基于改進(jìn)粒子群算法的約束隱式廣義預(yù)測(cè)控制

吳密密，戴文戰(zhàn)

（1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州310018；2.浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，杭州310018）

基于改進(jìn)粒子群算法的約束隱式廣義預(yù)測(cè)控制

吳密密1，戴文戰(zhàn)2

（1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州310018；2.浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，杭州310018）

針對(duì)大多數(shù)工業(yè)系統(tǒng)的控制輸入輸出都存在約束的情況，提出了一種基于改進(jìn)粒子群算法的廣義預(yù)測(cè)控制算法。廣義預(yù)測(cè)控制算法采用隱式算法，用最小二乘法直接辨識(shí)控制增量表達(dá)式中的參數(shù)，避免求解丟番圖方程；為避免粒子群算法陷入早熟，提高精度，在廣義預(yù)測(cè)控制算法的滾動(dòng)優(yōu)化環(huán)節(jié)采用速度變異的粒子群優(yōu)化算法，克服了受約束優(yōu)化問(wèn)題處理的缺陷，更快更準(zhǔn)確地尋到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。仿真結(jié)果表明了該方法的有效性和良好的控制性能。

隱式廣義預(yù)測(cè)控制；粒子群算法；滾動(dòng)優(yōu)化

0 引 言

工業(yè)過(guò)程的復(fù)雜化迫使人們?nèi)ふ覍?duì)模型要求低、控制效果好、在線(xiàn)實(shí)現(xiàn)較為方便的控制算法。1984年，Clarke提出廣義預(yù)測(cè)控制（GPC）［1］，它具有魯棒性好、模型要求低、在線(xiàn)實(shí)現(xiàn)方便等特點(diǎn)，引起了國(guó)內(nèi)外控制理論界的廣泛重視。

傳統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制假設(shè)對(duì)象的輸入輸出是線(xiàn)性無(wú)約束的，采用梯度尋優(yōu)法獲得控制增量輸入。然而，實(shí)際工業(yè)中的輸入、輸出和控制變化率往往是有約束的，單純地使用傳統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制不能滿(mǎn)足實(shí)際要求。針對(duì)該問(wèn)題，學(xué)者們做了大量研究，提出了多種解決方法。Demirciogˇlu［2］將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題，但是要求目標(biāo)函數(shù)約束可微。金元郁［3］引入了柔化輸入的概念，并且對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，解決了控制過(guò)程輸入受約束的情況。童朝南等［4］采用遺傳算法（GA）來(lái)解決帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，但是遺傳算法需要進(jìn)行二進(jìn)制編碼，不易于程序編寫(xiě)及仿真。一些研究采用了隱式廣義預(yù)測(cè)算法，李國(guó)勇［5］引入隱式廣義預(yù)測(cè)算法，避免了求解丟番圖方程，減少計(jì)算量，劉福才等［6］不但采用隱式廣義預(yù)測(cè)控制算法，同時(shí)還引入了輸入輸出柔化系數(shù)解決計(jì)算量和約束問(wèn)題。還有一些研究引進(jìn)了粒子群算法（PSO）［7-9］，Wang等［7］和蔣朝輝等［8］使用粒子群算法解決存在約束問(wèn)題的GPC的滾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題，肖本賢等［9］則結(jié)合了廣義預(yù)測(cè)控制與PSO優(yōu)化算法解決約束問(wèn)題，該類(lèi)算法可同時(shí)應(yīng)用于無(wú)約束和有約束的控制過(guò)程，然而缺點(diǎn)是采用顯式算法，計(jì)算量較大，且粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)。針對(duì)上述文獻(xiàn)所提出的基于粒子群算法的廣義預(yù)測(cè)控制算法的缺陷，本文研究將速度變異的粒子群算法和隱式廣義預(yù)測(cè)控制算法相結(jié)合，提高優(yōu)化精度和響應(yīng)速度。

1 隱式廣義預(yù)測(cè)控制基本算法

廣義預(yù)測(cè)控制采用受控自回歸積分滑動(dòng)平均（CARIMA）模型，可用下式表示：

式中A（z-1）、B（z-1）、C（z-1）分別為n、m和n階的z-1的多項(xiàng)式，Δ=1-z-1（后移算子），y（k）、u（k）、ξ（k）為實(shí)際對(duì)象的輸出、輸入和均值為0的白噪聲干擾。為計(jì)算方便，令C（z-1）=1。

GPC的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是求取最優(yōu)控制增量序列ΔU，使目標(biāo)函數(shù)值最小，達(dá)到輸出跟蹤系統(tǒng)設(shè)定值的目標(biāo)。目標(biāo)函數(shù)可用下式表示：

式中n和m分別為預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域，為控制加權(quán)系數(shù)，通常為常數(shù)，取值在（0，1）之間。參考軌跡為：

