建構(gòu)觀指導(dǎo)下的“小題大做”

李勇偉

建構(gòu)觀認(rèn)為：“人的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的本質(zhì)是主體的主動(dòng)建構(gòu)的過程.”強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，認(rèn)為學(xué)生是認(rèn)知的主體，是知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)者，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用.那么，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中該如何發(fā)揮學(xué)生的主體性和教師的促進(jìn)性作用呢？這是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要問題之一.根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度抽象和形式化的特點(diǎn)，結(jié)合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，筆者體會(huì)到：在解題教學(xué)中加強(qiáng)過程教學(xué)、充分暴露思維過程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行“知識(shí)重建”，積極開展協(xié)作學(xué)習(xí)，是達(dá)到內(nèi)化知識(shí)、培養(yǎng)能力的重要舉措.下面筆者結(jié)合課本中一道習(xí)題的教學(xué)，介紹一下自己的點(diǎn)滴做法.

習(xí)題求 cos20°·cos40°·cos80°的值.

1.學(xué)生板演暴露思維

學(xué)生中出現(xiàn)以下三種類似的解法：

解法一原式=（cos20°cos40°）cos80°

=112（cos60°+cos20°）cos80°

=112（112+cos20）cos80

=114cos80+112cos20°cos80°

=114cos80°+114（cos100°+cos60°）

=114cos80°-114cos80°+ 118=118.

解法二先將cos40°cos80°結(jié)合進(jìn)行積化和差，下略.

解法三先將cos20°cos80°結(jié)合進(jìn)行積化和差，下略.

2.組織討論總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

大家知道，一個(gè)班級(jí)幾十名學(xué)生，學(xué)生的個(gè)性各異，所以，教師需以一種平等、寬容、引導(dǎo)的心態(tài)來(lái)對(duì)待每一個(gè)學(xué)生，使學(xué)生的身心得以自由地表現(xiàn)和發(fā)展.這就要求教學(xué)中教師要允許學(xué)生發(fā)表各自不同的意見，即使學(xué)生的想法錯(cuò)了，也應(yīng)保護(hù)和鼓勵(lì)他們探索的積極性.因?yàn)槊裰鞯慕逃諊峭诰驅(qū)W生創(chuàng)新潛能的必要環(huán)境，而奇思妙想甚至錯(cuò)誤的觀點(diǎn)往往可能成為創(chuàng)新的催化劑.

為了使意義建構(gòu)（是指對(duì)當(dāng)前所學(xué)知識(shí)的意義進(jìn)行建構(gòu)）更加有效，教師應(yīng)在可能的條件下組織協(xié)作學(xué)習(xí)，開展討論與交流，并對(duì)協(xié)作學(xué)習(xí)過程進(jìn)行引導(dǎo)，使之朝有利于意義建構(gòu)的方向發(fā)展.引導(dǎo)的方法包括：提出適當(dāng)?shù)膯栴}以引起學(xué)生的思考和討論；在討論中設(shè)法把問題一步步引向深入，以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解；啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、自己去糾正和補(bǔ)充錯(cuò)誤的或片面的認(rèn)識(shí).

據(jù)此，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上面他們所板書的解法開展充分的討論與交流，最后由學(xué)生總結(jié)出如下解題經(jīng)驗(yàn)：（1）遇積化和差，遇和差化積，遇特殊值求其值；（2）判斷是否需要“和積互化”的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？一般地，看轉(zhuǎn)化后的角是否為特殊角或與題中某些角有聯(lián)系的角，若是則行，否則一般不宜.這樣，為今后解三角變形題積累了兩條寶貴的經(jīng)驗(yàn).

3.協(xié)作學(xué)習(xí)探索新解

創(chuàng)設(shè)問題情境：“除上述解法之外，是否另有新解呢？”

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)者與周圍環(huán)境的交互作用，對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解（即對(duì)知識(shí)意義的建構(gòu)）起著關(guān)鍵性的作用.這是建構(gòu)主義的核心觀念之一.學(xué)生們?cè)诮處煹慕M織和引導(dǎo)下一起討論和交流，共同建立起學(xué)習(xí)群體并成為其中的一員.在這樣的群體中，共同批判地考察各種理論、觀點(diǎn)和假說，進(jìn)行協(xié)商和辯論，先內(nèi)部協(xié)商（即和自身爭(zhēng)辯到底哪一種觀點(diǎn)正確），然后再相互協(xié)商（即對(duì)當(dāng)前問題擺出各自的看法、論據(jù)及有關(guān)材料并對(duì)別人的觀點(diǎn)作出分析和評(píng)論）.通過這樣的協(xié)作學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)習(xí)者群體（包括教師和每位學(xué)生）的思維與智慧就可以被整個(gè)群體所共享，即整個(gè)學(xué)習(xí)群體共同完成對(duì)所學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)，而不是其中的某一位或某幾位學(xué)生完成意義建構(gòu).

