考慮齒面變摩擦系數(shù)的斜齒輪傳動變速過程動力學(xué)分析

劉長釗，秦大同，廖映華

（重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）

考慮齒面變摩擦系數(shù)的斜齒輪傳動變速過程動力學(xué)分析

劉長釗，秦大同，廖映華

（重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）

建立了含齒面摩擦的平行軸斜齒圓柱齒輪傳動變速過程動力學(xué)模型，在建立模型時，接觸線的位置和滑動速度是由主動輪轉(zhuǎn)角確定，使用齒輪線位移和角位移作為廣義坐標，因此這樣的模型可適用于斜齒輪傳動系統(tǒng)的變速過程分析，而且在該模型中，齒面摩擦力是用變摩擦系數(shù)獲得的。選擇一對斜齒輪對其加速過程進行數(shù)值計算，并與采用定摩擦系數(shù)和不考慮摩擦的計算結(jié)果在時域和魏格納分布上進行對比分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：摩擦?xí)档托饼X輪傳動系統(tǒng)出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速，且具有阻尼和激勵的雙重作用，能改變斜齒輪傳動的動力學(xué)響應(yīng)，而且采用變摩擦系數(shù)或定摩擦系數(shù)所獲得的動力學(xué)響應(yīng)也有所不同。

斜齒輪；動力學(xué)模型；齒面摩擦；變摩擦系數(shù)；變速過程

齒面摩擦力的主要影響有：加速輪齒失效，引起系統(tǒng)振動與噪聲等。在一定工況下，齒面摩擦力對齒根彎曲與齒面接觸疲勞強度的影響不能忽略。齒面摩擦力在點蝕形成、齒根裂紋萌生與擴展以及輪齒斷裂過程中起到加速作用［1］。同時，齒面摩擦力影響齒輪傳動的動態(tài)特性，是齒輪傳動的振動與噪聲激勵源［2－5］。對于啟停頻繁和轉(zhuǎn)速波動較大的齒輪傳動系統(tǒng)，其變速過程占有很大的比例，變速過程動力學(xué)模型的研究對降低齒輪傳動的振動和噪聲具有重要的意義，尤其是在齒輪傳動的抗疲勞設(shè)計時，需要獲得一次啟停中包括加速、穩(wěn)定運轉(zhuǎn)和減速過程的輪齒載荷譜。

在實際應(yīng)用中通常采用摩擦系數(shù)計算式來建立含齒面摩擦力的斜齒輪傳動動力學(xué)模型。前人提出了很多摩擦系數(shù)計算式［6－9］；ISO也提出了一個摩擦系數(shù)計算式［10］；Xu等［11］運用非牛頓流體熱彈流潤滑理論擬合得到了一個摩擦系數(shù)計算式，該計算式考慮了當量半徑、滑滾率、卷吸速度等對摩擦系數(shù)的影響，而且有實驗驗證可信度較高。對于含摩擦力的直齒輪動力學(xué)，前人已做了很多研究。He等［2］建立了包含摩擦力的直齒輪動力學(xué)模型。隨后，He等［12］比較了不同摩擦系數(shù)計算式對直齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)的影響。對于含摩擦力的斜齒輪動力學(xué)，也有一些學(xué)者進行了研究。Velex等［3］用解析的方法研究了齒面摩擦力對無誤差的直齒和斜齒輪系統(tǒng)動力學(xué)的影響。He等［13］采用定摩擦系數(shù)建立了包含齒面摩擦力的斜齒輪傳動動力學(xué)模型。在前人所建的含摩擦的齒輪動力學(xué)模型中，大多采用定摩擦系數(shù)［2－3，13］，但是在齒輪嚙合過程中摩擦系數(shù)是變化的［11］。He等［13－15］在建立斜齒輪動力學(xué)模型時做了如下假設(shè)：接觸線的位置和相對滑動速度由齒輪副的平均角運動來確定，因此他們所建立的動力學(xué)模型只適用于傳動系統(tǒng)穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時的振動分析。