式中yr和y（k）分別為設(shè)定值和系統(tǒng)當(dāng)前輸出。a為柔化系數(shù)，取值在（0，1）之間。引入丟番圖方程，推出最優(yōu)控制率為：

式中：

其中g(shù)0、g1、…、gn-1為系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的前n項(xiàng)。下一刻控制量輸入為：

式中g(shù)T為（GTG+λI）-1GT的第一行。

由公式（4）可知，在λ和W已知的情況下，只需要計(jì)算G和f，即可求得ΔU。根據(jù)參考文獻(xiàn)［5］可知，隱式廣義預(yù)測(cè)控制利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)預(yù)測(cè)方程，可直接得出f，并使用最小二乘法估計(jì)G中的元素。

1.1 隱式廣義預(yù)測(cè)控制矩陣G的求取

廣義預(yù)測(cè)控制的預(yù)測(cè)方程為：

由公式（8）得：

令：

θ（k）用下式遞推最小二乘法估計(jì)：

式中，λ1為遺忘因子，取值范圍在［0，1］之間。由式（9）可以估計(jì)出θ（k），即可求得G中的元素。

1.2 隱式廣義預(yù)測(cè)控制矩陣f的求取

式中，e（k+1）=y（k+1）-y（k+1｜k）為預(yù)測(cè)誤差。

以上是控制對(duì)象無(wú)約束情況下的隱式廣義預(yù)測(cè)控制。實(shí)際上，廣義預(yù)測(cè)控制中存在各種各樣的約束限制，文獻(xiàn)［10］列出了廣義預(yù)測(cè)控制中對(duì)象存在的九種約束限制，本文采用的約束條件為：

其中 Δumin和 Δumax為控 制增 量 的 下 限 與 上 限，

2 粒子群基本算法

其中，c1、c2稱(chēng)為學(xué)習(xí)因子，通常取c1=c2=2。w為慣性權(quán)重，決定繼承當(dāng)前速度的比例，ξ、η為［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，粒子的最大速度為vmax。

每個(gè)粒子的個(gè)體歷史最佳位置更新方程為［8］：

粒子群基本算法是由美國(guó)的Kennedy和Eberhart兩位博士在1995年共同提出來(lái)的一種基于群體智能的演化計(jì)算技術(shù)。

PSO描述了一個(gè)群體中有m個(gè)粒子，在D維空間中以一定的速度飛行即搜索，每個(gè)粒子在搜索的時(shí)候，都在自己曾到過(guò)的最優(yōu)位置和群體中所有個(gè)體歷史最優(yōu)的最優(yōu)位置的基礎(chǔ)上搜索。第i個(gè)粒子的當(dāng)前位置為xi=（xi1，xi2，…，xiD），速度為vi=（vi1，vi2…viD），曾到過(guò)的最優(yōu)位置為pbesti=（pi1，pi2…piD），群體中所有粒子所經(jīng)過(guò)的最優(yōu)位置為gbest=（pg1，pg2，…pgD）。粒子位置和速度更新公式為：

3 基于改進(jìn)粒子群算法的廣義預(yù)測(cè)控制

其中J1為粒子群的適應(yīng)度函數(shù)。

群體中所有粒子所經(jīng)過(guò)的最優(yōu)位置更新方程為：

求解不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題有兩類(lèi)粒子群算法，一種是利用罰函數(shù)先把約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，然后用標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化。另一種是直接在適應(yīng)度函數(shù)中體現(xiàn)不等式約束。單純使用粒子群算法對(duì)高維問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化會(huì)發(fā)生早熟而導(dǎo)致收斂性能差和尋優(yōu)速度相對(duì)較慢［9］的問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，本文將對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)。

3.1 粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)

公式（2）綜合考慮了系統(tǒng)輸出值與給定值的偏差以及控制增量的變化情況。采用公式（2）作為粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)，目的是使得系統(tǒng)優(yōu)化時(shí)系統(tǒng)的輸出與給定值盡量接近，控制增量變化不大。

3.2 粒子群算法的初始化

由文獻(xiàn)［9］可知，PSO中粒子的初始位置是隨機(jī)產(chǎn)生的，所以初始種群中個(gè)體位置分布過(guò)于分散，從而導(dǎo)致了種群中大多數(shù)粒子的初始位置與最優(yōu)位置之間相距很大，算法收斂速度較慢，無(wú)法實(shí)現(xiàn)當(dāng)今工業(yè)化所需的高效性。因此可以選擇利用系統(tǒng)的信息選取質(zhì)量?jī)?yōu)異的初始種群，加快算法的迭代速度。本文在粒子群的初始化過(guò)程中，利用在無(wú)約束條件下對(duì)公式（2）采用梯度尋優(yōu)獲得最優(yōu)序列ΔU，代入約束條件（11）式中，將超出約束條件的序列元素按約束邊界值賦值。然后將ΔU作為初值賦值給粒子群中隨機(jī)選取出來(lái)的α%的粒子，剩余的粒子在約束范圍內(nèi)隨機(jī)賦予初始值，粒子位置的維數(shù)為控制時(shí)域m。這樣既保證了粒子的多樣性，又保證了粒子的優(yōu)質(zhì)性，從而加快了粒子群算法的收斂速度，減少了計(jì)算搜索的時(shí)間。