提出問題后，教師創(chuàng)設(shè)平等交流的氛圍，先肯定學(xué)生敢思敢問的積極態(tài)度，再分析學(xué)生思維的合理部分，或組織全班學(xué)生討論，讓更多的學(xué)生思、問、議，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的真正的主人.根據(jù)三角變形的解題規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下“式的特征分析”：從式子的運(yùn)算結(jié)構(gòu)特征上看，是三角函數(shù)值的乘積；從角的特征上看，是三個(gè)角依次成倍遞增；從三角函數(shù)名稱上看，都是余弦.總結(jié)三方面的特征，會(huì)聯(lián)想到什么呢？學(xué)生很快聯(lián)想到二倍角公式：2sinαcosα=sin2α. 若分子、分母同乘以2sin20°， 結(jié)果會(huì)怎樣？學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)：分子中就會(huì)出現(xiàn)“鏈鎖反應(yīng)”，可反復(fù)逆用二倍角公式得到化簡(jiǎn).如此，另辟蹊徑，即得第四種新解.

解法四

原式=（2sin20°cos20°cos40°cos80°）/（2sin20°）

=（sin40°cos40°cos80°）/（2sin20°）

=（sin80°cos80°）/（4sin20°）

= （sin160°）/（8sin20°）

=（sin20°）/（8sin20°）=1/8.

4. 變題訓(xùn)練啟發(fā)創(chuàng)新

建構(gòu)觀和教學(xué)實(shí)踐告訴我們，變式訓(xùn)練是建構(gòu)和優(yōu)化學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，啟發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的有效手段.

變式1求值： cos（2π/7） cos（4π/7） cos（6π/7） （改變角的大?。?

析與解 先用π-α 誘導(dǎo)公式變形，然后湊用倍角公式.

原式=-cosπ17cos2π17cos4π17 （ 具備引例“三特征” ）

=-2sinπ17cosπ17cos2π17cos4π1712sinπ17

=-sin2π17cos2π17cos4π1712sinπ17

=118.

變式2求值： cos2π17+cos4π17+cos6π17 （改乘為加）.

教師巡視發(fā)現(xiàn)：絕大多數(shù)學(xué)生利用“遇和差化積”進(jìn)行變形，結(jié)果碰壁.想到同乘以2sin2π1712sin2π17進(jìn)行積化和差，結(jié)果再次碰壁.建構(gòu)主義提倡在教師指導(dǎo)下的、以學(xué)習(xí)者為中心的學(xué)習(xí)，也就是說，既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知主體作用，又不忽視教師的指導(dǎo)作用，教師是意義建構(gòu)的幫助者、促進(jìn)者，而不是知識(shí)的傳授者與灌輸者；學(xué)生是信息加工的主體、是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，而不是外部刺激的被動(dòng)接受者和被灌輸?shù)膶?duì)象.于是，此時(shí)老師點(diǎn)拔學(xué)生：再回頭觀察角的特征，發(fā)現(xiàn)角成等差排列，公差為2π17，原式乘上2sinπ1712sinπ17試試如何？結(jié)果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分子中利用積化和差公式進(jìn)行拆項(xiàng)后出現(xiàn)部分相消而得解.

解原式

= 2sinπ17（cos2π17+cos4π17+cos6π17）12sinπ17

=sin3π17-sinπ17+sin5π17-sin3π17+sinπ-sin5π1712sinπ17

=-sinπ1712sinπ17=-112.

