一種基于信息熵的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置方法

尹 濤

（武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072）

一種基于信息熵的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置方法

尹 濤

（武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072）

針對(duì)用基于有限元方法的離散坐標(biāo)體系研究傳感器優(yōu)化布置、所得僅為結(jié)構(gòu)真實(shí)動(dòng)力響應(yīng)近似解直接影響傳感器優(yōu)化布置結(jié)果問(wèn)題，提出基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法與信息熵理論的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置方法。以結(jié)構(gòu)模型修正為目的，用貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法識(shí)別結(jié)構(gòu)模型參數(shù)最優(yōu)值及不確定性程度，利用信息熵定量表征結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性程度；再將傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題，以傳感器位置為優(yōu)化變量，通過(guò)遺傳算法極小化模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性（即信息熵）識(shí)別傳感器的最優(yōu)布置位置；獲得最大結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息量，即識(shí)別結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的不確定性最小。通過(guò)雙墩帶彈性支撐的三跨連續(xù)梁橋數(shù)值仿真研究對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證。

傳感器優(yōu)化布置；結(jié)構(gòu)模型修正；貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法；信息熵；遺傳算法

傳感器系統(tǒng)是構(gòu)成結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的關(guān)鍵，傳感器數(shù)目及其布置位置對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量至關(guān)重要，其直接影響到基于動(dòng)力測(cè)量信息的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的成敗。然而，目前傳感器的布置大多仍基于經(jīng)驗(yàn)，即通過(guò)考慮一系列實(shí)際約束條件來(lái)人為確定傳感器布置位置，但這對(duì)于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)而言意義不大，因?yàn)檫@樣無(wú)法保證所獲得測(cè)量信息對(duì)于待識(shí)別結(jié)構(gòu)建模參數(shù)的敏感性。因此，為保證所選傳感器位置能獲取足夠的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信息量，有必要開(kāi)展傳感器的優(yōu)化布置問(wèn)題研究。

傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題最先可能由Shah和Udwadia［1］在其研究工作中提出。后來(lái)，許多學(xué)者相繼研究了基于結(jié)構(gòu)模型參數(shù)及模態(tài)參數(shù)識(shí)別的傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題［2－7］。其中，Papadimitriou等［8］首次將信息學(xué)領(lǐng)域中的信息熵概念［9］引入到傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究中，用其來(lái)定量表征模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性程度，而傳感器的最優(yōu)位置則通過(guò)極小化該信息熵指標(biāo)來(lái)給出，文章中研究了不同數(shù)量傳感器與識(shí)別模態(tài)階數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果不確定性的影響。近來(lái)，該方法被Chow等人運(yùn)用到了輸電塔結(jié)構(gòu)模型的傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究中［10］。

從目前文獻(xiàn)資料來(lái)看，絕大多數(shù)傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究均是在有限元方法所建立的離散坐標(biāo)體系基礎(chǔ)上開(kāi)展的。盡管離散坐標(biāo)系統(tǒng)為分析任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析提供了方便，但由于采用有限數(shù)目的位移坐標(biāo)來(lái)描述結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)，所獲得的解僅是結(jié)構(gòu)真實(shí)動(dòng)力特性的近似解［11］。雖然通過(guò)增加模型自由度數(shù)目，其分析結(jié)果的精度可獲相應(yīng)提高，然而，傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題范疇，通常需要采用數(shù)值優(yōu)化方法來(lái)求解，但其目標(biāo)函數(shù)通常具有高度非線性，求解獲得收斂需要經(jīng)過(guò)大量的迭代次數(shù)。增加模型自由度的方式將會(huì)使模型變得更復(fù)雜，并導(dǎo)致迭代求解時(shí)間花費(fèi)大幅增加；同時(shí)，這也將使可布置傳感器的待測(cè)自由度數(shù)目顯著增加，更進(jìn)一步地增加計(jì)算時(shí)間以及求解難度?；谶@種考慮，用于傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究的離散坐標(biāo)系統(tǒng)有限元模型網(wǎng)格劃分通常很粗糙，這一方面增加了模型誤差，另一方面也使感器可能布置位置局限于這些間隔較大離散節(jié)點(diǎn)上，且所獲得的傳感器最優(yōu)布置位置與所采用的離散結(jié)構(gòu)模型直接相關(guān)。此外，傳統(tǒng)的基于有限元離散模型的傳感器優(yōu)化布置方法通常采用觀測(cè)矩陣（包含若干0和1元素）將模型所有自由度映射到非常有限的測(cè)量自由度上，但每種傳感器布置方案均需形成不同的觀測(cè)矩陣，計(jì)算時(shí)間耗費(fèi)較大。由此可見(jiàn)，對(duì)于具有典型分布參數(shù)特征的結(jié)構(gòu)體系，采用連續(xù)坐標(biāo)模型來(lái)進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究比采用基于有限元方法的離散坐標(biāo)模型更具優(yōu)勢(shì)。

