正、余弦定理的運(yùn)用例析

張銀華

正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式，在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題來進(jìn)行考查。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中等難度的解答題。學(xué)習(xí)這部分知識，要會運(yùn)用正弦定理、余弦定理，解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及?？键c(diǎn)略析。

正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R為外接圓半徑）；

余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

它們的變形形式有：a=2RsinA， sinA1sinB=a1b，cosA=b2+c2-a212bc。

考點(diǎn)1正、余弦定理解三角形

例1（1）在△ABC中，已知A=32。0°，b=81。8°，a=42。9 cm，解三角形；

（2）在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）。

分析這是一道典型的用正、余弦定理解三角形的題目，根據(jù)已知，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角，再直接運(yùn)用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

解析（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-（A+B）=180°-（32。0°+81。8°）=66。2°。

根據(jù)正弦定理得，

b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1（cm）。

根據(jù)正弦定理，

c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1（cm）。

（2）根據(jù)正弦定理， sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

因?yàn)?°

①當(dāng)B≈64°時，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°，c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30（cm）。

②當(dāng)B≈116°時，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°）=24°，c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13（cm）。

考點(diǎn)2正、余弦定理判斷三角形形狀

例2在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）。

正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式，在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題來進(jìn)行考查。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中等難度的解答題。學(xué)習(xí)這部分知識，要會運(yùn)用正弦定理、余弦定理，解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及?？键c(diǎn)略析。

正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R為外接圓半徑）；

余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

它們的變形形式有：a=2RsinA， sinA1sinB=a1b，cosA=b2+c2-a212bc。

考點(diǎn)1正、余弦定理解三角形

例1（1）在△ABC中，已知A=32。0°，b=81。8°，a=42。9 cm，解三角形；

（2）在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）。

分析這是一道典型的用正、余弦定理解三角形的題目，根據(jù)已知，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角，再直接運(yùn)用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

解析（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-（A+B）=180°-（32。0°+81。8°）=66。2°。

根據(jù)正弦定理得，

b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1（cm）。

根據(jù)正弦定理，

c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1（cm）。

（2）根據(jù)正弦定理， sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

因?yàn)?°

①當(dāng)B≈64°時，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°，c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30（cm）。

②當(dāng)B≈116°時，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°）=24°，c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13（cm）。

考點(diǎn)2正、余弦定理判斷三角形形狀

例2在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）。

正、余弦定理是高中階段的一個重要定理公式，在高考中對正、余弦定理的考查主要以三角形為依托，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題來進(jìn)行考查。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中等難度的解答題。學(xué)習(xí)這部分知識，要會運(yùn)用正弦定理、余弦定理，解決一些簡單的三角 形度量問題和一些與測量、幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題。下面是對正余弦定理的知識概括以及?？键c(diǎn)略析。

正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R為外接圓半徑）；

余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

它們的變形形式有：a=2RsinA， sinA1sinB=a1b，cosA=b2+c2-a212bc。

考點(diǎn)1正、余弦定理解三角形

例1（1）在△ABC中，已知A=32。0°，b=81。8°，a=42。9 cm，解三角形；

（2）在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）。

分析這是一道典型的用正、余弦定理解三角形的題目，根據(jù)已知，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角，再直接運(yùn)用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

解析（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-（A+B）=180°-（32。0°+81。8°）=66。2°。

根據(jù)正弦定理得，

b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1（cm）。

根據(jù)正弦定理，

c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1（cm）。

（2）根據(jù)正弦定理， sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

因?yàn)?°

①當(dāng)B≈64°時，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°，c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30（cm）。

②當(dāng)B≈116°時，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°）=24°，c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13（cm）。

考點(diǎn)2正、余弦定理判斷三角形形狀

例2在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）。