5. 引導(dǎo)反思建立模型

皮亞杰認(rèn)為，學(xué)生是在與周圍環(huán)境相互作用的過程中，逐步建構(gòu)起關(guān)于外部世界的知識(shí)，從而使自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到發(fā)展.學(xué)生與環(huán)境的相互作用涉及兩個(gè)基本過程：“同化”與“順應(yīng)”.同化是指把外部環(huán)境中的有關(guān)信息吸收進(jìn)來(lái)并結(jié)合到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，即個(gè)體把外界刺激所提供的信息整合到自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)的過程；順應(yīng)是指外部環(huán)境發(fā)生變化，而原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無(wú)法同化新環(huán)境提供的信息時(shí)所引起的學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組與改造的過程，即個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因外部刺激的影響而發(fā)生改變的過程.可見，同化是認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)量的擴(kuò)充，而順應(yīng)則是認(rèn)知結(jié)構(gòu)性質(zhì)的改變.學(xué)生就是通過同化與順應(yīng)這兩種形式來(lái)達(dá)到與周圍環(huán)境的平衡：當(dāng)學(xué)生能用現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化新信息時(shí)，他是處于一種平衡的認(rèn)知狀態(tài)；而當(dāng)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化新信息時(shí)，平衡即被破壞，而修改或創(chuàng)造新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程就是尋找新的平衡的過程.學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是通過同化與順應(yīng)過程逐步建構(gòu)起來(lái)，并在“平衡——不平衡——新的平衡”的循環(huán)中得到不斷的豐富、提高和發(fā)展.

因此， 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不總是“做”出來(lái)的，不管教師設(shè)計(jì)多么好的活動(dòng)，學(xué)習(xí)者“只有通過自己的理解力時(shí)，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)”.新的數(shù)學(xué)觀念形成后，學(xué)習(xí)者就會(huì)試圖用新的觀念去重新認(rèn)識(shí)已經(jīng)積累起來(lái)的解題技巧、方法和規(guī)律，把它納入剛剛建立起來(lái)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).這是一個(gè)反思的過程.

反思學(xué)習(xí)是智能發(fā)展的高層次表現(xiàn).反思通俗地說就是指在完成一項(xiàng)任務(wù)后，回顧一下自己的智能活動(dòng)過程，想一想自己的發(fā)現(xiàn)過程、解題過程，有何經(jīng)驗(yàn)，有何教訓(xùn)，及時(shí)總結(jié)最佳學(xué)習(xí)策略.“反思”是建構(gòu)學(xué)說在教學(xué)實(shí)踐中的主要體現(xiàn)，它是對(duì)主體建構(gòu)活動(dòng)的再建構(gòu)，即二重建構(gòu)，唯有反思才能控制思維操作，才能促進(jìn)理解，提高自己的元認(rèn)知能力，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成和發(fā)展，更好的進(jìn)行建構(gòu)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)良好的循環(huán).

為此，教師提問：從以上解題中你能否得出一般性的規(guī)律呢？引導(dǎo)學(xué)生通過反思可以得到如下模型及解法：

（1） 一般地，凡可轉(zhuǎn)化成 cosα·cos 2α· cos4α·…· cos2n-1α（n∈N*） 型的題目，可嘗試乘上2sinα12sinα，再反復(fù)逆用二倍角公式來(lái)解決.

解cosα·cos 2α· cos4α·…· cos2n-1α

=2sinα·cosα·cos2α·cos4α·…·cos2n-1α12sinα

=sin2α·cos2α·cos4α·…·cos2n-1α12sinα

=sin4α·cos4α·…·cos2n-1α12·2sinα=…=sin2nα12nsinα

（2）一般地，凡可轉(zhuǎn)化成cosα+cos2α+cos3α+ … +cos （nα） （n∈N*）這種形式的題目，可先乘以2sinα1212sinα12，再利用積化和差公式拆項(xiàng)相消而得解.

解cosα+cos 2α+ cos3α+ … + cos （nα）

=112sinα12 [2sinα12cosα+2sinα12cos2α+…

+2sinα12cos（nα）]

=112sinα12[（sin3α12-sinα12）+（sin5α12-sin3α12）+…

+（sin（2n+1）α12-sin（2n-1）α12）]

=112sinα12[sin（2n+1）α12-sinα12]

=cosn+112α·sinn12α1sinα12.

至此，學(xué)生不但進(jìn)一步理解所學(xué)內(nèi)容及其內(nèi)在之間的聯(lián)系，而且經(jīng)歷了一次“再創(chuàng)造”的思維過程，充分領(lǐng)略到流暢的數(shù)學(xué)思維所帶來(lái)的精神享受，更是讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)自我，培養(yǎng)自信、堅(jiān)強(qiáng)、忍耐的品質(zhì)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).