本文在Papadimitriou等［8］研究工作基礎(chǔ)上，發(fā)展了一種基于信息熵和貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別理論的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布置方法，采用連續(xù)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)體系來(lái)進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究。本文方法采用解析公式來(lái)構(gòu)建分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系，傳感器布置位置采用連續(xù)坐標(biāo)形式來(lái)表征，這也使本文方法與可布設(shè)傳感器的待測(cè)自由度數(shù)目無(wú)關(guān)。先利用貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法構(gòu)建結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果及相應(yīng)不確定性程度的識(shí)別體系；再通過(guò)信息熵指標(biāo)定量表征該不確定性程度來(lái)形成傳感器優(yōu)化布置目標(biāo)函數(shù)；然后將傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶約束的連續(xù)數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題，以傳感器位置為優(yōu)化變量，通過(guò)二進(jìn)制編碼遺傳算法極小化信息熵指標(biāo)，從而識(shí)別傳感器的最優(yōu)布置位置，即獲得最大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息量；最后，通過(guò)一個(gè)雙橋墩帶彈性支座的三跨連續(xù)梁橋模型的數(shù)值仿真研究對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 理論背景

1.1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別理論與信息熵

對(duì)于采用參數(shù)向量θ∈RNθ描述其輸入輸出特性的一類參數(shù)化結(jié)構(gòu)模型M（Nθ代表參數(shù)向量θ的維數(shù)），在給定動(dòng)力測(cè)量數(shù)據(jù)D條件下，文獻(xiàn)［12］基于貝葉斯理論發(fā)展了一種可估計(jì)參數(shù)集θ均值及相應(yīng)不確定性程度的統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法。該方法假定識(shí)別誤差同時(shí)服從空間和時(shí)間上獨(dú)立、以及均值為0方差為σ2的正態(tài)分布，依據(jù)貝葉斯定理，在給定的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D及模型類M條件下，結(jié)構(gòu)模型參數(shù)及其預(yù)測(cè)誤差參數(shù)集（θ，σ）的后驗(yàn)概率密度函數(shù)（PDF）可表示為：

式中：c0表示使公式（1）等號(hào)右邊積分為1的常數(shù)。π（θ，σ）表示參數(shù)集（θ，σ）的先驗(yàn)PDF。No和N分別表示測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)以及與之對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)間點(diǎn)數(shù)。J（θ；D，M）表示實(shí)測(cè)響應(yīng)與模型預(yù)測(cè)時(shí)程響應(yīng)之間的吻合度函數(shù)，即：

依據(jù)全概率定理，結(jié)構(gòu)模型參數(shù)向量θ的后驗(yàn)邊緣PDF可以通過(guò)公式（1）等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)σ進(jìn)行積分得到，即

對(duì)于服從均勻分布的先驗(yàn)PDFπσ（σ），公式（3）等號(hào)右邊關(guān)于σ的積分可以計(jì)算如下：

式中：NJ＝－（NNo－1）／2。c表示使公式（4）等號(hào)右邊在給定積分域上積分為1的常數(shù)。

基于式（4）中計(jì)算出的后驗(yàn)PDF p（θ｜D，M），信息熵提供了結(jié)構(gòu)模型參數(shù)θ估計(jì)值不確定性的標(biāo)量量度［8］，即：

式中：Eθ表示關(guān)于參數(shù)θ的數(shù)學(xué)期望值。將式（4）代入式（5），可進(jìn)一步得到：

從式（6）中可以看出，信息熵的數(shù)值大小僅與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D及所采用的模型類M有關(guān)。

