蒙特卡洛法在位標器公差分析中的應(yīng)用

陳振中， 彭思平， 劉元云， 顧網(wǎng)平

（上海無線電設(shè)備研究所，上海 200090）

蒙特卡洛法在位標器公差分析中的應(yīng)用

陳振中， 彭思平， 劉元云， 顧網(wǎng)平

（上海無線電設(shè)備研究所，上海 200090）

位標器作為導(dǎo)引頭的關(guān)鍵組件，對整個制導(dǎo)系統(tǒng)精度的提升起著重要作用。以位標器的裝配過程為研究對象，介紹了蒙特卡洛方法在裝配公差分析中的應(yīng)用；討論了蒙特卡洛方法在位標器不同公差特性條件下的適應(yīng)程度；為蒙特卡洛方法在位標器公差分析中的應(yīng)用提供了技術(shù)指導(dǎo)，有效地保證了其在公差分析中的精度。

蒙特卡洛；位標器；公差分析

0 引言

位標器安裝于制導(dǎo)系統(tǒng)的頭部，它是制導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵組件。位標器的用途包括：空間穩(wěn)定、角位置預(yù)定、空間角掃描、目標角度跟蹤等[1]，它的裝配精度是制約導(dǎo)引頭系統(tǒng)制導(dǎo)精度的關(guān)鍵。

位標器具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜，零部件較多的特點，因此在其裝配過程中極易出現(xiàn)累計裝配誤差較大的情況。當封閉環(huán)裝配間隙過大，則需要加裝墊片；當封閉環(huán)裝配過盈量較大，則需要對組成環(huán)零件進行修磨；為了使位標器達到較高的裝配精度，要求裝配人員必須進行反復(fù)修配，因而造成了大量人力物力的浪費。

因此，針對位標器的復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)，提出一套準確的公差分析技術(shù)，可以有效地控制位標器累計裝配誤差，提高位標器的裝配效率，降低制造成本。

公差分析方法大致分為兩類：極值法和概率法。極值法要求裝配過程完全互換，該方法只考慮公差的極限上下偏差，因而對公差的分析過于保守。概率法包括方和根法、田口實驗法、卷積法和蒙特卡洛法[2]，其中，蒙特卡洛方法最為精確。

本文將首先介紹蒙特卡洛公差分析方法的基本原理及其在應(yīng)用過程中的特點，然后將蒙特卡洛方法應(yīng)用于位標器公差分析的實例當中，并分別對不同公差特性的情況進行討論，最后給出結(jié)論。

1 蒙特卡洛公差分析

1.1 蒙特卡洛思想

蒙特卡洛方法的思想：通過隨機模擬某一不確定性事件，產(chǎn)生大量樣本，然后對樣本的響應(yīng)值進行概率統(tǒng)計，進而獲得該不確定事件的參數(shù)評價，如均值、方差、概率等[3]。

蒙特卡洛是以大數(shù)定律為依據(jù)，它的收斂性已經(jīng)得到了證明。蒙特卡洛的應(yīng)用范圍非常廣泛，如數(shù)學(xué)積分、物理過程模擬、風(fēng)險評估等。以求解積分為例，可表示為

式中：f（x）為積分概率；g（x）≥0為積分區(qū)域。

采用蒙特卡洛模擬方法，可通過隨機抽樣進行求解，可表示為

式中：xi為隨機樣本；N為隨機抽樣的數(shù)量；I（xi）為指示函數(shù)，具體計算如式（3）所示：

從式（2）中可以看出，蒙特卡洛方法需要進行大量的隨機模擬，模擬的精度與樣本數(shù)量N有直接的關(guān)系，所以蒙特卡洛方法的計算成本較高。然而，隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展，蒙特卡洛方法的計算成本劣勢逐漸淡化，而其高精度的求解效果逐漸受到重視。

