以量子圍欄中的單粒子為工質(zhì)的量子卡諾循環(huán)

文 軍

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院,陜西渭南 714099)

【物理與電氣工程研究】

以量子圍欄中的單粒子為工質(zhì)的量子卡諾循環(huán)

文 軍

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院,陜西渭南 714099)

構(gòu)造了以量子圍欄中的單粒子為工作物質(zhì)的量子卡諾循環(huán)模型,量子圍欄的哈密頓量期望值相當(dāng)于經(jīng)典卡諾循環(huán)中熱源的溫度,該量子卡諾循環(huán)由兩個(gè)等能(等溫)過(guò)程和兩個(gè)絕熱過(guò)程組成.分析得到,量子圍欄卡諾循環(huán)的等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程與經(jīng)典卡諾循環(huán)的等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程相似,推得量子卡諾循環(huán)的效率表示式,該表示式與經(jīng)典可逆卡諾循環(huán)效率的表示式類(lèi)似.

卡諾循環(huán);量子圍欄;循環(huán)效率

以理想玻色氣體、理想費(fèi)米氣體、自旋1/2系統(tǒng)、諧振子系統(tǒng)、勢(shì)阱中的微觀粒子等為工作物質(zhì)的循環(huán)系統(tǒng)稱(chēng)為量子熱力學(xué)循環(huán).量子熱力學(xué)循環(huán)的分析已經(jīng)成為熱力學(xué)、工程熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、量子物理和激光等領(lǐng)域研究的課題之一[1-4].Bender等人[5]提出了以處在一維無(wú)限深勢(shì)阱中單粒子為工作物質(zhì)的二能級(jí)熱機(jī),當(dāng)勢(shì)阱壁緩慢移動(dòng)時(shí),熱機(jī)經(jīng)歷了兩個(gè)等系統(tǒng)能量(量子“等溫”)過(guò)程和兩個(gè)量子絕熱過(guò)程,而構(gòu)成一循環(huán)并且對(duì)外輸出功,同時(shí)得到了該量子熱機(jī)的卡諾效率.何濟(jì)洲等人分析了以一維無(wú)限深勢(shì)阱中極端相對(duì)論粒子為工質(zhì)的卡諾循環(huán)和一維諧振子勢(shì)阱中單粒子為工作物質(zhì)的量子熱機(jī)性能[6-8].本文根據(jù)量子力學(xué)基本原理,構(gòu)造了以量子圍欄中的單粒子為工作物質(zhì)的二能級(jí)量子卡諾循環(huán)模型,量子圍欄就相當(dāng)于經(jīng)典卡諾循環(huán)的活塞壁,量子圍欄的變化相當(dāng)于活塞的移動(dòng),用系統(tǒng)哈密頓量期望值代替經(jīng)典熱力學(xué)中的溫度,這樣即存在可逆“等溫”過(guò)程和絕熱過(guò)程.通過(guò)計(jì)算得到了與經(jīng)典可逆卡諾熱機(jī)循環(huán)效率類(lèi)似的量子卡諾循環(huán)效率表示式.

1 經(jīng)典卡諾循環(huán)

經(jīng)典卡諾循環(huán)是由兩個(gè)絕熱過(guò)程和兩個(gè)等溫過(guò)程組成的循環(huán)過(guò)程.在經(jīng)典卡諾循環(huán)中,系統(tǒng)從高溫?zé)嵩次諢崃縌H,對(duì)外做功W,循環(huán)效率為

用TH和Tc分別表示高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩吹臏囟?卡諾循環(huán)的效率也可表示為

經(jīng)典卡諾循環(huán)中以理想氣體為工作物質(zhì),理想氣體的狀態(tài)方程為

其中：P是理想氣體壓強(qiáng),V是理想氣體體積,N是理想氣體分子數(shù),k是玻爾茲曼常數(shù).

等溫過(guò)程中,系統(tǒng)和熱源始終保持接觸,系統(tǒng)的溫度不變.故等溫過(guò)程中,理想氣體遵循

其中：C1是常數(shù).對(duì)于工作物質(zhì)為一維單原子理想氣體的卡諾循環(huán),氣體的內(nèi)能滿足

在等溫過(guò)程中,系統(tǒng)的內(nèi)能始終保持不變.