為計(jì)算式（6）中由數(shù)學(xué)期望所產(chǎn)生的積分，運(yùn)用Laplace漸近展開(kāi)方法［13］得到信息熵在大量測(cè)量數(shù)據(jù)（即N→∞）條件下的漸進(jìn)近似表達(dá)式［14］如下：

1.2 分布參數(shù)結(jié)構(gòu)最優(yōu)傳感器／激勵(lì)器布置

作為模型類M中結(jié)構(gòu)參數(shù)θ識(shí)別結(jié)果不確定性程度的一個(gè)標(biāo)量量度，公式（5）給出的信息熵H（D，M）本質(zhì)上反映了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D中含有用信息量的多少。從該意義上講，傳感器優(yōu)化布置目的就是為了保證實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D對(duì)于參數(shù)集θ的信息量最大，即表示結(jié)構(gòu)參數(shù)θ能以最小的不確定性被估計(jì)出來(lái)。換句話說(shuō)，最優(yōu)傳感器布置方案應(yīng)使信息熵極小化，即通過(guò)一個(gè)數(shù)值優(yōu)化過(guò)程，實(shí)現(xiàn)信息熵相對(duì)于傳感器布置位置的極小化。

然而，在進(jìn)行傳感器布置設(shè)計(jì)時(shí)，由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D是未知的，因此信息熵H（D，M）中應(yīng)該去掉對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D的顯式依賴。注意到在獲得大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（N→∞）前提下，將信息熵定義在最優(yōu)模型參數(shù)值θ＾與相應(yīng)最優(yōu)預(yù)測(cè)誤差處，可以漸進(jìn)近似地去除其與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的顯式相關(guān)性，但在無(wú)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)情況下，最優(yōu)模型參數(shù)值與相應(yīng)最優(yōu)誤差估計(jì)值同樣也是無(wú)法獲知的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)［14］建議采用某些能較合理反映系統(tǒng)特性的標(biāo)稱參數(shù)來(lái)取代未知的最優(yōu)值。在這種情況下，針對(duì)分布參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，本文提出由公式（7）給出的信息熵可進(jìn)一步表示如下：

式中：δ＝｛δ1，δ2，…，δNo｝T∈RNoND表示傳感器布置向量，其包括所有測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值。det［·］表示對(duì)矩陣取行列式運(yùn)算符。對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，類似地，所有的激勵(lì)點(diǎn)坐標(biāo)采用χ＝｛χ1，χ2，…，χNI｝T∈RNIND來(lái)表示，NI表示激勵(lì)點(diǎn)數(shù)，而δk∈RND（k＝1，2，…，No）與χI∈RND（l＝1，2，…，NI）分別表示第k個(gè)測(cè)量點(diǎn)與第l個(gè)激勵(lì)點(diǎn)的無(wú)綱量坐標(biāo)。ND表示目標(biāo)結(jié)構(gòu)模型的空間維數(shù)，具體地，ND＝1，2，3分別表示一、二及三維目標(biāo)結(jié)構(gòu)。

經(jīng)推導(dǎo)，公式（8）中的A（θ0，σ＾0；δ，χ，M）可以漸進(jìn)近似為（N→∞）

式中，▽?duì)龋剑?／?θ1，?／?θ2，…，?／?θNθ］T表示相對(duì)于參數(shù)集θ的梯度向量。y（n，δk；χ，θ）表示公式（2）中給出的模型計(jì)算響應(yīng)向量q（n；θ）的第k個(gè)元素，其代表第n個(gè)時(shí)間步上第k個(gè)測(cè)量點(diǎn)處所計(jì)算的時(shí)域響應(yīng)。因此，公式（8）可以進(jìn)一步地表示為：

從上式可以很明顯地看出，極小化信息熵等價(jià)于極大化半正定對(duì)稱矩陣Q（θ0；δ，χ，M）的行列式。應(yīng)該指出，本文所研究的是沖擊荷載響應(yīng)，若對(duì)于環(huán)境激勵(lì)的情況，通常無(wú)法獲知激勵(lì)點(diǎn)位置，因而此時(shí)信息熵公式中不再包含荷載位置向量χ。