鑒于此，本文首先分析了斜齒輪的嚙合過程以獲得接觸點的當量半徑和切向速度的變化規(guī)律；然后采用Xu等［11］提出的變摩擦系數(shù)計算式來建立含齒面摩擦的斜齒輪動力學(xué)模型，在建立模型時，接觸線的位置和滑動速度是由主動輪轉(zhuǎn)角來確定，而且使用齒輪線位移和角位移作為廣義坐標，因而該模型可適用于斜齒輪傳動系統(tǒng)的變速過程分析；最后選取一個加速過程的實例進行分析，并與采用定摩擦系數(shù)和不考慮摩擦所得的結(jié)果在時域和魏格納分布上對比分析。

1 斜齒圓柱齒輪嚙合過程分析

圖1（a）為一對斜齒輪傳動的示意圖，齒輪1為主動輪且為右旋。N1N′1N2N′2為與兩斜齒輪的基圓柱相切的理論嚙合平面，B1B′1B2B′2為端面重合區(qū)域，直線K1K2為兩輪齒的接觸線。圖1（b）和（c）分別是當εα≥εβ和εα＜εβ時接觸線在嚙合平面上的運動圖，εα、εβ分別是端面重合度和軸向重合度。兩斜齒輪的齒面接觸可以等效為兩圓臺接觸，如圖2所示，rt1和rt2分別為兩等效圓臺前端半徑，N1N′1和N2N′2分別為兩圓臺的轉(zhuǎn)動軸線，對應(yīng)于圖1中理論嚙合平面與基圓柱的切線N1N′1和N2N′2。設(shè)瞬時接觸線在任意點K與齒輪前端面距離為l。

K點的端面曲率半徑：

式（1）中j＝1，2，對應(yīng)于齒輪1和2，遇到可選符號時，上面的符號對應(yīng)于齒輪1，下面的符號對應(yīng)于齒輪2。以上約定適用于式（2）、（3）和（4）。

K點的法向曲率半徑：

等效圓臺前端的半徑為：

圖1 斜齒圓柱齒輪傳動示意圖Fig.1 Schematic diagram of the helical gear transmission

圖2 圓臺接觸模型Fig.2 Contactmodel of circular truncated cones

2 含齒面摩擦的平行軸斜齒圓柱齒輪動力學(xué)模型

不考慮齒輪的扭擺振動且不計阻尼，采用集中參數(shù)法建立動力學(xué)模型。該模型考慮了系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)、橫向和軸向運動，如圖4所示。Fy、Fz分別為嚙合力在y向和z向的分力，f為齒面摩擦力；kxj、kyj和kzj分別是齒輪j（j＝1，2）的x向、y向和z向的支撐剛度；xj、yj和zj分別為齒輪j的x向、y向和z向線位移，θj為齒輪j繞z軸的角位移。選?。踴1y1z1θ1x2y2z2θ2］為廣義坐標建立如式（5）的動力學(xué)模型，式（5）中，T1和T2分別為驅(qū)動力矩和負載力矩，F(xiàn)m為兩齒輪間的嚙合力，M1和M2

分別為作用在齒輪1和齒輪2上的摩擦力矩。

圖3 斜齒輪嚙合示意圖Fig.3 Schematic diagram ofmeshing of the helical gears

圖4 考慮齒面摩擦的平行軸斜齒圓柱齒輪動力學(xué)模型Fig.4 Dynamicmodel of parallel-axis helical gears including friction between the contact teeth

3 嚙合力、摩擦力和摩擦力矩的計算

3.1 嚙合力的計算

以δyi、δzi分別表示第i個嚙合齒對在y向和z向的彈性變形，以壓縮變形為正；eyi、ezi分別表示第i個嚙合齒對在y向和z向的齒面誤差，eyi、ezi隨齒輪1的轉(zhuǎn)角和在接觸線上位置的變化而變化。

