高等數(shù)學(xué)幾何理論知識(shí)研究

瓊吉

摘 要：幾何學(xué)是高等數(shù)學(xué)的一門學(xué)科，它在數(shù)學(xué)教育中占有重要的地位，幾何知識(shí)能貫穿高數(shù)中微積分研究的整個(gè)過(guò)程，為微積分提供了研究思路和方法。幾何理論知識(shí)不僅在教學(xué)中具有重要意義，而且對(duì)于人類認(rèn)識(shí)客觀世界發(fā)揮了巨大的作用。本文對(duì)高等數(shù)學(xué)中幾何理論知識(shí)在教學(xué)中的意義、在客觀世界認(rèn)識(shí)中起到的作用以及在教學(xué)改革實(shí)踐中的建議進(jìn)行闡述，從而提高對(duì)幾何理論知識(shí)研究的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；幾何理論知識(shí)；改革建議

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是當(dāng)代大學(xué)生的基本素質(zhì)之一，正在被越來(lái)越多的大學(xué)所重視，但一些學(xué)校并沒(méi)有重視數(shù)學(xué)重要分支之一的幾何學(xué)。目前，許多大學(xué)出現(xiàn)幾何教學(xué)內(nèi)容被壓縮現(xiàn)象，偏重于“數(shù)”，不注重“形”。本文就幾何知識(shí)在教學(xué)和客觀認(rèn)識(shí)中的作用進(jìn)行闡述，以提高人們對(duì)幾何的重視程度。

一、高數(shù)幾何理論知識(shí)研究在教學(xué)中的意義

高等數(shù)學(xué)的核心理論是微積分，而在微積分的方法、內(nèi)容和思想上都包含了幾何原理。對(duì)幾何的研究，要貫穿于微積分發(fā)展的每一個(gè)過(guò)程，同時(shí)也滲透微積分的每一部分內(nèi)容。

1.幾何理論能在高等數(shù)學(xué)中進(jìn)行闡釋。幾何理論能對(duì)定理性質(zhì)進(jìn)行解說(shuō)，對(duì)證明思路進(jìn)行探析，例如：微分的幾何思想是以直代曲，積分的幾何模型是曲邊梯形的面積，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，羅爾定理的幾何意義是滿足一定條件的曲線具有水平切線。

2.幾何理論分析法是一種思路的研究。它解題具有一定的局限性，一般要求題目給的條件具有特殊性，用幾何理論分析需要認(rèn)識(shí)并抓住它的特殊性來(lái)解題，具體問(wèn)題具體分析，有助于認(rèn)識(shí)問(wèn)題的另一方面，加深對(duì)問(wèn)題的深刻理解，從而揭示問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到知其然還知其所以然的目的。

二、高數(shù)幾何理論知識(shí)在客觀世界中的重要作用

1.幾何知識(shí)是人類認(rèn)識(shí)世界的重要工具。幾何學(xué)各種空間知識(shí)為各種數(shù)學(xué)門類的展開(kāi)提供了適當(dāng)?shù)幕A(chǔ)和舞臺(tái)，幾何的方法、代數(shù)的方法和分析的方法是相輔相成的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)成為人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的有力武器，因?yàn)樗容^直觀，能接近人們的生活，更能發(fā)揮人們的思維創(chuàng)造。數(shù)學(xué)歷史上有許多定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造都是以幾何知識(shí)為基礎(chǔ)的，也有許多學(xué)科的發(fā)展也是需要幾何知識(shí)進(jìn)行觀察和處理。在高新技術(shù)發(fā)展中，幾何學(xué)原理也得到了應(yīng)用，例如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)、數(shù)字仿真技術(shù)、CT掃描和磁共振成像處理都離不開(kāi)幾何知識(shí)的應(yīng)用。