2 數(shù)值仿真研究

2.1 傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置

為了驗(yàn)證本文所提出的分布參數(shù)體系傳感器優(yōu)化布置方法在橋梁結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，本文以一個(gè)雙橋墩帶彈性支撐的三跨等截面連續(xù)梁橋比例模型為例進(jìn)行驗(yàn)證，如圖1所示。

圖1 兩橋墩帶彈性支撐的三跨連續(xù)梁橋模型Fig．1 Three-span continuous bridge modelwith elastic supports at two piers

該橋梁模型總長(zhǎng)L＝2．3 m，兩邊跨長(zhǎng)均L1＝0．65 m，中跨長(zhǎng)L2＝1．0 m；主梁截面寬度b＝0．01 m，高度h＝0．02 m，彈性模量E＝5．8×1010N／m2，質(zhì)量密度ρ＝為沿主梁縱向單位長(zhǎng)度質(zhì)量；＝EI為主梁抗彎剛度，I為截面慣性矩。設(shè)兩橋墩與橋面聯(lián)接處均布置豎向彈性支座，彈簧剛度k1＝k2＝2．0×106kN／m。為簡(jiǎn)便，引入無(wú)綱量坐標(biāo)ζ＝x／L，即兩彈性支撐位置分別為ζ1＝L1／L，ζ2＝（L1＋L2）／L。傳感器位置δ與激勵(lì)器位置χ均用無(wú)綱量坐標(biāo)形式表示。

對(duì)該三跨連續(xù)梁橋，擬采用7個(gè)無(wú)綱量建模參數(shù)θk（k＝1，…，Nθ，Nθ＝7）分別修正全橋各跨的抗彎剛度（DE，0）、全橋單位長(zhǎng)度質(zhì)量、兩橋墩處的豎向彈簧剛度以及用于動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算的模態(tài)阻尼比（ξD，0），如表1所示。其中以及ξD，0分別表示初始的建模參數(shù)值表示第j個(gè)彈性支座的無(wú)綱量彈簧剛度。為消除結(jié)構(gòu)對(duì)稱性影響，第一跨抗彎剛度取為1．05 DE，0。本算例假定所有階模態(tài)均采用一致的阻尼比。因此，修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為2）以及ξD＝θ7ξD，0。假定模型參數(shù)修正量較小，因此無(wú)綱量模型參數(shù)θ的標(biāo)稱值θ0可以取為1，即θ＝ones（Nθ，1）?？紤]單點(diǎn)豎向沖擊荷載作用，采用前4階模態(tài)參數(shù)并運(yùn)用模態(tài)迭加法計(jì)算分布參數(shù)系統(tǒng)的加速度時(shí)程響應(yīng)，同時(shí)假定所有階模態(tài)的阻尼比均取為1%。其中，采樣頻率取為1 000 Hz，采樣時(shí)間為0．5 s。

表1 本文算例考慮的模型修正參數(shù)Tab.1 Modeling parameters considered for structuralmodel updating

與傳統(tǒng)基于離散坐標(biāo)體系的傳感器優(yōu)化布置方法不同，本文方法將傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶邊界約束的連續(xù)數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于此類優(yōu)化問(wèn)題的求解，盡管目前存在一些標(biāo)準(zhǔn)的基于梯度信息的數(shù)值優(yōu)化算法，但此類算法容易陷入局部極小，同時(shí)也非常依賴于初始解的選取。而基于人工智能的遺傳算法較傳統(tǒng)的基于梯度的優(yōu)化算法具有更強(qiáng)的全局優(yōu)化能力，因此本文選用遺傳算法進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題研究。其中，遺傳算法采用二進(jìn)制編碼，單個(gè)變量的編碼長(zhǎng)度為Nbits，其將求解域等分為2Nbits－1段，或求解精度為1／（2Nbits－1）。通過(guò)改變編碼長(zhǎng)度，可以直接改變求解域劃分的疏密（也即待布置傳感器位置個(gè)數(shù)），這就可以很方便地研究傳感器優(yōu)化布置結(jié)果受待布置位置個(gè)數(shù)的影響。值得指出的是，當(dāng)Nbits＝10時(shí)，傳感器布置位置精度接近1．0×10－3。