絕熱膨脹過(guò)程中,氣體和外界無(wú)熱量交換.因此,活塞移動(dòng)(氣體的體積改變,但系統(tǒng)始終保持平衡),氣體對(duì)外界做功,氣體的內(nèi)能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能.系統(tǒng)對(duì)外界所做的元功為

根據(jù)熱力學(xué)第一定律,在絕熱過(guò)程中

由(3)(5)(7)等式得到絕熱過(guò)程的狀態(tài)方程中滿足

其中：C2為常數(shù).

2 量子圍欄卡諾循環(huán)

2.1 量子圍欄的波函數(shù)和能級(jí)

被禁固在量子圍欄中的單粒子受到的束縛勢(shì)表示為

其中：a是量子圍欄的半徑,設(shè)單粒子的有效質(zhì)量為m*,則單粒子運(yùn)動(dòng)的Schr?dinger方程為

由于粒子限制在量子圍欄中,在r≥a的區(qū)域沒(méi)有粒子,有ψ=0.在0≤r≤a區(qū)域,有

其中：

波函數(shù)設(shè)為

代入(11)式中,分離變量得到

方程(15)的符合物理?xiàng)l件的解為

其中：A為待定常數(shù).方程(14)式是關(guān)于r的Bessel方程,其通解是第1類(lèi)Bessel函數(shù)Jm(αr)和第2類(lèi)Bessel函數(shù)Ym(αr),即

第2類(lèi)Bessel函數(shù)在r→0時(shí)發(fā)散,根據(jù)波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,當(dāng)r→0時(shí),R(r)有限.因而上式中D=0,則

其中：N是歸一化常數(shù),由歸一化條件決定,即

代入(18)式,得到體系波函數(shù)

能級(jí)

量子圍欄中系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù)表示為

其中：bn滿足

量子圍欄系統(tǒng)的哈密頓的期望值為

2.2 量子圍欄的卡諾循環(huán)

假設(shè)量子圍欄像經(jīng)典卡諾循環(huán)中活塞一樣能夠移動(dòng),當(dāng)圍欄半徑a變化無(wú)限小量da時(shí),系統(tǒng)的波函數(shù)、本征值和能級(jí)都會(huì)隨之發(fā)生無(wú)限小變化.因此,定義作用在量子圍欄上的力

把(22)式代入(25)式,得

在量子圍欄等溫過(guò)程中,由于圍欄移動(dòng),圍欄大小隨著變化,但系統(tǒng)哈密頓期望值保持不變,這類(lèi)似于經(jīng)典等溫過(guò)程.經(jīng)典等溫過(guò)程中系統(tǒng)始終和熱源保持熱接觸,而量子等溫過(guò)程可以認(rèn)為系統(tǒng)和外界通過(guò)輸入或輸出能量的方式來(lái)實(shí)現(xiàn).系數(shù)|bn|2,即量子圍欄系統(tǒng)處于各種不同量子態(tài)的幾率必須在此過(guò)程中變化使系統(tǒng)能量的平均值恒定,但必須滿足(24)式的歸一化條件.

在量子絕熱過(guò)程中,量子圍欄移動(dòng),圍欄大小改變.但絕熱過(guò)程系統(tǒng)一直保持平衡,因此系數(shù)|bn|2必須保持不變,系統(tǒng)處于各量子態(tài)的幾率不變,也就是絕熱過(guò)程中系統(tǒng)所處的量子態(tài)保持不變.根據(jù)關(guān)系(22)和(25)兩式,在絕熱膨脹(壓縮)過(guò)程中,隨著量子圍欄半徑a增大(減小),能量的本征值減小(增大).因此,系統(tǒng)能量的平均值減小(增大).

圖1表示只有兩個(gè)本征態(tài)(二能級(jí)系統(tǒng))組成的量子圍欄卡諾循環(huán)系統(tǒng),在1→2→3→4→1的循環(huán)中,各個(gè)過(guò)程的分界點(diǎn)分別為1,2,3和4,各分界點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的量子圍欄的特征半徑分別為a1,a2,a3和a4.整個(gè)循環(huán)包括2→3與4→1兩個(gè)絕熱過(guò)程和1→2與3→4兩個(gè)等溫過(guò)程.