考慮齒面分離的影響，第i個嚙合齒對沿接觸線的法向彈性變形δi：

沿接觸線單位長度的法向嚙合剛度用ku表示，參考文獻［16］，針對斜齒傳動的嚙合特點，可推導(dǎo)出第i個嚙合齒對的嚙合力Fmi：

3.2 摩擦力的計算

本文選用Xu等［11］提出的摩擦系數(shù)計算式，如式（11）。

3.3 摩擦力矩的計算

摩擦力對兩齒輪中心的力臂不相同，K點摩擦力對齒輪j（j＝1，2）力臂為rtkj。

第i個嚙合齒對間的摩擦力對齒輪j的摩擦力矩Mji：

4 實例分析

本文選取一個斜齒輪傳動實例并對其動力學(xué)模型進行數(shù)值仿真，斜齒輪傳動的參數(shù)如表1，這是一個從靜止開始的加速過程，仿真分析所得結(jié)果是非穩(wěn)態(tài)信號。將所得結(jié)果與采用定摩擦系數(shù)的動力學(xué)模型所得結(jié)果在時域和魏格納分布上進行了對比分析。

表1 斜齒輪傳動參數(shù)表Tab.1

圖5齒輪1的角速度Fig.5 The angular velocity of the gear 1

圖5給出的是在采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦?xí)r齒輪1的角速度。從圖5可以看出，齒輪1的平均角速度直線增加，這驗證了本模型可以應(yīng)用于斜齒輪傳動的變速過程?？紤]摩擦的齒輪1的平均角速度斜率比不考慮摩擦斜率要小，這說明了摩擦力具有阻尼的作用。變摩擦系數(shù)的斜率略大于定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）的斜率，這說明此實例中的變摩擦系數(shù)的均值略小于0.03。

圖6給出的是在采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦?xí)r齒輪副動態(tài)嚙合力（用Fm表示）的時域響應(yīng)（分別對應(yīng)圖6（a、b、c））和魏格納分布（分別對應(yīng)圖6（d、e、f））。從圖6（a、b、c）可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦均會出現(xiàn)脫嚙的現(xiàn)象。采用變摩擦系數(shù)時，在0.53 s附近出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象，對應(yīng)齒輪1角速度為960 rad/s；采用定摩擦系數(shù)時，在0.6 s附近出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象，對應(yīng)齒輪1角速度為1 050 rad/s；不考慮摩擦?xí)r，在0.86 s附近出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象，對應(yīng)齒輪1角速度為1 685 rad/s，這說明考慮摩擦使得出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速降低，而且使用變摩擦系數(shù)比采用定摩擦系數(shù)下降得更明顯。在未出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象時，考慮摩擦的動態(tài)嚙合力波動范圍比不考慮摩擦小，這說明在未出現(xiàn)脫嚙時，摩擦力表現(xiàn)出阻尼的作用，抑制動態(tài)嚙合力的波動。在出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象之后，考慮摩擦的動態(tài)嚙合力迅速增加而且有發(fā)散的趨勢，而且采用變摩擦系數(shù)的動態(tài)嚙合力比采用定摩擦系數(shù)略大，這說明在出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象之后，摩擦加劇了動態(tài)嚙合力的波動，而且與定摩擦系數(shù)相比，采用變摩擦系數(shù)使得動態(tài)嚙合力的波動較明顯。從圖6（d、e、f）可以看出，在未出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象時，考慮摩擦力的低頻成分（700 Hz和1 200 Hz）比不考慮摩擦要低，考慮摩擦力的高頻成分（2 000 Hz）比不考慮摩擦要高，這說明摩擦力增強了齒輪傳動系統(tǒng)的高頻成分。在出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象之后，考慮摩擦?xí)r動態(tài)嚙合力的頻率成分很混亂，相比于定摩擦系數(shù)，采用變摩擦系數(shù)使得動態(tài)嚙合力頻率成分較混亂，而在不考慮摩擦?xí)r，其頻率成分基本無變化。

圖6 齒輪副動態(tài)嚙合力的時域響應(yīng)（a，b，c）和魏格納分布（d，e，f）Fig.6 Time domain responses（a，b，c）and Wigner-Ville distributions（WVDs）（d，e，f）of dynamicmeshing forces of the gear pair

