正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示及應(yīng)用*

王瑋 孫家法

（淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽淮北 235000）

正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示及應(yīng)用*

王瑋 孫家法

（淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽淮北 235000）

類比余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示表示法，本文給出了正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示，并將其應(yīng)用到簡諧振動問題中，得到與采用余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示時一致的結(jié)果．這一旋轉(zhuǎn)矢量圖示在簡諧振動中應(yīng)用的新思路，在大學(xué)物理教學(xué)中具有較好的實用價值．

旋轉(zhuǎn)矢量圖示 簡諧振動 正弦函數(shù)

物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的規(guī)律隨時間變化，這種運動稱為簡諧振動［1］．而為了形象地描述簡諧振動，充分利用勻速圓周運動是周期性運動的特性，常采用旋轉(zhuǎn)矢量圖示來解決簡諧振動問題［1，2］．按照簡諧振動的定義，簡諧振動的運動學(xué)方程可以用余弦或正弦函數(shù)來表示，但是在利用旋轉(zhuǎn)矢量圖示解決簡諧振動問題時通常選用簡諧振動的余弦函數(shù)形式，即通常運用余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示處理問題［3～8］．即便是有少數(shù)學(xué)生想到了簡諧振動還具有正弦函數(shù)形式，卻由于對旋轉(zhuǎn)矢量圖示法的片面理解而不能給出正確的旋轉(zhuǎn)矢量圖示．因此，本文在充分理解旋轉(zhuǎn)矢量圖示中心思想的基礎(chǔ)上，從余弦與正弦簡諧振動的定義入手，類比余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示表示法，給出正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示，并利用該種圖示處理一個具體的簡諧振動問題，得到與采用余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示時一致的結(jié)果．

1 余弦與正弦簡諧振動

以水平放置的彈簧振子為例給出簡諧振動的兩種函數(shù)形式．假設(shè)該彈簧振子由質(zhì)量為m的物體系于一端固定的不計質(zhì)量的輕彈簧組成．當彈簧為原長時，物體處于平衡位置，取該平衡位置為坐標原點，并假設(shè)物體沿Ox軸（向右為正向）做簡諧振動，其表達式可以寫為余弦函數(shù)

其中x是物體相對于平衡位置的位移，A為振幅，ω為振動的角頻率，φ0為初相位．因為

則簡諧振動的表達式也可以寫為正弦函數(shù)

以上兩種函數(shù)形式的簡諧振動分別稱為余弦簡諧振動和正弦簡諧振動．

2 正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示

在給出正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示之前，先回顧一下余弦簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量圖示的表示法，如圖1所示．圖1中，在平面直角坐標系x Oy中作一個矢量，矢量的長度等于振幅A，以數(shù)值等于角頻率ω的角速度在該平面內(nèi)繞原點O做逆時針方向的勻速轉(zhuǎn)動，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量．設(shè)t＝0時，旋轉(zhuǎn)矢量與Ox軸之間的夾角等于簡諧振動的初相位φ0（此時M點位于M0位置，在Ox軸上的投影點為P）．經(jīng)過時間t轉(zhuǎn)過角度ωt，與Ox軸之間

0的夾角變?yōu)椋é豻＋φ0），等于簡諧振動在該時刻的相位，這時矢量的末端點M在Ox軸上的投影點P的位移正好滿足余弦函數(shù)x＝A cos（ωt＋φ0）［1］．所以，余弦簡諧振動對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)矢量的末端點M在直角坐標系Ox軸上投影點的運動．

圖1 同一旋轉(zhuǎn)矢量描述的余弦與正弦簡諧振動

按照平行四邊形法則，可以將旋轉(zhuǎn)矢量OM往兩個相互垂直的坐標軸上分解，若其中一個分量為，而另一個分量用表示，即＝＋，其中Q點是旋轉(zhuǎn)矢量的末端點M在Oy軸上的投影點．當旋轉(zhuǎn)矢量以角速度ω在x Oy平面內(nèi)繞原點O做逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動時，Q點的位移正好滿足正弦函數(shù)y＝A sin（ωt＋φ0），如圖1所示．由此可知，旋轉(zhuǎn)矢量的末端點在直角坐標系Ox軸和Oy軸上投影點的運動都是簡諧振動，并且分別對應(yīng)于余弦簡諧振動和正弦簡諧振動．綜合以上，從圖1中可以清晰地看到由同一個旋轉(zhuǎn)矢量得到的余弦簡諧振動和正弦簡諧振動所表示的是振幅相同、振動頻率相同、初相位差為且振動方向相互垂直（一個沿Ox軸方向振動，另一個沿Oy軸方向振動）的兩個簡諧振動．

若要用余弦和正弦兩種函數(shù)形式描述同一個簡諧振動，需要做以下兩步修正．第一步，需要用兩個不同的旋轉(zhuǎn)矢量和來描述，如圖2所示．設(shè)這兩個旋轉(zhuǎn)矢量的初相位分別為φ0和φ，則按照正

