2013年江蘇高考填空題14題再探

葛艷　王雷

題目（2013年高考14題）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=112，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…，an的最大正整數(shù)n的值為 .

不等式a1+a2+…+an>a1a2…an對n=1不成立，則驗(yàn)證n=2，a1+a2=3132，a1a2=1132·1116顯然滿足不等式，寫一個就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)an<1時，隨著n的增大，乘積減小，由此看出，當(dāng)n≥7時，a1a2…an隨著n值的增大而增大，而n=11時，a1a2…a11=1，而左邊的和a1+a2+…+an比1大，所以看出，當(dāng) 2≤n≤11時不等式都是成立的，故只要從n=12開始驗(yàn)證.

n=12時，a1+a2+…+a12=1132（212-1），a1a2…a12=64=26，即比較212-1與211的大小關(guān)系，不難有212-1>211。

n=13時，a1+a2+…+a13=1132（213-1），a1a2…a13=64·128=213，即比較213-1與218的大小關(guān)系，顯然， 1132（213-1）<213.

當(dāng)n的值繼續(xù)變大時，乘積的遞增速度要比和的遞增速度快，則n≥13時不存在正整數(shù)使得不等式成立，故認(rèn)為答案為12.

筆者高度贊賞了那些在2013高考考場上成功攻克14題的學(xué)生，同時也進(jìn)行了反思，如果給定的數(shù)列在13項(xiàng)以后仍然出現(xiàn)一個或多個滿足不等式的n值怎么辦？或者怎么說明當(dāng)n∈[13，+∞）且n∈N*時，a1+a2+…+an≤a1a2…an恒成立？故將那些學(xué)生組織起來開展討論，找出猜的過程中需要嚴(yán)密邏輯推理的部分，并思考怎么解決.

解由數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a5=112，a6+a7=3，

得首項(xiàng)a1=1132，q=2，則a1+a2+…+an>a1a2…an

即為a1（1-qn）11-q>an1q1+2+…+（n-1），

所以2n-1132>2-5n·2n（n-1）12，

則2n-1>2n212-1112n+5. ①

其實(shí)問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為研究使得上述①式成立的最大正整數(shù)n，那么如何突破呢？同學(xué)們七嘴八舌地討論起來了，認(rèn)真分析經(jīng)過高三一年在他們腦中構(gòu)建的知識系統(tǒng)，突然一位學(xué)生甲自言自語地說：要是兩邊都是以2為底的指數(shù)就好了，簡直一語驚醒夢中人，學(xué)生乙：可以根據(jù)2n>2n-1將不等式左邊適當(dāng)放大，所以有了下面的放縮法：

先由不等式 2n>2n212-1112n+5得n2-13n+10<0，

從而解得13-12912

又因?yàn)閚為正整數(shù)，n∈{1，2，…，11，12}，由于前面對原不等式進(jìn)行了放縮處理，故只要驗(yàn)n=12，2n212-1112n+5=211<212-1，所以滿足條件的最大正整數(shù)n的值為12.

討論依然在激烈地進(jìn)行中，學(xué)生丙：想要避開指數(shù)解決問題，可以對不等式兩邊取以2為底的對數(shù).故筆者沿著他的思路嘗試如下：

兩邊取以2為底的對數(shù)得log2（2n-1）>log22n212-1112n+5=n212-1112n+5=（n-1）（n-10）12，

易知，當(dāng)2≤n≤10，且n∈N+，上述不等式顯然成立.

筆者：問題轉(zhuǎn)化得非常漂亮，那么當(dāng)n∈[11，+∞）且n∈N*時，不等式成立的最大正整數(shù)又該如何確定呢？從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為尋找正整數(shù)使得不等式log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12>0成立.

學(xué)生?。嚎梢詷?gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12，

f ′（x）=11（2x-1）ln2·2xln2-x+1112=112x-1-x+1312，

在x∈[11，+∞）時，f ′（x）單調(diào)遞減，所以

f ′（x）≤f ′（11）=11211-1-912<0，x∈[11，+∞），

所以，x∈[11，+∞）時，f（x）單調(diào)遞減.

f（11）=log2（211-1）-5=log2211-1125>0.

f（12）=log2（212-1）-11）=log2212-11211>0，

f（13）=log2（213-1）-18=log2213-11218<0，

即x≥13時，f（x）<0，所以，滿足本題條件的n為12.

通過大家思維的碰撞，擦出耀眼的火花.從對題目的迷惘，到清晰地突破解題過程中的一個一個難點(diǎn)，從對自己猜出的答案的懷疑，到利用嚴(yán)密的邏輯推理來肯定自己，我和學(xué)生們都樂在其中，從而不得不感慨：教學(xué)相長，樂在其中.O點(diǎn)102（2+2） km處，能使|AB|最短，最短距離為20（2+1）km.

正余弦定理的運(yùn)用要求學(xué)生對公式能夠很好地理解和掌握，對公式的變形各種變形也要熟練，要能夠根據(jù)已知條件選用恰當(dāng)?shù)墓届`活解題.平常的練習(xí)中要多觀察多總結(jié)，形成一定的方法，做到能夠舉一反三，才能更好地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行解題.