1.2 蒙特卡洛公差分析方法

從上節(jié)內(nèi)容可知，蒙特卡洛方法的核心思想即隨機數(shù)的產(chǎn)生。在各種計算機編程語言中均有隨機數(shù)或者偽隨機數(shù)的生成方法，這些方法足以滿足工程的需要，如VB中的Rnd（），Excel中的RAND（），Matlab中的rand（）。

通常在編程語言中，隨機數(shù)發(fā)生器所產(chǎn)生的樣本RU服從（0，1）區(qū)間上的均勻分布；而在公差分析中，零件的尺寸存在多種分布類型，因而需要將隨機樣本RU由均勻分布轉(zhuǎn)換為其它類型的分布。標準正態(tài)分布RN的轉(zhuǎn)換公式可表示為[4]

由均勻分布隨機數(shù)RU轉(zhuǎn)換為常見的分布類型隨機數(shù)的方法如表1所示[5]，其中μ，σ，λ，a，b，c分別是不同分布類型的參數(shù)。

表1 常見隨機分布類型轉(zhuǎn)換公式

蒙特卡洛公差分析的流程如圖1所示，具體步驟如下所示。

（1）確定各個組成環(huán)的尺寸和公差

包括公差的上下偏差、分布類型、中心偏移系數(shù)等，對于不同零部件的公差類型，可以根據(jù)測試或者歷史數(shù)據(jù)進行評價。然而由于材料、尺寸、加工方式的不同，很難找到一種統(tǒng)一的評價方法，在實際操作中公差分布類型往往依據(jù)經(jīng)驗或假設(shè)進行選擇。

（2）生成組成環(huán)尺寸的隨機數(shù)

生成（0，1）上服從均勻分布的隨機數(shù)，然后依據(jù)組成環(huán)的公差類型進行轉(zhuǎn)換，常見的轉(zhuǎn)換公式如表1所示。隨機數(shù)可以逐個生成，如圖1所示，直至達到抽樣次數(shù)要求；也可以一次性生成，在Matlab中可以一次性生成106～107個樣本，而且直接支持各種分布類型的隨機數(shù)。

圖1 蒙特卡洛公差分析方法流程

（3）分析計算封閉環(huán)尺寸均值和方差

求解公差分析函數(shù)，并對封閉環(huán)公差進行統(tǒng)計處理。

在蒙特卡洛方法中，封閉環(huán)樣本的均值和標準差分別等于封閉環(huán)的均值和方差[6]，封閉環(huán)樣本為Ai，i=1，…，N，則封閉環(huán)均值A(chǔ)aυ求解方法：

封閉環(huán)標準差σ求解方法為

封閉環(huán)公差帶T求解方法，如式（7）所示。在公差分析中，公差帶置信水平通常為99.73%，也即6σ區(qū)間。

封閉環(huán)尺寸上下偏差A(yù)min，Amax的求解方法為

1.3 蒙特卡洛公差分析的幾點討論

蒙特卡洛方法通過大量隨機抽樣，可以實現(xiàn)封閉環(huán)尺寸的精確模擬。然而現(xiàn)有方法對所獲得的封閉環(huán)模擬尺寸的統(tǒng)計處理過程存在一定的誤差，從而造成了蒙特卡洛公差分析的結(jié)果缺乏精度，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）隨機數(shù)設(shè)計空間的變化

隨機數(shù)生成器通常建立在（0，1）區(qū)間均勻分布基礎(chǔ)之上，然后再根據(jù)各組成環(huán)的分布類型進行轉(zhuǎn)換，具體公式如表1所示。然而經(jīng)過轉(zhuǎn)換后，個別分布類型如正態(tài)分布的參數(shù)設(shè)計空間變?yōu)椋?∝，＋∝），而實際的組成環(huán)尺寸必須位于公差帶以內(nèi)，即服從截尾分布。所以，必須將位于組成環(huán)公差帶之外的隨機樣本去除。