3 量子圍欄卡諾循環(huán)分析

圖1 量子卡諾循環(huán)示意圖

(1)假設(shè)量子圍欄等溫膨脹,系統(tǒng)的哈密頓量期望值保持不變,系統(tǒng)狀態(tài)由基態(tài)a1處經(jīng)過(guò)1→2等溫膨脹到第一激發(fā)態(tài)a2,系統(tǒng)能量平均值為Eh.這時(shí)量子圍欄的狀態(tài)是最低兩個(gè)能量本征態(tài)的線性疊加,即

在循環(huán)起始系統(tǒng)處于基態(tài),則

1→2等溫過(guò)程中,系統(tǒng)哈密頓量期望值恒定不變.根據(jù)(24)式,有|b1|2+|b2|2=1,則

由(29)(30)兩式得

當(dāng)b1=0,b2=1時(shí),量子圍欄達(dá)到特征半徑a2=λa1處,這時(shí)粒子處于激發(fā)態(tài).量子圍欄受到的作用力為

由此可知,量子圍欄在等溫過(guò)程中滿足

其中：C憶1為常數(shù).

(2)絕熱膨脹2→3過(guò)程中,系統(tǒng)一直處于第1激發(fā)態(tài),量子圍欄特征半徑由a=a2絕熱膨脹到a=a3,根據(jù)熱力學(xué)第一定律得到

其中：El表示3→4等溫過(guò)程中系統(tǒng)的哈密頓量期望值.

(3)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)3→4等溫壓縮,量子圍欄由a=a3等溫壓縮至a=a4,這時(shí)系統(tǒng)要釋放能量以保持哈密頓值不變,這個(gè)過(guò)程使系統(tǒng)由第1激發(fā)態(tài)回到了基態(tài).同理可知量子圍欄特征半徑a4=λ-1a3,這時(shí)在低溫壓縮中哈密頓期望值El表示為

同理,量子圍欄受到的作用力為

同理,3→4等溫壓縮過(guò)程滿足

其中：C憶2為常數(shù).(33)(37)兩式和經(jīng)典卡諾循環(huán)中等溫關(guān)系(4)相似.

(4)絕熱壓縮4→1過(guò)程中,量子圍欄由a=a4回到起點(diǎn)a=a1.這個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外作功W41等于系統(tǒng)內(nèi)能的改變,即

考慮熱機(jī)輸出功率W=W12+W23+W34+W41,根據(jù)(32)(34)(36)(38)等式得到量子圍欄卡諾循環(huán)的輸出功率

在等溫膨脹過(guò)程中系統(tǒng)從外界吸收的熱量

循環(huán)效率

根據(jù)(29)式和(35)式,量子圍欄效率亦可表示為

上式即是量子圍欄卡諾循環(huán)效率公式,它與經(jīng)典卡諾循環(huán)效率公式類(lèi)似.

4 結(jié)語(yǔ)

文中討論了以量子圍欄中的單粒子為工作物質(zhì)的量子卡諾循環(huán)的效率.量子圍欄系統(tǒng)中的哈密頓量期望值相當(dāng)于經(jīng)典卡諾循環(huán)中熱源的溫度,分析了量子圍欄卡諾循環(huán)的等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程,得到了與經(jīng)典卡諾循環(huán)相似的卡諾循環(huán)效率的表示式.在經(jīng)典卡諾循環(huán)中,氣體的膨脹過(guò)程和壓縮過(guò)程必須是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,活塞的移動(dòng)無(wú)限緩慢,循環(huán)周期無(wú)窮大.因此經(jīng)典卡諾循環(huán)是一種理想模型.而量子卡諾循環(huán)在宏觀任意有限時(shí)間內(nèi)都存在可逆性.

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【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Analysis of a Quantum Carnot Cycle on Working with Single Particle in Quantum Corral

WEN Jun
(School of Physics and Electrical Engineering,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

The classical Carnot cycle is composed of two adiabatic processes and two isothermal processes.The classical reversible Carnot cycle can achieve the maximum efficiency.In this paper,the quantum Carnot cycle model is developed based on the single particle in quantum corral as the working material.The expectation value of Hamiltonian in quantum corral is analogous to the heat source temperature of classical Carnot cycle.This quantum Carnot cycle is composed of two equal-energy(isothermal)processes and two adiabatic processes.It is shown that the adiabatic and isothermal processes in quantum Carnot cycle are similar to those in classical one.The efficiency expression of quantum Carnot cycle can be figured out,which is similar to that in classical reversible Carnot cycle.

Carnot cycle;quantum corral;cycle efficiency

O413.1

A

1009-5128(2014)15-0013-05

2014-06-20

文軍(1962—),男,陜西銅川人,渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院教授,理學(xué)碩士,主要從事拉曼光譜和物理教學(xué)研究.