題目（2013年高考14題）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=112，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…，an的最大正整數(shù)n的值為 .

不等式a1+a2+…+an>a1a2…an對n=1不成立，則驗(yàn)證n=2，a1+a2=3132，a1a2=1132·1116顯然滿足不等式，寫一個就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)an<1時，隨著n的增大，乘積減小，由此看出，當(dāng)n≥7時，a1a2…an隨著n值的增大而增大，而n=11時，a1a2…a11=1，而左邊的和a1+a2+…+an比1大，所以看出，當(dāng) 2≤n≤11時不等式都是成立的，故只要從n=12開始驗(yàn)證.

n=12時，a1+a2+…+a12=1132（212-1），a1a2…a12=64=26，即比較212-1與211的大小關(guān)系，不難有212-1>211。

n=13時，a1+a2+…+a13=1132（213-1），a1a2…a13=64·128=213，即比較213-1與218的大小關(guān)系，顯然， 1132（213-1）<213.

當(dāng)n的值繼續(xù)變大時，乘積的遞增速度要比和的遞增速度快，則n≥13時不存在正整數(shù)使得不等式成立，故認(rèn)為答案為12.

筆者高度贊賞了那些在2013高考考場上成功攻克14題的學(xué)生，同時也進(jìn)行了反思，如果給定的數(shù)列在13項(xiàng)以后仍然出現(xiàn)一個或多個滿足不等式的n值怎么辦？或者怎么說明當(dāng)n∈[13，+∞）且n∈N*時，a1+a2+…+an≤a1a2…an恒成立？故將那些學(xué)生組織起來開展討論，找出猜的過程中需要嚴(yán)密邏輯推理的部分，并思考怎么解決.

解由數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a5=112，a6+a7=3，

得首項(xiàng)a1=1132，q=2，則a1+a2+…+an>a1a2…an

即為a1（1-qn）11-q>an1q1+2+…+（n-1），

所以2n-1132>2-5n·2n（n-1）12，

則2n-1>2n212-1112n+5. ①

其實(shí)問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為研究使得上述①式成立的最大正整數(shù)n，那么如何突破呢？同學(xué)們七嘴八舌地討論起來了，認(rèn)真分析經(jīng)過高三一年在他們腦中構(gòu)建的知識系統(tǒng)，突然一位學(xué)生甲自言自語地說：要是兩邊都是以2為底的指數(shù)就好了，簡直一語驚醒夢中人，學(xué)生乙：可以根據(jù)2n>2n-1將不等式左邊適當(dāng)放大，所以有了下面的放縮法：

先由不等式 2n>2n212-1112n+5得n2-13n+10<0，

從而解得13-12912

又因?yàn)閚為正整數(shù)，n∈{1，2，…，11，12}，由于前面對原不等式進(jìn)行了放縮處理，故只要驗(yàn)n=12，2n212-1112n+5=211<212-1，所以滿足條件的最大正整數(shù)n的值為12.

討論依然在激烈地進(jìn)行中，學(xué)生丙：想要避開指數(shù)解決問題，可以對不等式兩邊取以2為底的對數(shù).故筆者沿著他的思路嘗試如下：

兩邊取以2為底的對數(shù)得log2（2n-1）>log22n212-1112n+5=n212-1112n+5=（n-1）（n-10）12，

易知，當(dāng)2≤n≤10，且n∈N+，上述不等式顯然成立.

筆者：問題轉(zhuǎn)化得非常漂亮，那么當(dāng)n∈[11，+∞）且n∈N*時，不等式成立的最大正整數(shù)又該如何確定呢？從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為尋找正整數(shù)使得不等式log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12>0成立.

學(xué)生丁：可以構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12，

f ′（x）=11（2x-1）ln2·2xln2-x+1112=112x-1-x+1312，

在x∈[11，+∞）時，f ′（x）單調(diào)遞減，所以

f ′（x）≤f ′（11）=11211-1-912<0，x∈[11，+∞），

所以，x∈[11，+∞）時，f（x）單調(diào)遞減.

f（11）=log2（211-1）-5=log2211-1125>0.

f（12）=log2（212-1）-11）=log2212-11211>0，

f（13）=log2（213-1）-18=log2213-11218<0，

即x≥13時，f（x）<0，所以，滿足本題條件的n為12.

通過大家思維的碰撞，擦出耀眼的火花.從對題目的迷惘，到清晰地突破解題過程中的一個一個難點(diǎn)，從對自己猜出的答案的懷疑，到利用嚴(yán)密的邏輯推理來肯定自己，我和學(xué)生們都樂在其中，從而不得不感慨：教學(xué)相長，樂在其中.O點(diǎn)102（2+2） km處，能使|AB|最短，最短距離為20（2+1）km.

正余弦定理的運(yùn)用要求學(xué)生對公式能夠很好地理解和掌握，對公式的變形各種變形也要熟練，要能夠根據(jù)已知條件選用恰當(dāng)?shù)墓届`活解題.平常的練習(xí)中要多觀察多總結(jié)，形成一定的方法，做到能夠舉一反三，才能更好地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行解題.