（2）組成環(huán)公差中心偏移的影響

現(xiàn)有的方法通常以公差帶、上下偏差以及分布類型等參數(shù)對組成環(huán)尺寸公差進行描述，并假定組成環(huán)的置信水平為99.73%。然而即便上述參數(shù)均為已知的情況下，依然不能確定組成環(huán)公差的具體分布參數(shù)。假設(shè)某服從正態(tài)分布的組成環(huán)公差中心為μA，則依據(jù)公差的置信水平99.73%可知

從式（9）可知，當組成環(huán)公差中心發(fā)生偏移時，組成環(huán)尺寸的標準差σA也將隨之發(fā)生變化，因而在確定組成環(huán)分布參數(shù)時，必須考慮公差中心偏移量的影響。

（3）封閉環(huán)公差分布類型的選擇及處理

當組成環(huán)尺寸都服從正態(tài)分布，且公差函數(shù)為線性時，封閉環(huán)尺寸也將服從正態(tài)分布，此時，封閉環(huán)的公差處理采用式（5）～式（8）是準確的；當組成環(huán)尺寸存在多種分布的情況，且組成環(huán)數(shù)量較多時，則封閉環(huán)近似服從正態(tài)分布。然而，現(xiàn)有的方法很難判斷組成環(huán)數(shù)量是否足夠多，更無法判斷假設(shè)封閉環(huán)服從正態(tài)分布所帶來的具體影響。因此，現(xiàn)有的方法對封閉環(huán)尺寸均采用正態(tài)分布，上下偏差采用3σ準則必然存在一定的誤差。

2 位標器公差分析

位標器某裝配尺寸鏈如圖2所示，其中組成環(huán)為A1，A2，A3，A5，A6，A7，封閉環(huán)為A4。組成環(huán)尺寸及其公差如表2所示。

圖2 位標器裝配尺寸鏈

本文將分以下幾種情況采用蒙特卡洛方法進行公差分析：

a）情況1：組成環(huán)尺寸均服從正態(tài)分布，且尺寸中心位于公差帶中心無偏移；

表2 位標器組成環(huán)尺寸及其公差

b）情況2：組成環(huán)尺寸均服從截尾正態(tài)分布（將公差帶之外的隨機樣本進行過濾），且尺寸中心位于公差帶中心無偏移，組成環(huán)置信水平為99.73%；

c）情況3：組成環(huán)尺寸均服從正態(tài)分布，且尺寸中心存在偏移：μA1=38.206，μA2=2.601，μA3=4.301，μA5=8.706，μA6=13.221，μA7=12.596；

d）情況4：組成環(huán)尺寸均服從均勻分布，且均勻分布上下界分別為公差帶的上下偏差；

e）情況5：組成環(huán)尺寸A1，A2，A7服從截尾正態(tài)分布，置信水平為99.73%，且中心偏移：μA1=38.206，μA2=2.601，μA7=12.596；A3，A5，A6服從均勻分布，且均勻分布上下界分別為公差帶的上下偏差。

本文采用Matlab軟件進行仿真模擬，每種情況的抽樣次數(shù)均為109，公差分析結(jié)果如表3所示。采用極值法在以上五種情況中得到的結(jié)果完全一樣，而且過于保守；蒙特卡洛方法所獲得結(jié)果差異較大，其中，“樣本極限值”表示封閉環(huán)尺寸在所有樣本中出現(xiàn)的最大最小值。

表3 位標器封閉環(huán)公差分析結(jié)果對比

“裝配成功率”定義：在蒙特卡洛法抽取的所有封閉環(huán)樣本中，位于公差帶內(nèi)的樣本出現(xiàn)的頻次。本文中蒙特卡洛方法與現(xiàn)有方法保持一致，即假定封閉環(huán)尺寸服從正態(tài)分布，且公差帶置信水平為99.73%，因而“裝配成功率”越接近“99.73%”，則表示蒙特卡洛方法越精確。

從表3中可以看出，第一種情況，組成環(huán)尺寸均服從正態(tài)分布，它的“裝配成功率”為99.73%。因而對于該種情況，蒙特卡洛方法假設(shè)封閉環(huán)尺寸服從正態(tài)分布是準確的，如圖3所示，封閉環(huán)尺寸的隨機樣本頻次分布圖與正態(tài)分布完全一致。