表2表示本文方法所識(shí)別出的傳感器與激勵(lì)器最優(yōu)布置結(jié)果。其中，分別考慮了3種不同的二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度（即Nbits＝4、8以及10）以及4種不同的傳感器數(shù)目（NO＝1～4）。從該表中可以很明顯地看出，隨著傳感器數(shù)目逐漸增加，目標(biāo)函數(shù)ln（det Q）值逐漸增加，即信息熵指標(biāo)逐漸降低（根據(jù)公式（10））。這表明增加傳感器數(shù)目可以獲得較大的信息量，從而降低模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性。另外，在模態(tài)疊加法中通過(guò)增加更多階的模態(tài)參數(shù)，也將獲取更多的信息，從而減少待識(shí)別參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性，限于篇幅關(guān)系本文未予給出。

從表2中也可以看出，當(dāng)僅使用單個(gè)傳感器時(shí)，不管Nbits取值如何，識(shí)別的最優(yōu)激勵(lì)器位置總與傳感器位置相同，該結(jié)論符合Maxwell互易定理。但當(dāng)使用的傳感器數(shù)目多于1個(gè)時(shí)，所識(shí)別的最優(yōu)激勵(lì)器位置并不總是包含在最優(yōu)傳感器位置集中。例如，當(dāng)Nbits＝8且考慮2個(gè)傳感器時(shí)，識(shí)別的最優(yōu)激勵(lì)器位置為0．1216，其與該工況第1個(gè)傳感器最優(yōu)位置相同。當(dāng)NO＝3，即考慮3個(gè)傳感器時(shí)，所識(shí)別的最優(yōu)激勵(lì)器位置不變，但是其并不與該工況下任何一個(gè)最優(yōu)傳感器位置相重合。另一方面，從表2中還可以看出，考慮n個(gè)傳感器時(shí)的最優(yōu)傳感器位置集并不一定包含于n＋1個(gè)傳感器時(shí)的最優(yōu)位置集中。例如，當(dāng)Nbits＝8時(shí)，考慮2個(gè)傳感器情況下，所識(shí)別出的傳感器最優(yōu)位置分別為0．121 6和0．125 5。但當(dāng)考慮3個(gè)傳感器時(shí)，所識(shí)別的最優(yōu)傳感器位置分別是0．125 5，0．129 4和0．603 9，很明顯NO＝2時(shí)的最優(yōu)傳感器位置0．1216未被包含NO＝3時(shí)的結(jié)果集中。以上結(jié)論與基于有限元方法的離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所獲得的結(jié)論相吻合［10］。

表2本文方法所識(shí)別的傳感器／激勵(lì)器最優(yōu)布置位置Tab.2 Optimal sensor and excitation locations identified by the proposed method

此外，從表2中還可以看出，所識(shí)別的某些傳感器最優(yōu)位置很接近，尤其是當(dāng)二進(jìn)制編碼位數(shù)取較大值時(shí)，例如Nbits＝8和10。以Nbits＝8時(shí)的傳感器優(yōu)化布置結(jié)果為例來(lái)說(shuō)明，當(dāng)采用2個(gè)傳感器時(shí)，傳感器最優(yōu)位置之差約為0．0039；當(dāng)采用3個(gè)傳感器時(shí)前兩個(gè)傳感器的最優(yōu)位置之差也為0．003 9，而4個(gè)傳感器情況下前3個(gè)之間的距離同樣如此。注意到Nbits＝8時(shí)遺傳算法求解精度為1／（28－1），其值約為0．003 9，由此可以推斷，當(dāng)NO＝2、3、4情況下，最優(yōu)位置接近的傳感器之間的布置距離差已達(dá)到當(dāng)前二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度下的最大分辨率。Nbits＝10時(shí)的情況與Nbits＝8時(shí)的類似。

