shù)學(xué)化了的問題，對(duì)學(xué)生來(lái)講，是個(gè)技能化的過(guò)程。而能夠發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題則是個(gè)能力問題。

5.數(shù)學(xué)語(yǔ)言的靈活運(yùn)用是應(yīng)用的最高層次，特別是自然語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流。

二、應(yīng)用與基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)系

對(duì)高中學(xué)生來(lái)講，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)該是教學(xué)的首要目標(biāo)，應(yīng)用是以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)為前提的。應(yīng)用不僅僅是目的，更重要的是過(guò)程，即我們不僅要使學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和應(yīng)用價(jià)值，具備應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)和操作性能力，而且還要切切實(shí)實(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)中掌握基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。很難想象，沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，談何應(yīng)用？

三、從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)看“應(yīng)用”

數(shù)學(xué)不同于其他自然科學(xué)，它具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)。從客觀實(shí)際、現(xiàn)實(shí)世界中的抽象只是數(shù)學(xué)的低級(jí)抽象；脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)學(xué)的高級(jí)抽象。高級(jí)抽象是在低級(jí)抽象基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象，它的研究對(duì)象是一種形式化的思想材料，是經(jīng)過(guò)人加工了的思想，是人對(duì)自然界的概括和認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)的逐級(jí)抽象性的特點(diǎn)，說(shuō)明了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中思維發(fā)展的不同階段和水平，因而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)也是分層次的、學(xué)習(xí)的最低層次是數(shù)學(xué)的組織：通過(guò)學(xué)生自己的猜測(cè)，探索，從現(xiàn)實(shí)問題情景中提煉數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)問題及其規(guī)律，對(duì)問題有整體理解，這是學(xué)生數(shù)學(xué)地組織經(jīng)驗(yàn)材料的活動(dòng)層次；學(xué)習(xí)的第二個(gè)層次是將數(shù)學(xué)問題組織成原理，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模式去描繪原理。即通過(guò)對(duì)脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)研究，構(gòu)筑抽象理論意義的數(shù)學(xué)原理。這是學(xué)生組織經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)域的活動(dòng)，是進(jìn)一步抽象概括數(shù)學(xué)材料并提煉數(shù)學(xué)原理的過(guò)程：第三個(gè)層次是數(shù)學(xué)原理的驗(yàn)證、推廣階段．如果說(shuō)前兩個(gè)層次是“發(fā)現(xiàn)”原理的過(guò)程，那么這個(gè)層次就是驗(yàn)證推廣的階段。驗(yàn)證的過(guò)程實(shí)際是將“發(fā)展”的結(jié)果演繹推理的形式系統(tǒng)化、邏輯化的過(guò)程；最后一個(gè)層次是反省上述學(xué)習(xí)過(guò)程將抽象結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際，用以指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)生活。此層次的反省活動(dòng)，是對(duì)前述認(rèn)識(shí)過(guò)程的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，是對(duì)前述學(xué)習(xí)過(guò)程的反思，對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程起到調(diào)節(jié)和監(jiān)控作用。斯托利亞爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)可分為三個(gè)階段，經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化、數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用。這三個(gè)階段構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的完整過(guò)程。