圖7給出的是在采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦?xí)r齒輪1在垂直于嚙合線方向（x方向）的加速度（用ax1表示）的時域響應(yīng)（分別對應(yīng)圖7（a、b、c））和魏格納分布（分別對應(yīng)圖7（d、e、f））。如圖7（c）所示，在不考慮摩擦?xí)r，x方向沒有加速度，這說明了摩擦力是x方向振動的激勵源。由于本文中實例是一個加速過程，齒輪轉(zhuǎn)速隨時間增加而增加。對比圖7（a）和圖7（b）可以看出，與定摩擦系數(shù)相比，在轉(zhuǎn)速較低時，采用變摩擦系數(shù)的x方向的加速度幅值較低，然而在轉(zhuǎn)速較高時，采用變摩擦系數(shù)的x方向的加速度幅值較高。從魏格納分布中也可以發(fā)現(xiàn)與時域響應(yīng)相同的趨勢。

圖8給出的是在采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦?xí)r齒輪1在嚙合線方向（y方向）的加速度（用ay1表示）的時域響應(yīng)（分別對應(yīng)圖8（a、b、c））和魏格納分布（分別對應(yīng)圖8（d、e、f））。圖9給出的是在采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦?xí)r齒輪1在齒輪軸向（z方向）的加速度（用az1表示）的時域響應(yīng)（分別對應(yīng)圖9（a、b、c））和魏格納分布（分別對應(yīng)圖9（d、e、f））。從圖8（a、b、c）可以看出，考慮摩擦的y向加速度出現(xiàn)了截止值，其起始時間與出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象的時間相對應(yīng)，然而在未考慮摩擦?xí)r，出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象后，y向加速度并沒有出現(xiàn)截止值。在未出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象時，考慮摩擦的y方向加速度波動范圍比不考慮摩擦小，這說明在未出現(xiàn)脫嚙時，摩擦力表現(xiàn)出阻尼的作用，抑制齒輪在嚙合線方向的振動。在出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象之后，考慮摩擦的y方向加速度迅速增加而且有發(fā)散的趨勢，而且采用變摩擦系數(shù)的y方向加速度比采用定摩擦系數(shù)略大。從圖8（d、e、f）可以看出，在未出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象時，考慮摩擦力的低頻成分（700 Hz和1 200 Hz）比不考慮摩擦要低，考慮摩擦力的高頻成分（2 000 Hz）比不考慮摩擦要高，這說明摩擦增強了齒輪傳動系統(tǒng)的高頻成分。在出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象之后，考慮摩擦?xí)r，y方向加速度的頻率成分很混亂，而且相比于定摩擦系數(shù)，采用變摩擦系數(shù)使得y方向加速度頻率成分較混亂，但是在不考慮摩擦?xí)r，其頻率成分基本無變化。對比圖8和圖9可以發(fā)現(xiàn)：摩擦（采用變摩擦系數(shù)或定摩擦系數(shù)）對齒輪嚙合線方向和軸向的振動具有相似的影響規(guī)律，這是因為齒輪嚙合線方向和軸向振動的激勵源分別為斜齒輪的動態(tài)嚙合力在齒輪嚙合線方向和軸向的分量。

圖7 齒輪1在垂直于嚙合線方向（x方向）加速度的時域響應(yīng)（a，b，c）和魏格納分布（d，e，f）Fig.7 Time domain responses（a，b，c）and Wigner-Ville distributions（WVDs）（d，e，f）of acceleration of the gear 1 in the off-line-of-action direction（x－direction）

圖8 齒輪1在嚙合線方向（y方向）加速度的時域響應(yīng)（a，b，c）和魏格納分布（d，e，f）Fig.8 Time domain responses（a，b，c）and Wigner-Ville distributions（WVDs）（d，e，f）of acceleration of the gear 1 in the line-of-action direction（y－direction）

