導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題研究

黃濤

（宜城市第一高級(jí)中學(xué) 湖北襄陽(yáng) 441400）

曹立鋒

（宜城市第三高級(jí)中學(xué) 湖北襄陽(yáng) 441400）

導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題研究

黃濤

（宜城市第一高級(jí)中學(xué) 湖北襄陽(yáng) 441400）

曹立鋒

（宜城市第三高級(jí)中學(xué) 湖北襄陽(yáng) 441400）

用經(jīng)典物理的方法研究了導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，并用MathCAD2001軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬．

導(dǎo)體 磁場(chǎng) 轉(zhuǎn)動(dòng) 求解數(shù)值 模擬

1 題目

如圖1所示，一半徑為R的半圓形光滑軌道豎直放置（導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)），以過(guò)最低點(diǎn)的向右切線為x軸，以豎直向上為y軸建立平面直角坐標(biāo)系x Oy．在y＞0范圍內(nèi)存在一垂直紙面向里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與坐標(biāo)值y成正比，即B＝ky（k＞0）．在半圓形軌道上有一根導(dǎo)體棒質(zhì)量為m，電阻為r，導(dǎo)體棒所對(duì)的圓心角為α，導(dǎo)體棒左端與軌道的左端最高點(diǎn)對(duì)齊．當(dāng)把導(dǎo)體棒由靜止釋放時(shí)，試分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

圖1

2 規(guī)律分析

2．1 導(dǎo)體棒的動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)某一時(shí)刻導(dǎo)體棒的A點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)θ角，此時(shí)導(dǎo)體棒的角速度為ω＝，固定轉(zhuǎn)軸的剛體的動(dòng)力學(xué)方程［1］

式（1）中I為導(dǎo)體棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，α為導(dǎo)體棒所對(duì)的圓心角，L為導(dǎo)體棒中心到O′的距離為導(dǎo)體棒角加速度，M安為導(dǎo)體棒的安培力矩．

2．2 導(dǎo)體棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［1］

2．3 導(dǎo)體棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)［2］

以棒的中點(diǎn)為界，下半部分與上半部分的切割速度方向相反，導(dǎo)體棒在圖示位置時(shí)，設(shè)質(zhì)心的角速度為ω＝θ·，導(dǎo)體棒各點(diǎn)的速度在沿棒方向上的分量均為L(zhǎng)θ·，導(dǎo)體棒上的D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

根據(jù)對(duì)稱性可知導(dǎo)體棒的上半部分對(duì)應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)為

2．4 安培力的合力矩

安培力的合力矩的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较蚺c重力的力矩方向相反，所以導(dǎo)體棒的動(dòng)力學(xué)方程為

由于導(dǎo)體棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

可得導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的微分方程

式中的兩個(gè)定積分可以查表［3］求出．

2．5 用MathCAD2001數(shù)值模擬

圖2 轉(zhuǎn)過(guò)的角度與時(shí)間關(guān)系圖

圖3 感應(yīng)電流與轉(zhuǎn)過(guò)的角度的關(guān)系

圖4 導(dǎo)體棒的角速度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度的關(guān)系

圖5 感應(yīng)電流與時(shí)間的關(guān)系圖

3 圖像分析

由圖2和圖5可知導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)為阻尼振動(dòng)，因?yàn)閷?dǎo)體棒減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，所以它轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度在減小，最后會(huì)停止在圓軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)角度為60°；由圖3可知導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，感應(yīng)電流先增大后減小，再向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中感應(yīng)電流反向先增大后減小，以后周而復(fù)始但最大電流在減?。挥蓤D4可知導(dǎo)體棒在下降的過(guò)程中角速度先增大后減小，以后周而復(fù)始但最大角速度在減?。?/p>

1 周衍伯．理論力學(xué)教程（第二版）．北京：高等教育出版社，1997．186～188，173～175

2 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)（下冊(cè)）（第二版）．北京：高等教育出版社，1997．479～485

3 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)（物理類(lèi)專(zhuān)業(yè)用第三版第一冊(cè)）．北京：高等教育出版社，1997．372～373

2014- 05- 05）