具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

程樹華

（浙江理工大學機械與自動控制學院自動化研究所，杭州310018）

具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

程樹華

（浙江理工大學機械與自動控制學院自動化研究所，杭州310018）

采用時滯分割法研究了一類具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題，針對狀態(tài)轉移矩陣的轉移率為部分未知的情況，得到了時滯區(qū)間n0等分下的線性矩陣不等式（LMI）形式的遞推公式，并給出了一組穩(wěn)定性判據(jù)。數(shù)值實例表明本方法具有有效性和一定的優(yōu)越性。

時滯分割法；轉移率部分未知；馬氏跳變參數(shù)；廣義時滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式（LMI）

0 引 言

廣義時滯系統(tǒng)［1-3］獲得廣泛研究，時滯分割法是處理時滯有效方法［4-5］。由于外部隨機擾動和系統(tǒng)部件損壞，系統(tǒng)結構會發(fā)生改變。馬氏跳變模型是一種描述上述狀況的有效模型。大多數(shù)關于馬氏跳變系統(tǒng)文獻都假設跳變的轉移率完全已知［6-7］，基于這種假設提出的跳變理論在實際應用中受到了限制。然而，獲得轉移率全部信息并不是一件容易的事情，甚至會為之付出高昂代價。在實際應用中，具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)廣泛存在于網(wǎng)絡系統(tǒng)、大型電力系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等中，這為其實際應用提供了廣闊土壤；理論上，具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)又是一個復雜系統(tǒng)研究的重要方向。

本文研究具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)在轉移矩陣轉移率部分未知情形的穩(wěn)定性條件。針對轉移率部分未知的情況，基于時滯分割法，得到了時滯區(qū)間等分下的線性矩陣不等式（LMI）形式的時滯相關有界實引理的遞推公式。在此基礎上，得到了轉移率完全已知時的穩(wěn)定性分析判據(jù)的推論形式。數(shù)值實例結果表明，時滯區(qū)間越細分，結果保守性就越低。

1 問題描述

考察如下具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時變時滯系統(tǒng)：對于每一個rt=i，i∈Ω，我們記作：A（t，i）=Ai+ ΔAi（t），Ad（t，i）=Adi+ΔAdi（t）。其中，Ai、Adi是已知的實數(shù)矩陣；ΔAi（t）、ΔAdi（t）是未知的實數(shù)矩陣且假設其具有如下形式：其中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；rt是在t時刻的馬氏跳變參數(shù)；每一個rt、A（rt）、Ad（rt）是具有適當維數(shù)的實常數(shù)矩陣，E∈Rn×n且0＜rank（E）≤n。｛rt，t≥0｝是一個在Ω=｛1，2，…，Nm｝上取值的連續(xù)時間馬氏過程，采用如下定義：

馬氏鏈的轉移率是部分未知的情形，即轉移概率矩陣∏的部分元素是未知的，用符號表示為：

3）如果系統(tǒng)（1）是正則、無脈沖且隨機穩(wěn)定的，則其是隨機容許的。

引理1［5］對任意實矩陣X∈Rn×n，X=XT＞0，實數(shù)r＞0，以及使如下的積分有意義的向量函數(shù)：［-r，0］→Rn，則：，其中，

在系統(tǒng)（1）中，d（t）表示在模式rt下的時變時滯，且滿足：0＜d（t）＜ˉd＜∞，˙d（t）≤μ。

定義1：

1）對于一個給定的d＞0，具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時滯系統(tǒng)（1）是正則、無脈沖的，當任意時滯d（t）滿足0＜d（t）≤ˉd＜∞，如果矩陣對（E，A（t，rt））是正則和無脈沖的，rt∈Ω。

2）系統(tǒng)（1）是隨機穩(wěn)定的，如果對于有限初始條件x（t）=φ（t），t∈-ˉd，0和已知初始分布的初始模式r（0）∈Ω，存在一個標量M（x0，r0）滿足如下條件：

引理2 對給定的對稱矩陣Θ、M、N是具有適當維數(shù)的矩陣，矩陣不等式

對于任意的F（t）滿足FT（t）F（T）≤I成立。當且僅當存在一個常數(shù)ε＞0，滿足：

2 主要結果

把時滯區(qū)間 0，ˉd 均分成n0（n0≥2）份，即：，基于這種時滯分割的思想，得到本文主要結果。

定理1 系統(tǒng)（1）是隨機容許的，如果存在正定矩陣Pi＞0，R＞0，Z（1，2，…，n0）＞0，

滿足如下LMI：

其中，

證明：先證明系統(tǒng)（1）是正則、無脈沖的。

由于rank（E）=r≤n，必存在可逆矩陣G∈Rn×n和H∈Rn×n，使得，

同時，有：

根據(jù)（3），~P12i=0，對于每個i∈Ω。由式（4）知：

據(jù)此可知：對于任意的i∈Ω，~A22i和~P22i是非奇異的。從而可知矩陣對（E，Ai）是正則、無脈沖的，根據(jù)引理2可知（E，A（t，rt））是正則無脈沖的。根據(jù)定義1系統(tǒng)（1）是正則、無脈沖的。