2.幾何的美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美。幾何的美在數(shù)學(xué)美中占有重要比例，因?yàn)閿?shù)學(xué)美具有豐富的內(nèi)涵，如形象美、創(chuàng)新美和簡(jiǎn)潔美等，而這種美的形象正好體現(xiàn)在幾何學(xué)中。而數(shù)學(xué)是研究數(shù)與學(xué)的，它不僅僅體現(xiàn)在書本上的問(wèn)題、解題的技巧，更離不開(kāi)大千世界，把幾何融入萬(wàn)事萬(wàn)物，結(jié)合事務(wù)構(gòu)成了美的畫面。它能充分展現(xiàn)出世界萬(wàn)物中的美，又能體現(xiàn)出萬(wàn)物的神秘感，讓人們不斷地去追求、去研究它，使人們?cè)趲缀蔚恼J(rèn)識(shí)、理解、滲透、追求、解惑中得到做人的真諦。例如二階曲面的分類定理很漂亮和簡(jiǎn)潔，無(wú)論一個(gè)三元二次方程多復(fù)雜，只要進(jìn)行直角坐標(biāo)變換，就能轉(zhuǎn)化成17種簡(jiǎn)單的方程，它所表示的幾何圖形就能被想象出來(lái)。此外，還能用簡(jiǎn)單的形式表達(dá)極其深刻的含義等。

3.幾何知識(shí)能培養(yǎng)學(xué)生空間的想象能力和直覺(jué)能力。數(shù)學(xué)家龐加萊把數(shù)學(xué)分為兩類，即邏輯和直覺(jué)。邏輯和直覺(jué)各有其必要的作用，二者缺一不可，交融在一起。只有邏輯能給人可靠性，它是證明的工具；直覺(jué)是發(fā)明的工具，直覺(jué)能發(fā)揮空間想象力，為幾何理論知識(shí)的培養(yǎng)提供良好的環(huán)境，幾何學(xué)又提供了理解和把握數(shù)學(xué)空間的手段。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握和理解問(wèn)題的方法更重要、更有成就感。

三、高數(shù)幾何理論知識(shí)應(yīng)用在教學(xué)改革實(shí)踐中的建議

要以幾何為紐帶，重新設(shè)置教學(xué)過(guò)程，將線性代數(shù)融入到傳統(tǒng)高數(shù)上，達(dá)到線性代數(shù)、幾何和微積分融為一體。

1.將幾何與微積分完美融合?？梢詮亩ㄐ耘c定量?jī)蓚€(gè)方面實(shí)施，結(jié)合幾何理論知識(shí)指導(dǎo)的具體操作，從幾何的定性研究給出變量的極限概念，以幾何曲線上的點(diǎn)處切線確定，以函數(shù)圖形給出導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖形給出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。同時(shí)，通過(guò)對(duì)原函數(shù)的討論從導(dǎo)數(shù)過(guò)渡到不定積分，對(duì)微積分的應(yīng)用做出曲線的切線和法平面的解法。我們還可以用幾何對(duì)象定量計(jì)算出發(fā)點(diǎn)給出的微積分相關(guān)內(nèi)容，結(jié)合平面圖形的面積計(jì)算給出定積分的概念，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算給出定積分的進(jìn)一步應(yīng)用，結(jié)合二重積分的應(yīng)用給出空間曲面面積的計(jì)算方法。

2.將幾何與線性代數(shù)逐步融合。在高等數(shù)學(xué)幾何空間的向量及其運(yùn)算、坐標(biāo)系，向量組的線性關(guān)系的概念可以從代數(shù)的角度描述二維、三維幾何空間的向量之間的關(guān)系，前后兩方面相似、相互照應(yīng)。因此，在幾何理論上不應(yīng)分割，為刻畫幾何空間的直線平面相互之間的位置關(guān)系提供了簡(jiǎn)潔的方法，再通過(guò)矩陣的特征值與特征向量、矩陣的相似關(guān)系，給出幾何空間的曲面、曲線的相關(guān)內(nèi)容。

3.進(jìn)一步體現(xiàn)“幾何、微積分、線性代數(shù)”緊密聯(lián)系。利用多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，使抽象的微積分概念、定義及代數(shù)方法建立在直觀的幾何背景基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)。

基于上述認(rèn)識(shí)，我們應(yīng)在大學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)幾何理論知識(shí)的學(xué)習(xí)和滲透，突出其在教學(xué)中的重要作用，并在幾何課程教育改革實(shí)踐中進(jìn)行有益的嘗試，力爭(zhēng)取得較好的效果。

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