圖2 振動方向相互垂直的簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示

為了清晰起見，本文規(guī)定：

（1）以t＝0時旋轉(zhuǎn)矢量與水平方向坐標軸（先不用給出水平方向坐標軸是Ox軸還是Oy軸）之間的夾角等于簡諧振動的初相位．那么當旋轉(zhuǎn)矢量以角速度ω在坐標平面內(nèi)繞原點O做逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動時，該矢量末端點在水平方向投影點的運動為余弦簡諧振動，而在豎直方向投影點的運動為正弦簡諧振動．

（2）按照簡諧振動具體的振動方向設(shè)置坐標軸．若給定余弦或正弦簡諧振動是沿Ox方向的，則設(shè)置水平方向或豎直方向作為Ox軸，如圖3所示的同一簡諧振動（沿Ox軸振動）的兩種旋轉(zhuǎn)矢量圖示．圖3（a）為余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示，其中以水平方向作為Ox軸；圖3（b）為正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示，其中以豎直方向作為Ox軸．同樣地，我們可以想象，若給定余弦或正弦簡諧振動是沿Oy方向的，則設(shè)置水平方向或豎直方向作為Oy軸即可．

圖3 同一簡諧振動（沿Ox軸振動）的兩種旋轉(zhuǎn)矢量圖示

3 正弦簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量圖示的應(yīng)用

為了更好地理解正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示，本文以參考文獻［1］的例題10- 1為例，討論旋轉(zhuǎn)矢量圖示在正弦簡諧振動中的應(yīng)用．為方便討論，將主要的題目內(nèi)容描述如下．

【題目】一物體沿Ox軸做簡諧振動，振幅為A＝0．12 m，周期為T＝2s．當t＝0時，物體的位移為x＝0．06 m，且向Ox軸正方向運動．求此簡諧振動的表達式．

下面應(yīng)用本文給出的正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示進行解答．首先，設(shè)這一簡諧振動的表達式為一正弦函數(shù)

這正是參考文獻［1］中采用余弦簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量圖示得到的結(jié)果．也就是說采用本文給出的正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示解決簡諧振動問題時，得到的結(jié)果與采用余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示時是一致的．

圖4 t＝0時刻正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示

4 結(jié)論

本文給出了正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示表示法，并給出新的規(guī)定法則將此表示法與余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示表示法統(tǒng)一起來．從“層層遞進的推導(dǎo)過程”到“在具體的簡諧振動問題中的應(yīng)用”，創(chuàng)新思想及得到的結(jié)論包括以下兩點：

（1）在平面直角坐標系中建立旋轉(zhuǎn)矢量時，以t＝0時旋轉(zhuǎn)矢量與水平方向坐標軸之間的夾角為簡諧振動的初相位．當旋轉(zhuǎn)矢量逆時針轉(zhuǎn)動，則該矢量末端點在豎直方向投影點的運動為正弦簡諧振動．

（2）將采用該種方法得到的正弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示應(yīng)用到求解簡諧振動表達式的例題中，得到與采用余弦簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示時一致的結(jié)果．

通過本文的內(nèi)容可以加深對旋轉(zhuǎn)矢量以及旋轉(zhuǎn)矢量圖示的理解，有利于今后對旋轉(zhuǎn)矢量圖示在簡諧振動中的靈活應(yīng)用．

1 胡盤新，湯毓駿，鐘季康．普通物理學(xué)簡明教程（下冊）（第二版）．北京：高等教育出版社，2007．72～79

2 漆安慎，杜嬋英．普通物理學(xué)教程力學(xué)（第二版）．北京：高等教育出版社，2005．294～301

3 朱青．旋轉(zhuǎn)矢量法在“簡諧振動”教學(xué)中的應(yīng)用．中山大學(xué)學(xué)報論叢，2006，26（1）：5～7

4 倪辛．旋轉(zhuǎn)矢量圖與簡諧振動的關(guān)系．南京廣播電視大學(xué)學(xué)報，1999，4：37～38

5 陳鎮(zhèn)平，陸瑩，蘇磊．旋轉(zhuǎn)矢量在振動和波動中的應(yīng)用．洛陽師范學(xué)院學(xué)報，2002，2：30～32

6 楊慶怡．用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡諧振動．廣西大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，27：145～147

7 馬業(yè)萬，劉全金，章禮華，張杰．大學(xué)物理教學(xué)中初相位的求解——旋轉(zhuǎn)矢量法．安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，18（1）：97～99

8 王勇．利用旋轉(zhuǎn)矢量求解相位角．中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011，20：109

*國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目，項目編號：11104100；安徽省高等學(xué)校質(zhì)量工程項目，項目編號：2011248

王瑋（1982- ），女，博士，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)及超導(dǎo)材料的第一性原理計算研究．

2014- 08- 30）