其次證明系統(tǒng)（1）是隨機穩(wěn)定的。選擇如下Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

其中，用HT和H，分別左乘、右乘上式得

取L為最小增量，則：

令

則對于任意i∈Ω，有：

因此，必然存在一個正數(shù)ξ，使得

又由Dynkin's formula，對于每一個rt=i，i∈Ω，t＞0，

則根據(jù)定義1，系統(tǒng)（1）在轉移率部分已知的情形下是隨機穩(wěn)定的，從而是隨機容許的，證畢。

推論1 具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時變時滯連續(xù)系統(tǒng)（1）在轉移率完全已知的情況下是隨機容許的，如果存在正定矩陣P（i）＞0，R＞0，

滿足如下LMI：

其中，Λij（i=1，2，…（n0+7）；j=1，2，3，4）

按如下確定：

γij（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4）按如下確定：

其余元素均為零，“*”表示對應元素的轉置。

證明：根據(jù)定理2，即可證明。

3 數(shù)值實例

例1 考慮如下轉移率完全已知的具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時變時滯系統(tǒng)（1）。系統(tǒng)各參數(shù)如下：

表1是文獻［7］和本文的推論1所提供的方法對比結果。結果顯示推論1的情況比文獻［7］具有更低的保守性。

表1 不同μ的時滯的最大允許值對比

例2 考慮轉移率部分已知的具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時變時滯系統(tǒng)（1），Ω=｛1，2，3｝

表2是本文的定理1所提供的方法分別在μ= 0，n0=1，2，3，4下的對比結果。結果顯示，時滯區(qū)間分割的越細，保守性就越低，這說明了本文方法優(yōu)越性和有效性。

表2 時滯的最大允許值對比

表2 時滯的最大允許值對比

n01 2 3 4 ˉd 0.304 0.670 8 1.276 2.465

4 結 論

本研究基于時滯分割法研究了一類具有馬氏跳變參數(shù)的不確定廣義時變時滯連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。實驗結果顯示本文方法對于消除保守性是非常出色的，說明了本方法的有效性和優(yōu)越性。

［1］Nilsson J，Bernhardsson B，Wittenmark B.Stochastic analysis and control of real-time systems with random time delays［J］.Automatica，1998，34（1）：57-64.

［2］Haidar A，Boukas E K.Robust stability criteria for Markovian jump singular systems with time-varying delays［C］//The 47th IEEE Conference on Decision and Control Cancun：IEEE，2008，4657-4662.

［3］Tang B，Liu G H，Gui W H.Improvement of state feedback controller design for networked control systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，Part II：Express Briefs，2008，55（5）：464-468.

［4］Yu JJ，Tan J，Jiang H B，et al.Dynamic output feedback control for Markovian jump systems with time-varying delays［J］.IET Control Theory and Applications，2012，6（6）：803-812.

［5］Wang JR，Wang H J，Xue A K，et al.Delay-dependent H∞control for singular Markovian jump systems with time delay［J］.Nonlinear Analysis：Hybrid Systems，2013，8（5）：1-12.

［6］Liu L J，Gao H L.Delay-dependent H∞control for singular Markovian jump time-delay systems［C］.The 2nd International Conference on Intelligent Control and Information Processing，Harbin：IEEE，2011：946-951.

［7］Wu Z G，Su H Y，Chu J.Robust exponential stability of uncertain singular Markovian jump time-delay systems［J］. Acta Automatica Sinica，2010，36（4）：443-461.

Stability Analysis of Uncertain Generalized Time Delay System with Markovian Jumping Parameters

CHENGShu-hua
（Institute of Automation，School of Mechanical Engineering&Automation，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

This paper studies the problem of stability analysis of uncertain generalized time delay system with Markovian jumping parameters with delay decomposition approach，obtains the recursion formula of linear matrix inequality（LMI）form under n0equal division of time delay interval in allusion to partially unknown transfer rate of state transition matrix and gives a group of stability criteria.Numerical examples show that this method has effectiveness and certain superiority.

delay decomposition approach；partially unknown transfer rate；Markovian jumping parameters；generalized time delay system；linear matrix inequality（LMI）

TP13

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）03-0272-04

2013-09-04

國家自然科學基金（61104094）

程樹華（1984-），男，河南新蔡人，碩士研究生，主要研究方向為復雜系統(tǒng)建模與控制。