基于分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面的中心變差

孫秀清

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院基礎(chǔ)部，江蘇鎮(zhèn)江 212016）

基于分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面的中心變差

孫秀清

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院基礎(chǔ)部，江蘇鎮(zhèn)江 212016）

介紹矩形域上一類分形插值曲面的構(gòu)造方法，討論這類分形插值曲面的中心變差的性質(zhì)。

仿射分形插值函數(shù)；分形插值曲面；中心變差

Barnsley［1-2］在20世紀(jì)80年代首先提出了分形插值的概念，通過(guò)構(gòu)造一類特殊的迭代函數(shù)系，可以生成處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的插值函數(shù)，它被稱為分形插值函數(shù)。分形插值為數(shù)據(jù)擬合提供了一種新的途徑，在擬合非光滑曲線方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)?；贐arnsley提出的分形插值方法，許多學(xué)者對(duì)分形插值曲面（二元分形插值函數(shù)）構(gòu)造方法展開(kāi)了廣泛的討論［3-7］，并對(duì)分形插值曲面的性質(zhì)，特別是曲面的分形維數(shù)，進(jìn)行了研究。分析這些曲面的構(gòu)造方法發(fā)現(xiàn)，為了保證分形插值曲面的連續(xù)性，他們都加上了插值節(jié)點(diǎn)邊界共線或縱向尺度因子相等等條件限制，顯然，這些條件與實(shí)際情況不相符合，從而制約了分形插值曲面的實(shí)際應(yīng)用。Bouboulis和Dalla［8］提出了基于仿射分形插值函數(shù)的分形插值曲面的構(gòu)造方法，解除了插值節(jié)點(diǎn)邊界共線和縱向尺度因子相等的限制，使得插值方法更加靈活，適應(yīng)范圍更加廣泛。筆者在此基礎(chǔ)上，討論這類分形插值曲面的性質(zhì)，研究這類分形插值曲面的變差，為這類分形插值曲面的粗糙度討論和分形維數(shù)的計(jì)算提供參考。

1 基于分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面的構(gòu)造

給定閉區(qū)間I=［a，b］，令

是I×R上的插值結(jié)點(diǎn)集，其中m≥2且為整數(shù)。對(duì)于給定實(shí)數(shù)組，其中

稱為縱向尺度因子。對(duì)于i∈｛1，2，…，m｝，定義仿射映射

其中

則構(gòu)成一個(gè)對(duì)應(yīng)于插值節(jié)點(diǎn)是

的迭代函數(shù)系

根據(jù)參考文獻(xiàn)［1-2］，迭代函數(shù)系（2）有唯一不變集

它是I上一連續(xù)函數(shù)f（x）的圖象，即

并且該函數(shù)過(guò)插值節(jié)點(diǎn)

即如果

且插值結(jié)點(diǎn)不在一條直線上，那么K的計(jì)盒維數(shù)dimB（K）就是滿足方程

的唯一解D。否則，

由于K的計(jì)盒維數(shù)常大于1，因此f（x）稱為仿射分形插值函數(shù)。f（x）是迭代函數(shù)系

生成的仿射分形插值函數(shù)的一個(gè)充要條件是f（x）滿足方程

x∈I，i=1，2，…，m。

設(shè)

是R2中的矩形域，

是R3中的一點(diǎn)集，其中

令ui（y），i=0，1，…，m，是定義在

上的m+1個(gè)連續(xù)函數(shù)，滿足插值條件

j=0，1，…，m。對(duì)于任意固定的y∈［a，b］，點(diǎn)集

作為插值節(jié)點(diǎn)，根據(jù)上面的構(gòu)造方法，能得到仿射分形插值函數(shù)gy（x），有

i=0，1，2，…，m。令

那么f（x，y）是［a，b］×［c，d］上的一個(gè)二元函數(shù)，并且滿足插值條件

i=0，1，2，…，m，j=0，1，2，…，n。函數(shù)

（x，y）∈G的圖象稱為基于分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面，文獻(xiàn)［8］證明了f（x，y）是

上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

2 分形插值曲面的中心變差

令

g（x）是I上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)γ和任意x∈I，設(shè)

則稱

是函數(shù)g（x）在點(diǎn)x的γ-中心振幅，簡(jiǎn)記為οg；γ（x）。因?yàn)間（x）是閉區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，顯而易見(jiàn)，οg；γ（x）在I上也是連續(xù)的，從而οg；γ（x）在I上可積，稱οg；γ（x）在I上的積分