2.2 結(jié)構(gòu)建模參數(shù)識(shí)別

為了更進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法，在前一階段獲得了傳感器／激勵(lì)器最優(yōu)布置之后，此階段基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法進(jìn)行了橋梁建模參數(shù)及其不確定性識(shí)別研究，所考慮的工況如表3所示，并取Nbits＝10。共八種工況，其中，前四種為傳感器／激勵(lì)器布置于最優(yōu)位置工況（即為表2中的識(shí)別結(jié)果），設(shè)置這四種工況主要是考查傳感器數(shù)目NO對(duì)橋梁建模參數(shù)識(shí)別結(jié)果不確定性程度的影響。后四種工況為傳感器數(shù)目取4、傳感器／激勵(lì)器布置于任意非最優(yōu)位置時(shí)的工況，該系列工況主要用以研究傳感器布置位置對(duì)于識(shí)別結(jié)果不確定性程度的影響。表3考慮的八種工況中，用于計(jì)算加速度時(shí)程響應(yīng)的控制參數(shù)與傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置階段相一致。

表3 三跨連續(xù)梁橋模型參數(shù)識(shí)別中所考慮的傳感器／激勵(lì)器布置工況（Nbits＝10）Tab.3 Cases of sensor and excitation locations considered for them odeling parameter identification of the three-span continuous bridgemodel（Nbits＝10）

圖2表示傳感器／激勵(lì)器布置于最優(yōu)位置（工況4）與任意位置（如工況4d）時(shí)，各測(cè)量通道加速度功率譜密度函數(shù)比較，該對(duì)比結(jié)果可以定性表征傳感器／激勵(lì)器布置位置對(duì)于采集信號(hào)的影響。對(duì)比兩種工況，可以很明顯地看出，傳感器／激勵(lì)器布置于最優(yōu)位置時(shí)，各測(cè)量通道所采集信號(hào)的頻率成份均很豐富，即在0到300 Hz的頻帶范圍內(nèi)，均清晰識(shí)別出了參與模態(tài)疊加的前4階頻率。而布置于工況4d中的非最優(yōu)位置時(shí)，很明顯第2階頻率基本上沒(méi)被識(shí)別出來(lái)；同時(shí)各測(cè)量通道所包含的頻率信息也不太一樣，且均未完整測(cè)出前4階模態(tài)，有的僅漏掉了第2階頻率（如第2、3與4個(gè)傳感器通道），有的則同時(shí)漏掉了第2和第4兩階頻率（如第1個(gè)傳感器通道）。由此可見(jiàn)傳感器優(yōu)化布置對(duì)數(shù)據(jù)采集的影響較大，進(jìn)而可初步預(yù)見(jiàn)工況4中模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性將低于工況4d中的相應(yīng)結(jié)果，這一點(diǎn)將在后面參數(shù)識(shí)別結(jié)果中得到驗(yàn)證。

圖2 傳感器／激勵(lì)器布置于最優(yōu)位置、任意位置時(shí)各測(cè)量通道加速度功率譜密度函數(shù)對(duì)比Fig．2 Acceleration spectral density functions for four sensors located at their optimal and arbitrary non-optimal positions

為了模擬實(shí)際條件下測(cè)量噪聲的影響，此參數(shù)識(shí)別階段中加速度響應(yīng)計(jì)算值考慮了10%的高斯白噪聲。表4給出了相應(yīng)于表3中所列各工況的模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果，其中，各工況的識(shí)別值代表模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的最優(yōu)值，而COV（%）值則代表參數(shù)識(shí)別結(jié)果的變異系數(shù)，即不確定性程度，并以百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。對(duì)比前四種工況中的COV值，從該表中可以明顯看出，隨著傳感器數(shù)目NO的增加，COV值逐漸降低，表明采用較多的傳感器，確實(shí)能使所獲取的測(cè)量信息總量增加（參考表3中最后一列給出的目標(biāo)函數(shù)值大?。瑥亩鴾p少結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性程度，這同時(shí)也驗(yàn)證了本文所提出的傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置方法的正確性。

對(duì)比工況4與其后四種工況的COV值，可以發(fā)現(xiàn)，在給定傳感器數(shù)目NO條件下，傳感器布置于最優(yōu)位置相比于其他非最優(yōu)位置，所識(shí)別出的模型參數(shù)的不確定性程度整體上確實(shí)較低，這也驗(yàn)證了前面圖2中的相關(guān)結(jié)論。另外，比較工況4a至工況4d的COV值可以發(fā)現(xiàn)，在四種任意選取的非最優(yōu)位置中，工況4a參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性程度相對(duì)最低，而工況4d的不確定性則最高，該現(xiàn)象與第一階段傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置過(guò)程中表3最后一列給出的各工況目標(biāo)函數(shù)值是相吻合的，即目標(biāo)函數(shù)值越大，同條件下模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定將越小。

