一道課本例題的探究及拓展

梁瑾

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（A版）》已試行兩個(gè)循環(huán)，深受好評。新教材緊跟時(shí)代發(fā)展，以生動活潑的呈現(xiàn)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以恰當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)、培養(yǎng)學(xué)生問題意識和探索精神。而教材例題設(shè)置的層次性、多樣性和探究性更成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的重要平臺。

1。一道課本例題

課本選修2-2，87頁例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）16。

證 （1）當(dāng)n=1時(shí)，12=1，1×（1+1）×（2×1+1）16=1，結(jié)論成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1）16，

那么12+22+32+…+k2+（k+1）2

=k（k+1）（2k+1）16+（k+1）2

=（k+1）（2k2+7k+6）16=（k+1）（k+2）（2k+3）16。

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知結(jié)論當(dāng)n∈N*時(shí)都成立。

2。例題探究

還有沒有什么其他方法來推導(dǎo)公式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）16。

分析這可以看成冪數(shù)列{n2}的前n項(xiàng)和的問題，可以運(yùn)用基本數(shù)列求和的方法及結(jié)論解決這個(gè)問題。

解利用恒等式

（k+1）3-k3=3k2+3k+1。

取k=1，2，…，n，得

23-13=3×12+3×1+1，

33-23=3×22+3×2+1，

……

（n+1）3-n3=3n2+3n+1。

上面各式相加，得

（n+1）3-1=3n1k=1k2+3n1k=1k+n，（2）若A站在隊(duì)伍的兩頭，有多少種不同的站法？若A既不站在排頭，也不站在排尾呢？

（3）A、B若不相鄰，有多少種不同的站法？

（4）A必須站在B的右邊，有多少種不同的站法？

（5）女生不站兩端，有多少種不同的站法？

6.模型法

教師引導(dǎo)學(xué)生讓學(xué)生通過分析、綜合、類比、概括、抽象、歸納將人口增長、環(huán)境保護(hù)、分期付款、市場分析、最優(yōu)方案、科學(xué)技術(shù)等問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題。模型法能幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生產(chǎn)生活中的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

例5某地為促進(jìn)當(dāng)?shù)貫┩筐B(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在合理的范圍內(nèi)，決定對海水養(yǎng)殖業(yè)進(jìn)行補(bǔ)貼，若某種魚類的市場價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，據(jù)市場調(diào)查顯示，當(dāng)16≤x≤28時(shí)，該魚類的市場日供應(yīng)量M千克與市場日需求量N千克近似地滿足關(guān)系：

M=2000（x+t-16）（x≥16，t≥0），N=100080-（x-16）2（16≤x≤28）。

當(dāng)M=N時(shí)市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格。

（1）將市場平衡價(jià)表示政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出該函數(shù)的定義域；

（2）為使市場平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府至少每千克補(bǔ)貼多少元？

三、近年來高中數(shù)學(xué)習(xí)題配置的發(fā)展趨勢

1.注重應(yīng)用性。在生產(chǎn)實(shí)際和科技發(fā)展中，數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)背景，了解知識的來龍去脈，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

例6某品牌飲料制造商制造并出售球形瓶裝飲料，已知瓶子制造成本是1。2πr2分，每出售1ml的飲料，可獲利0。3分，且瓶子的最大半徑為6cm。

（1）瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大？

（2）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤最??？

2.強(qiáng)調(diào)生活性。數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。新課程倡導(dǎo)教師以教材為藍(lán)本，注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)造愉悅的學(xué)習(xí)氛圍，引領(lǐng)學(xué)生通過自主探索、合作交流等活動運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題。

例7建筑一個(gè)容積為72m3，深為4。5m的長方形蓄水池，池壁每平方造價(jià)為a元，池底每平方造價(jià)為2a元。求總造價(jià)y與底的一邊長為x米的函數(shù)關(guān)系系，并指出其定義域。

3.增加開放性。開放性問題是指條件不完備、方法不唯一或無唯一結(jié)論的習(xí)題。教師要設(shè)置開放式問題，為學(xué)生創(chuàng)造有利于學(xué)生主動探索、積極發(fā)展的空間，從而培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力。

例8已知f（θ）=sin2θ+sin2（α+θ）+sin2（β+θ），其中α、β是滿足0≤α<β≤π的常數(shù)，請問α、β為何值時(shí)，f（θ）的值恒為定值。

總之，習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，其配置的好壞直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。因此我們高中數(shù)學(xué)教師要對習(xí)題配置作進(jìn)一步的探索研究，優(yōu)選或自編有質(zhì)量的習(xí)題，為培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力而不懈努力。從而n1k=1k2=113[（n+1）3-3n1k=1k-n-1]