是函數(shù)g（x）在閉區(qū)間I上的γ-中心變差，記作Vg；γ（I）。

為了討論構(gòu)造的分形插值曲面的中心變差的性質(zhì)，我們給出引理1。

引理11）若

t∈I，λ≠0，且g（x）是τ（I）上的連續(xù)函數(shù)，則

2）設(shè)g（x）是

上的連續(xù)函數(shù)，

記

則

證明 1）設(shè)

t∈I。因?yàn)?/p>

所以

2）對(duì)于x∈Ii，因?yàn)?/p>

所以

因此，方程左側(cè)是成立的。接下來(lái)證明右側(cè)。令

i=2，3，…，m-1，

i=1，2，3，…，m-1，其中，當(dāng)α＞β時(shí)，［α，β］就是空集。則

因此

從而右側(cè)不等式成立。

引理1證畢。

定理1對(duì)于構(gòu)造的分形插值曲面

（x，y）∈D，存在正常數(shù)β1和β2，使得對(duì)于任意的γ≥0和y∈［c，d］，有

證明 因?yàn)閒（·，y）是經(jīng)過(guò)點(diǎn)集

的仿射分形插值函數(shù)，縱向尺度因子為

根據(jù)條件（4），對(duì)于xi∈Ii，有

其中

i=1，2，3，…，m。因?yàn)?/p>

其中x∈Ii，根據(jù)引理1可得

另一方面，根據(jù)引理1可以得到

由映射（1）的系數(shù)計(jì)算可得

而ui在閉區(qū)間［c，d］上是連續(xù)的，因此，存在M＞0，當(dāng)y∈［c，d］，i∈｛1，2，…，m｝時(shí)，使得

又因?yàn)?/p>

可以令

它們均與y，γ無(wú)關(guān)。

定理1證畢。

定理2設(shè)

且對(duì)于任意的

點(diǎn)集

不共線，則存在常數(shù)C＞0，對(duì)于任意正整數(shù)k，以及任意y∈［α，β］和γ∈［0］，有

其中

證明對(duì)于確定的y∈［α，β］，設(shè)

則l（x，y）在I上是線性函數(shù)，滿足條件

假設(shè)

則D（y）在［α，β］上是正的連續(xù)的函數(shù)，因此

當(dāng)y∈［α，β］，i1∈｛1，2，…，m｝時(shí)，令

上是線性函數(shù)，且

根據(jù)仿射分形插值函數(shù)的條件（4），

進(jìn)而可以定義

其中ik∈｛1，2，…，m｝，k=1，2，…。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明lik，ik-1，…，i1（x，y）是區(qū)間Lik，ik-1，…，i1（I）上的線性函數(shù)，

滿足

并且有

對(duì)于閉區(qū)間［t1，t2］上的連續(xù)函數(shù)g（t），若

則有

其中，

定理2證畢。

［1］BARNSLEY M F.Fractal functions and interpolation［J］.Constr.Approx.，1986（2）：303-329.

［2］BARNSLEY M F.Fractal everywhere［M］.New York：Academic Press，1988：17-28.

［3］XIE H，SUN H.The study on bivariate fractal interpolation functions and creation of fractal interpolated surfaces［J］.Fractal，1997，5（4）：625-634.

［4］XIE H，SUN H，JU Y，et al，Study on generation of rock fracture surfaces by using fractal interpolation［J］.Internet J.Solids Structures，2001（38）：5765-5787.

［5］DALLA L.Bivariate fractal interpolation functions on grids［J］.Fractals，2002，10（1）：53-58.

［6］FENG Z.Variation and minkowski dimension of fractal interpolation surface［J］.Math.Anal.Appl.，2008（345）：322-334.

［7］MALYSZ R.The minkowski dimension of the bivartiate Fractal interpolation surfaces［J］.Chaos，Solition and Fractal，2006（27）：1147-1156.

［8］BOUBOULIS P，DALLA L.Fractal interpolation surfaces derived from fractal interpolation functions［J］.Math.A-nal.Appl.，2007（336）：919-936.

〔責(zé)任編輯：盧 蕊〕

On central variation of fractal interpolation surfaces derived from fractal interpolation functions

SUN Xiu-qing
（Basic Courses Department，Zhenjiang Branch of Jiangsu Joint Vocational and Technical College，Zhenjiang 212016，China）

A construction method of fractal interpolation surfaces on a rectangular domain with arbitrary interpolation nodes is introduced.The variation properties of the bivariate functions corresponding to this type of fractal interpolation surfaces are discussed.

affine fractal interpolation function；fractal interpolation surface；central variation.

O241.3

A

1008-8148（2014）03-0044-04

2014-04-05

國(guó)家自然基金資助項(xiàng)目（51079064）

孫秀清（1978—），女，吉林松原人，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)分形插值函數(shù)研究。