另外，值得注意的是，對(duì)比表4中工況3和工況4a至4d的COV值識(shí)別結(jié)果可以看出，當(dāng)采用3個(gè)傳感器與相應(yīng)激勵(lì)器布置在其最優(yōu)位置，相比4個(gè)傳感器與相應(yīng)激勵(lì)器任意布置，可獲得更小的模型參數(shù)不確定性。特別地，參照工況1的結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)僅采用單個(gè)傳感器時(shí)，通過(guò)優(yōu)化布置傳感器與相應(yīng)激勵(lì)器位置，也可望使模型參數(shù)識(shí)別不確定性與采用4個(gè)傳感器情況下的結(jié)果相當(dāng)。這充分說(shuō)明了傳感器優(yōu)化布置對(duì)于模型參數(shù)識(shí)別的重要性。

此外，從表4中各工況單個(gè)模型參數(shù)的相對(duì)不確定性程度來(lái)看，θ5和θ6的不確定性程度較其余5個(gè)參數(shù)明顯要大很多。參考表1中的橋梁建模參數(shù)定義，這兩個(gè)參數(shù)分別對(duì)應(yīng)于兩個(gè)橋墩的彈性支撐剛度，這表明彈性支撐剛度參數(shù)的識(shí)別精度較其余參數(shù)明顯偏低。這與文獻(xiàn)［15］中關(guān)于某懸臂梁固定端半剛性連接的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度識(shí)別實(shí)驗(yàn)室模型試驗(yàn)結(jié)果相吻合，在該文獻(xiàn)中，作者研究表明固定端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度識(shí)別結(jié)果的不確定性較其余建模參數(shù)大許多。其實(shí)，這一點(diǎn)從本文模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的精度上也可以得到一定程度的體現(xiàn)。具體地，參照表4，分別對(duì)比各工況中單個(gè)模型參數(shù)的識(shí)別值，可以明顯發(fā)現(xiàn)，θ5和θ6的識(shí)別結(jié)果精度相對(duì)于其余參數(shù)較差。應(yīng)該指出，本文算例以θ0＝ones（7，1）作為基準(zhǔn)參數(shù)，計(jì)算加速度響應(yīng)信號(hào)并施加高斯白噪聲以模擬測(cè)量信號(hào)，因而將θ0作為θ的精確值。

表4 三跨連續(xù)梁橋模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果及變異系數(shù)（COV值）Tab.4 Optimal values and associated coefficient of variances（COV）of identified modeling parameters for three-span continuous bridgemodel

為了更直觀地表示各參數(shù)識(shí)別結(jié)果之間的不確定性，本文選取工況4中部分建模參數(shù)，利用公式（3）計(jì)算其識(shí)別結(jié)果的二維邊緣PDF，并對(duì)其進(jìn)行歸一化，結(jié)果如圖3所示。其中，圖3（a）、圖3（b）分別表示θ5與θ6之間、以及θ3與θ5之間的二維歸一化邊緣PDF分布。從圖3（a）中可以明顯地看出，θ5與θ6之間的不確定性程度大致相同。這一點(diǎn)也可以從表4中的有關(guān)結(jié)果中得到印證，因?yàn)閺脑摫淼贸龉r4中θ5與θ6的COV值分別為0．918 7與1．038 6，其數(shù)值上基本相同。對(duì)于θ3與θ5而言，圖3（b）中曲面形狀可以明顯反映出兩參數(shù)之間的相對(duì)不確定性程度，即θ5的不確定性要遠(yuǎn)大于θ3的不確定性，其也與表4的有關(guān)結(jié)果相吻合。

圖3 工況4部分建模參數(shù)識(shí)別結(jié)果的二維歸一化邊緣PDFFig．3 Normalized PDFs of some selected parameters in case 4