α%的種群位置初始化過(guò)程為：

種群中粒子的速度在其規(guī)定范圍內(nèi)隨機(jī)初始化。

3.3 粒子群算法的速度變異策略

針對(duì)粒子群算法的早熟問(wèn)題，本文提出一個(gè)變異策略：假設(shè)m個(gè)粒子，速度向量為n維。粒子的速度為vi=（vi1，vi2…vin）。每次迭代對(duì)每個(gè)粒子的n維速度向量的各個(gè)分量的絕對(duì)值進(jìn)行比較，求vit=min｛｜vi1｜，｜vi2｜，…，｜vin｜｝，其中最小的速度以一定的概率ρ進(jìn)行變異［11］，增強(qiáng)了每個(gè)粒子的搜索能力。變異概率ρ的取值會(huì)影響算法的尋優(yōu)能力，而它的取值主要取決于算法的收斂程度。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)試取ρ=0.5。該變異算法的速度更新公式為：

其中d=1，2，…n，t為速度分量最小的維度。

改進(jìn)的粒子群算法具體操作：

Step 1：對(duì)種群中粒子的速度與位置進(jìn)行初始化；

Step 2：計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，根據(jù)公式（14）、（15）更新pbesti和gbest。

Step 3：根據(jù)公式（12）、（13）更新粒子群的速度和位置。

Step 4：尋找每個(gè)粒子中速度絕對(duì)值最小速度分量。

Step 5：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)rand，服從（0-1）分布。比較隨機(jī)數(shù)與變異概率ρ的大小，如果隨機(jī)數(shù)大于變異概率，則粒子速度按公式（17），公式（18）進(jìn)行變異，否則不變化。

Step 6：終止條件判斷。若未達(dá)到終止條件（迭代最大迭代次數(shù)或迭代精度），則轉(zhuǎn)至Step 2。否則，輸出gbest，終止計(jì)算。

基于改進(jìn)PSO優(yōu)化的隱式GPC算法步驟：

Step 1：設(shè)置算法初值，構(gòu)造模型公式（1）。

Step 2：利用廣義預(yù)測(cè)控制最優(yōu)控制率計(jì)算控制增量ΔU，判斷其值是否滿(mǎn)足約束條件。如果滿(mǎn)足條件，則輸出最優(yōu)控制增量ΔU，取其第一個(gè)元素。否則，利用改進(jìn)的PSO算法尋優(yōu)，將控制增量作為優(yōu)化變量，即粒子群優(yōu)化算法中的粒子位置，獲得最優(yōu)控制增量ΔU序列，取其第一個(gè)元素。

Step 3：根據(jù)公式（7）計(jì)算系統(tǒng)下一時(shí)刻輸入量u（k），反饋到控制系統(tǒng)中。

Step 4：轉(zhuǎn)至第二步，反復(fù)進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化，直到控制系統(tǒng)停止工作。

4 仿真研究

隱式廣義預(yù)測(cè)算法中引進(jìn)變異的粒子群算法，由于其增加了粒子的多樣性，解決普通的粒子群易陷入局部最優(yōu)的缺陷，更快更準(zhǔn)確地找到系統(tǒng)最優(yōu)值。這從下面兩個(gè)仿真實(shí)例可以看出。

a）參考文獻(xiàn)［12］，研究帶有約束的線(xiàn)性離散系統(tǒng)，由公式（1）得系統(tǒng)模型：

y（k）-1.001 676y（k-1）+0.241 714y（k-2）=0.235 69u（k-1）+ξ（k）/Δ

隱式廣義預(yù)測(cè)控制參數(shù)：n=6，m=2，λ（j）= 0.5，a=0.35，ξ（k）為［-0.2，0.2］均勻分布的白噪聲，約束Δu（k）在［-1，1］之間［12］。改進(jìn)的PSO參數(shù)：粒子群數(shù)為20，迭代次數(shù)為100，慣性權(quán)重為0.9，學(xué)習(xí)因子均為2。經(jīng)過(guò)MATLAB仿真，三種方法的跟蹤曲線(xiàn)結(jié)果如下圖1所示。

