利用Chebyshev小波解Fredholm－Volterra積分方程

邢紅娟，曲小鋼

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055)

1 Chebyshev小波

式中 φm，n(x)=2m/2φ(2mx－n)，m，n∈z，m為尺度值，n為平移量。

平移和伸縮的小波函數(shù)可以構(gòu)成函數(shù)基或函數(shù)框架，足夠多的平移和伸縮的小波函數(shù)加權(quán)和能夠有效地逼近能量有限的函數(shù)。

Chebyshev小波函數(shù) φn，m(t)= φ(k，n，m，t)，含有4 個(gè)變量，t為時(shí)間，n=1，2，…，2k－1，k為任意的正整數(shù)，m為第一類Chebyshev多項(xiàng)式的階數(shù)，區(qū)間［0，1)上的Chebyshev小波定義為

小波函數(shù)［1－2］在時(shí)域和頻域［3］均具有較強(qiáng)的局部性，可以構(gòu)成具有多分辨率特征的函數(shù)空間序列，任意函數(shù)f(x)都可以被分解為平移和伸縮的小波函數(shù)φ(x)的線性和，即:

Tm(t)為階數(shù)為m的Chebyshev多項(xiàng)式，存在權(quán)值函數(shù) ω(t)=1/(1 －t2)1/2，t∈(－1，1)，使 Chebyshev多項(xiàng)式正交。

對(duì)于Chebyshev小波，權(quán)值函數(shù)ω(t)變?yōu)?/p>

ωn(t)=ω(2kt－2n+1)。

2 Fredholm－Volterra積分方程的矩陣化

這里y(x)是未知函數(shù)，函數(shù)g(x)，Pi(x，t)，Qj(x，t)是定義在區(qū)間 0≤x，t≤1 上的，且pij，qij，rij，λ1，λ2，μi是常量。

上述關(guān)系的y(x)可以用Chebyshev多項(xiàng)式形式表示，即

這里(x)=Tr(2x－1)，ar，0≤r≤N是未知的Chebyshev系數(shù)，N是任意的正整數(shù)m≤N，Tr(x)為階數(shù)為r的第一類Chebyshev多項(xiàng)式，這里Chebyshev配置點(diǎn)［4］定義為

(4)式可以用以下矩陣形式表達(dá)，即

2.1 將Fredholm積分部分用矩陣表示法表示

將Chebyshev配置點(diǎn)代入(7)式得到I(x1)的矩陣關(guān)系，對(duì)于每個(gè)xs，P0(x，t)，P1(x，t)以如下形式擴(kuò)展成Chebyshev基數(shù)

這時(shí)Pi(xs，t)的矩陣表達(dá)形式變?yōu)?/p>

另外，函數(shù)y2(t)能以矩陣形式寫出

B中的元素由以下關(guān)系給出

又由(6)，(8)，(9)得

2.2 將Volterra積分部分用矩陣表達(dá)

將(6)，(10)，(12)代到(3)有

在本文，Chebyshev小波配置點(diǎn)法運(yùn)用在積分方程中，解決Fredholm積分部分比解決Volterra積分部分更容易些，這個(gè)方法的一個(gè)優(yōu)勢是運(yùn)用截?cái)嗟腃hebyshev小波系數(shù)，這樣y(x)可以由任意的數(shù)值所表達(dá)，從而使計(jì)算簡化。

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