圖10給出的是在采用變摩擦系數(shù)、定摩擦系數(shù)（μ＝0.03）和不考慮摩擦?xí)r齒輪1的角加速度（用α1表示）的時域響應(yīng)（分別對應(yīng)圖10（a、b、c））和魏格納分布（分別對應(yīng)圖10（d、e、f））。對比圖6和圖10，也可以發(fā)現(xiàn)齒輪1的角加速度的變化規(guī)律與動態(tài)嚙合力相似，這是因為斜齒輪的動態(tài)嚙合力和齒輪1的外加力矩的合力矩是齒輪1周向振動的激勵源，而外加力矩又是恒定的。

圖9 齒輪1軸向（z方向）加速度的時域響應(yīng)（a，b，c）和魏格納分布（d，e，f）Fig.9 Time domain responses（a，b，c）and Wigner-Ville distributions（WVDs）（d，e，f）of axial（z－direction）acceleration of the gear 1

5 結(jié) 論

（1）本文采用變摩擦系數(shù)建立了含齒面摩擦的斜齒輪傳動動力學(xué)模型。在建立斜齒輪傳動動力學(xué)模型時，接觸線的位置和滑動速度是由主動輪轉(zhuǎn)角決定的，使用齒輪線位移和角位移作為廣義坐標，因此該模型可適用于斜齒輪傳動系統(tǒng)的變速過程分析。

（2）與不考慮摩擦相比，摩擦?xí)黠@改變斜齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)特性：摩擦作為激勵源使齒輪在垂直于作用線的方向上產(chǎn)生振動；摩擦?xí)档托饼X輪傳動系統(tǒng)出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速；在未出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象時，摩擦具有阻尼作用，可以抑制作用線方向、周向的振動和嚙合力波動；出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象之后，摩擦?xí)觿∽饔镁€方向、軸向和周向的振動和嚙合力波動。

（3）采用變摩擦系數(shù)和定摩擦系數(shù)所獲得的動力學(xué)響應(yīng)也有所不同。與定摩擦系數(shù)相比，在轉(zhuǎn)速較低時，采用變摩擦系數(shù)的摩擦力在垂直于作用線方向的激勵作用較弱，而在轉(zhuǎn)速較高時則較強。與定摩擦系數(shù)相比，變摩擦系數(shù)使得斜齒輪傳動系統(tǒng)出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象的最低轉(zhuǎn)速下降得更多，而且使脫嚙之后的作用線方向、軸向和周向的振動和嚙合力波動增加。在實際應(yīng)用中，齒面摩擦系數(shù)是隨當量半徑、滑滾率、卷吸速度、表面粗糙度等的變化而變化的，因此有必要使用變摩擦系數(shù)來建立含摩擦的斜齒輪動力學(xué)模型。

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Dynam ic model for a parallel-axis helical gears transm ission system based on variable friction coefficient between contact teeth

LIU Chang-zhao，QIN Da-tong，LIAO Ying-hua
（State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

A dynamic model for a parallel-axis helical gears system was proposed containing friction between contact teeth，it could be used in its dynamic analysis of variable speed process.In thismodel，the position of the contact line and sliding velocity were determined with the angular displacement of the driving gear，and the translational displacements and angular displacements of gears were taken as generalized coordinates，so the model could be used to analyze the variable speed process of the gear transmission system.Furthermore，the friction was calculated with the variable friction coefficient.The accelerating process of an example was numerically simulated with themodel proposed here and the dynamic responseswere compared with those using amodel utilizing constant friction coefficient and amodel without friction.The comparison showed that the friction lowers the critical speed ofmeshing aparting of the gear system and has effects of damping and excitation，it affects the dynamic responses of the gear system；moreover，the variable friction coefficient and the constant friction coefficient have different effects on the dynamic responses of the gear system.

helical gears；dynamic model；friction between contact teeth；variable friction coefficient；variable speed process

TH117.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.025

973計劃（2014CB046304）

2013－10－21 修改稿收到日期：2014－01－02

劉長釗男，博士生，1990年生

秦大同男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1956年生