題目（2013年高考14題）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=112，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…，an的最大正整數(shù)n的值為 .

不等式a1+a2+…+an>a1a2…an對n=1不成立，則驗(yàn)證n=2，a1+a2=3132，a1a2=1132·1116顯然滿足不等式，寫一個就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)an<1時，隨著n的增大，乘積減小，由此看出，當(dāng)n≥7時，a1a2…an隨著n值的增大而增大，而n=11時，a1a2…a11=1，而左邊的和a1+a2+…+an比1大，所以看出，當(dāng) 2≤n≤11時不等式都是成立的，故只要從n=12開始驗(yàn)證.

n=12時，a1+a2+…+a12=1132（212-1），a1a2…a12=64=26，即比較212-1與211的大小關(guān)系，不難有212-1>211。

n=13時，a1+a2+…+a13=1132（213-1），a1a2…a13=64·128=213，即比較213-1與218的大小關(guān)系，顯然， 1132（213-1）<213.

當(dāng)n的值繼續(xù)變大時，乘積的遞增速度要比和的遞增速度快，則n≥13時不存在正整數(shù)使得不等式成立，故認(rèn)為答案為12.

筆者高度贊賞了那些在2013高考考場上成功攻克14題的學(xué)生，同時也進(jìn)行了反思，如果給定的數(shù)列在13項(xiàng)以后仍然出現(xiàn)一個或多個滿足不等式的n值怎么辦？或者怎么說明當(dāng)n∈[13，+∞）且n∈N*時，a1+a2+…+an≤a1a2…an恒成立？故將那些學(xué)生組織起來開展討論，找出猜的過程中需要嚴(yán)密邏輯推理的部分，并思考怎么解決.

解由數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a5=112，a6+a7=3，

得首項(xiàng)a1=1132，q=2，則a1+a2+…+an>a1a2…an

即為a1（1-qn）11-q>an1q1+2+…+（n-1），

所以2n-1132>2-5n·2n（n-1）12，

則2n-1>2n212-1112n+5. ①

其實(shí)問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為研究使得上述①式成立的最大正整數(shù)n，那么如何突破呢？同學(xué)們七嘴八舌地討論起來了，認(rèn)真分析經(jīng)過高三一年在他們腦中構(gòu)建的知識系統(tǒng)，突然一位學(xué)生甲自言自語地說：要是兩邊都是以2為底的指數(shù)就好了，簡直一語驚醒夢中人，學(xué)生乙：可以根據(jù)2n>2n-1將不等式左邊適當(dāng)放大，所以有了下面的放縮法：

先由不等式 2n>2n212-1112n+5得n2-13n+10<0，

從而解得13-12912

又因?yàn)閚為正整數(shù)，n∈{1，2，…，11，12}，由于前面對原不等式進(jìn)行了放縮處理，故只要驗(yàn)n=12，2n212-1112n+5=211<212-1，所以滿足條件的最大正整數(shù)n的值為12.

討論依然在激烈地進(jìn)行中，學(xué)生丙：想要避開指數(shù)解決問題，可以對不等式兩邊取以2為底的對數(shù).故筆者沿著他的思路嘗試如下：

兩邊取以2為底的對數(shù)得log2（2n-1）>log22n212-1112n+5=n212-1112n+5=（n-1）（n-10）12，

易知，當(dāng)2≤n≤10，且n∈N+，上述不等式顯然成立.

筆者：問題轉(zhuǎn)化得非常漂亮，那么當(dāng)n∈[11，+∞）且n∈N*時，不等式成立的最大正整數(shù)又該如何確定呢？從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為尋找正整數(shù)使得不等式log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12>0成立.

學(xué)生丁：可以構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=log2（2x-1）-（x-1）（x-10）12，

f ′（x）=11（2x-1）ln2·2xln2-x+1112=112x-1-x+1312，

在x∈[11，+∞）時，f ′（x）單調(diào)遞減，所以

f ′（x）≤f ′（11）=11211-1-912<0，x∈[11，+∞），

所以，x∈[11，+∞）時，f（x）單調(diào)遞減.

f（11）=log2（211-1）-5=log2211-1125>0.

f（12）=log2（212-1）-11）=log2212-11211>0，

f（13）=log2（213-1）-18=log2213-11218<0，

即x≥13時，f（x）<0，所以，滿足本題條件的n為12.

通過大家思維的碰撞，擦出耀眼的火花.從對題目的迷惘，到清晰地突破解題過程中的一個一個難點(diǎn)，從對自己猜出的答案的懷疑，到利用嚴(yán)密的邏輯推理來肯定自己，我和學(xué)生們都樂在其中，從而不得不感慨：教學(xué)相長，樂在其中.O點(diǎn)102（2+2） km處，能使|AB|最短，最短距離為20（2+1）km.

正余弦定理的運(yùn)用要求學(xué)生對公式能夠很好地理解和掌握，對公式的變形各種變形也要熟練，要能夠根據(jù)已知條件選用恰當(dāng)?shù)墓届`活解題.平常的練習(xí)中要多觀察多總結(jié)，形成一定的方法，做到能夠舉一反三，才能更好地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行解題.