=113[（n+1）3-3·n（n+1）12-n-1]

=116n（n+1）（2n+1）。

3。例題拓展

進(jìn)一步的13+23+33+…+n3=？如何導(dǎo)出？

方法一仿照上面的證法，利用恒等式（k+1）4-k4=4k3+6k2+4k+1。

取k=1，2，…，n，得

24-14=4×13+6×12+4×1+1，

34-24=4×23+6×22+4×2+1，

……

（n+1）4-14=4n3+6n2+4n+1。

上面各式相加得

（n+1）4-14=4n1k=1k3+6n1k=1k2+4n1k=1k+nendprint

n1k=1k3=114[（n+1）4-6n1k=1k2-4n1k=1k-n-1]

=114[（n+1）4-6×116n（n+1）（2n+1）-4×n（n+1）12-n-1]

=114（n+1）[（n+1）3-n（2n+1）-2n-1]

=n2（n+1）214。

方法二構(gòu)造函數(shù)f（k）=k2，則

f（k+1）1f（k）=（k+1）21k2=（k-1）2+4k1k2，

故k2f（k+1）-（k-1）2f（k）=4kf（k）。

在上式中，取k=1，2，…，n，得

12·f（2）=4f（1），

22·f（3）-12·f（2）=4·2f（2），

32·f（4）-22·f（3）=4·3f（3），

……

n2f（n+1）-（n-1）2f（n）=4·nf（n）。

各式相加，得

4n1k=1k3=4n1k=1kf（k）=n2f（n+1）=n2（n+1）2，所以

Sn=13+23+…+n3=n2（n+1）214。

方法三分析不妨可以考慮將奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，11，13，…，按如下規(guī)則分租：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…，顯然第k組的所有元素和為k3。于是前n個(gè)正整數(shù)的立方和就是上面分組中前n組的所有奇數(shù)的和。所以現(xiàn)在關(guān)鍵是要求出第n組中的最后一個(gè)奇數(shù)。根據(jù)每組的最后一個(gè)奇數(shù)1，5，11，19，29，41，…規(guī)律得出n組中的最后一個(gè)奇數(shù)為n2+n-1，共有1+2+3+…+n=112n（n+1）個(gè)奇數(shù)。

解令第n組中的最后一個(gè)奇數(shù)為an，則

an=（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）+a1=（4+6+8+…+2n）+1=n2+n-1。

故13+23+33+…+n3=1+3+5+7+…+（n2+n-1）

=112n（n+1）[1+（n2+n-1）]12

=n2（n+1）214。

利用以上結(jié)果，可以進(jìn)一步得到：

22+42+62+…+（2n）2

=4（12+22+32+…+n2）

=2n（n+1）（2n+1）13，

從而12+32+52+…+（2n-1）2

=（12+22+32+…+（2n）2）-（22+42+62+…+（2n）2）

=2n（2n+1）（4n+1）16-2n（n+1）（2n+1）13

=n（4n2-1）13。

同理可得：

23+43+63+…+（2n）3

=8（13+23+33+…+n3）

=2n2（n+1）2。

13+33+53+…+（2n-1）3

=n2（2n2-1）。

進(jìn)而可得到

-12+22-32+42+…+（-1）n·n2

=112n（n+1），n為偶數(shù)，

-n（n+1）12，n為奇數(shù)。

13-23+33-43+…+（-1）n+1·n3

=-114n2（2n+3），n為偶數(shù)，

114（n+1）2·（2n-1），n為奇數(shù)。

4。結(jié)語

無論在推導(dǎo)正整數(shù)平方和還是正整數(shù)立方和的過程中都利用了數(shù)列求和中常用的方法——裂項(xiàng)相消法。我們都知道在解一類特殊數(shù)列（ 由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列） 求和問題的一般方法是錯(cuò)位相減法。從學(xué)生的解答情況來看，學(xué)生對錯(cuò)位相減法的基本步驟掌握較好，但在計(jì)算過程中出錯(cuò)的現(xiàn)象比較普遍。實(shí)踐證明，解決此類問題的方法除了錯(cuò)位相減法外，裂項(xiàng)相消法也是解決此類問題的好方法。因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生掌握常規(guī)方法的同時(shí)，還要注意培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新勇于實(shí)踐自主探究的精神。

例如：求數(shù)列{2n-512n}的前n項(xiàng)和中，我們不妨可以考慮裂項(xiàng)相消法，關(guān)鍵是如何裂項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可以裂成2（n-1）-112n-1-2n-112n。

教材是教師教學(xué)的依據(jù)和根本，只有教師真正領(lǐng)悟教材的編寫意圖，不斷挖掘教材課本的資源，才能提高課堂的教學(xué)效果，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，真正落實(shí)新課程改革精神。endprint