第二種情況組成環(huán)為截尾正態(tài)分布。它的標準差為0.0156，比第一種情況的標準差略微減小，公差帶也有所縮減；“裝配成功率”為99.76%，較正態(tài)分布有所提高。因此，當組成環(huán)尺寸服從截尾正態(tài)分布，則封閉環(huán)尺寸的公差帶將有所縮減，且該公差帶的選取具有保守傾向。如圖4所示，封閉環(huán)尺寸的隨機樣本頻次分布圖與正態(tài)分布基本一致。

圖3 組成環(huán)為正態(tài)分布

圖4 組成環(huán)為截尾正態(tài)分布

第三種情況組成環(huán)尺寸服從正態(tài)分布，且尺寸中心具有一定的偏移量。從表3中可以看出，封閉環(huán)尺寸均值為1.9830，較第一、二種情況有所偏移，標準差0.156，較第一種情況略微減小，公差帶為[2.0299，1.9361]，有明顯的縮小。該種情況變化的原因是尺寸中心偏移后，尺寸標準差將減小，具體可由式（9）進行計算。然而，尺寸中心偏移并不影響“裝配成功率”，且封閉環(huán)尺寸服從正態(tài)分布，如圖5所示，封閉環(huán)尺寸的隨機樣本頻次分布圖與正態(tài)分布完全一致。

第四、五種情況，組成環(huán)尺寸分別為均勻分布和混合分布。從表3中可知，該兩種情況封閉環(huán)的標準差明顯增大，公差帶范圍隨之增大，裝配成功率也明顯大于目標值99.73%，從圖6、7中可以看出，封閉環(huán)尺寸的隨機樣本頻次分布圖相對于正態(tài)分布有明顯的變矮變胖的趨勢。因此，針對該兩種情況，采用蒙特卡洛方法所計算的結(jié)果過于保守。

圖5 組成環(huán)為正態(tài)分布、且中心偏移

圖6 組成環(huán)為均勻分布

圖7 組成環(huán)為混合分布

3 結(jié)論

本文以位標器裝配公差為研究對象，介紹了蒙特卡洛方法在公差分析中的一般步驟，并探討了蒙特卡洛方法在五種不同情況下的適應(yīng)程度。

蒙特卡洛方法中，組成環(huán)尺寸樣本如果按照無限區(qū)域的分布類型進行抽樣，將與生產(chǎn)實際不相符；然而如果按照截尾分布類型進行抽樣，則封閉環(huán)尺寸將不完全服從正態(tài)分布的假設(shè)。當組成環(huán)尺寸的分布類型具有多樣化的情況，且組成環(huán)的個數(shù)不足夠大時，封閉環(huán)尺寸公差的選取將會出現(xiàn)保守的趨勢。以上這些情況，在位標器裝配分析過程中，應(yīng)該給與充分考慮，避免公差設(shè)計過于保守而引起制造成本的浪費。

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Monte Carlo Simulation and its Application in Position Marker Tolerance Analysis

CHEN Zhen-zhong， PENG Si-ping， LIU Yuan-yun， GU Wang-ping
（Shanghai Radio Equipment Research Institute，Shanghai 200090，China）

Position marker is an important component of the seeker；it has a critical impact on the accuracy of the guidance system.Focuses on the assembling process of the coordinator，introduces the application of the Monte Carlo simulation（MCS）method in assembling tolerance analysis and discusses the application of the MCS in several different tolerance conditions.This paper gives the guidance of the using MCSin coordinator tolerance analysis to avoid unnecessary error.

Monte Carlo；position marker；tolerance analysis

TJ765.232

A

1671-0576（2014）03-0055-06

2013-12-05

國家自然科學(xué)基金資助項目，編號51405302。

陳振中（1986-），男，博士，工程師，主要從事機械裝配工藝與可靠性工作。