圖1 三種方法系統(tǒng)輸出的仿真結(jié)果

比較圖1中三條曲線(xiàn)，得出在輸入控制增量受限的情況下，采用基于速度變異粒子群算法的隱式廣義預(yù)測(cè)控制算法具有更強(qiáng)的適應(yīng)能力和更好的跟蹤性能。在圖1中可以看出，一般的廣義預(yù)測(cè)控制算法曲線(xiàn)第一次到達(dá)最大峰值點(diǎn)為（8，-0.718 8），穩(wěn)定點(diǎn)為（25，1）；基于未變異的粒子群算法的隱式廣義預(yù)測(cè)曲線(xiàn)第一次到達(dá)最大峰值點(diǎn)為（6，-0.718 7），穩(wěn)定點(diǎn)為（22，1）；基于變異粒子群算法的隱式廣義預(yù)測(cè)曲線(xiàn)第一次到達(dá)最大峰值點(diǎn)為（5，-0.769 2），穩(wěn)定點(diǎn)為（18，1）。由此可見(jiàn)基于變異粒子群算法的隱式廣義預(yù)測(cè)控制算法更快達(dá)到穩(wěn)定值，輸出變化平緩，更加符合實(shí)際要求。

b）研究車(chē)用發(fā)動(dòng)機(jī)的模型［5］，由公式（1）得系統(tǒng)模型：

隱式廣義預(yù)測(cè)控制參數(shù)：n=6，m=2，λ（j）= 0.8，α=0.3，ξ（k）為［-0.2，0.2］均勻分布的白噪聲。約束Δu（k）在［-1，1］之間。

改進(jìn)的PSO參數(shù)：粒子群數(shù)為20，迭代次數(shù)為100，慣性權(quán)重為0.8，學(xué)習(xí)因子均為2。經(jīng)過(guò)MATLAB仿真結(jié)果如下圖2、圖3所示。

圖2 隱式廣義預(yù)測(cè)控制仿真結(jié)果

圖3 變異粒子群的隱式廣義預(yù)測(cè)控制仿真結(jié)果

比較圖2與圖3可知，采用基于速度變異粒子群算法的隱式廣義預(yù)測(cè)控制，其控制輸出的超調(diào)更小，響應(yīng)速度更快，穩(wěn)定性更高，控制增量的變化浮動(dòng)值更小。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)受約束的工業(yè)過(guò)程控制問(wèn)題，提出了混合改進(jìn)的粒子群與隱式廣義預(yù)測(cè)控制的算法，用于解決帶有約束條件的廣義預(yù)測(cè)控制問(wèn)題。通過(guò)仿真結(jié)果的比較，驗(yàn)證了基于改進(jìn)的粒子群算法的隱式廣義預(yù)測(cè)控制的可行性和有效性。該方法具有適用范圍廣，響應(yīng)速度快，穩(wěn)定性高等特點(diǎn)，對(duì)指導(dǎo)實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)有較高的實(shí)用價(jià)值。

由于仿真系統(tǒng)的受限，在設(shè)計(jì)GPC算法中的各個(gè)參數(shù)如控制加權(quán)系數(shù)、柔化系數(shù)、預(yù)測(cè)長(zhǎng)度等，其具體的取值需要通過(guò)不斷的試驗(yàn)才能找到最佳值，目前還沒(méi)有完整的理論體系，有待進(jìn)一步研究。

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［4］童朝南，肖 磊，彭開(kāi)香，等.基于遺傳算法的結(jié)晶器液位約束廣義預(yù)測(cè)控制［J］.控制與決策，2009，24（11）：1735-1739.

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A Kind of Constrained lmplicit Generalized Predictive Control Based on lmproved Particle Swarm Optimization

WU Mi-mi1，DAI Wen-zhan2
（1.School of Mechanical Engineering&Automation，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China；2.School of Information and Electronic Engineering，Zhejiang Gongshang University，Hangzhou 310018，China）

With respect to constrained control input and output of most industrial systems，this paper proposes a kind of generalized predictive control based on improved particle swarm optimization.Generalized predictive control is an implicit algorithm to identify directly parameters in control increment expression by least square method，to avoid solving Diophantine equations；to avoid particle swarm optimization getting into local convergence and improve precision，speed variant particle swarm optimization is used in rolling optimization of generalized predictive control to overcome defect in processing constrained optimization problem and seek optimal objective function value more quickly and precisely.Simulation results show effectiveness and good control performance of this method.

implicit generalized predictive control；particle swarm optimization；rolling optimization

TP273.2

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）03-0301-05

2013-11-06

國(guó)家自然科學(xué)基金（N61374022）；國(guó)家高新技術(shù)研究發(fā)展項(xiàng)目（2009AA04Z139）

吳密密（1989-），女，浙江溫州人，碩士研究生，主要從事智能檢測(cè)與控制等方面的研究。