3 結(jié) 論

針對(duì)分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系的傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題，本文提出了一種以結(jié)構(gòu)模型修正為目的的傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置方法。該方法將貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識(shí)別方法與信息熵理論相結(jié)合，通過(guò)信息熵定量表征結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性程度，并采用遺傳算法極小化該不確定性以實(shí)現(xiàn)傳感器／激勵(lì)器最優(yōu)布置，以期獲得最大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息量，并使識(shí)別出的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性最小。

文中以一個(gè)雙橋墩帶彈性支撐的三跨連續(xù)梁橋模型為例，通過(guò)一系列數(shù)值仿真工況，先后對(duì)傳感器／激勵(lì)器優(yōu)化布置以及模型參數(shù)識(shí)別相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了仿真研究，并對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證。研究結(jié)果表明，本文方法能同時(shí)識(shí)別分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系給定數(shù)目的傳感器與激勵(lì)器最優(yōu)布置位置；傳感器數(shù)目對(duì)于最優(yōu)化布置結(jié)果及模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果均有較大的影響，即采用較多數(shù)目且經(jīng)過(guò)優(yōu)化布置的傳感器可以減少模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性；經(jīng)過(guò)優(yōu)化布置的較少數(shù)目傳感器可獲得與較多數(shù)目任意布置傳感器相同甚至更小的模型參數(shù)不確定性；就本文算例而言，橋墩彈性支撐剛度參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性較其他參數(shù)大得多，這一點(diǎn)在實(shí)際橋梁建模及分析過(guò)程中應(yīng)予以注意。

應(yīng)該指出，本文方法為典型分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系的傳感器優(yōu)化布置問(wèn)題提供了解決思路，但對(duì)于其他任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系而言，基于有限元方法的離散結(jié)構(gòu)模型則更適合。此外，從表2的識(shí)別結(jié)果中可以推斷，隨著遺傳算法中二進(jìn)制編碼位數(shù)增加，算法的最大分辨會(huì)隨之提高，進(jìn)而使某些相互靠近的最優(yōu)傳感器之間布置距離進(jìn)一步減小，但在實(shí)際應(yīng)用中布設(shè)空間上如此接近的傳感器卻不太可行。而這種現(xiàn)象在傳統(tǒng)的基于有限自由度離散模型的傳感器優(yōu)化布置研究結(jié)果中通常難以觀察到（其對(duì)應(yīng)本文Nbits取較小值情況，如4），除非網(wǎng)格化分足夠細(xì)密。因此，本文研究表明，對(duì)于分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系僅極大化ln（det Q）該單一目標(biāo)函數(shù)似乎不夠，有必要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，從而避免傳感器最優(yōu)識(shí)別位置過(guò)于接近。

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Probabilistic approach for optimal sensor／actuator configuration of distributed-param eter system s based on in formation entropy

YIN Tao
（School of Civil and Architectural Engineering，Wuhan University，430072Wuhan，China）

For distributed-parameter systems，the continuous-coordinated models are more suitable than the conventional FE-based discrete-coordinated models for investigating the optimal sensor placement problems．For the purpose of structuralmodelupdating，a sensor／actuator configurationmethodology for the distributed-parameter system was developed based on both the Bayesian statistical system identification method and information entropy．In the proposed methodology，the Bayesian statistical system identification method was adopted to identify the optimal values and associated uncertainties of the structuralmodeling parameters，whereas the information entropy was employed as a scalar measure to quantify the uncertainties．Then，the problem of optimal sensor／actuator placement was formulated as a continuous optimization problem，in which the information entropy wasminimized by using the genetic algorithm，with the sensor／actuator configurations as theminimization variables．Maximum amountof information about the structuralmodeling parameterswould be obtained if the sensors／actuators are placed at their optimal locations，indicating the uncertainties of identified modeling parameters being minimum．The proposed methodology was verified through a set of numerical simulation cases for a three-span continuous bridgemodelwith two elastic supports at the top of piers．

optimal sensor configuration；structural model updating；Bayesian statistical system identification method；information entropy；genetic algorithm

O211；O321

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．010

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51208390）；湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2011CDB265）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目（271198，273766）

2013－08－07 修改稿收到日期：2013－09－27

作 者尹濤男，博士，副教授，1979年12月生郵箱：tyin＠whu．edu．cn