軸向受壓運(yùn)動梁橫向振動特性的數(shù)值分析

陳紅永，陳海波，張培強(qiáng)

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230026）

軸向受壓運(yùn)動梁橫向振動特性的數(shù)值分析

陳紅永，陳海波，張培強(qiáng)

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230026）

針對Galerkin截斷法在計算軸向受載運(yùn)動梁的固有特性時，低階頻率誤差較大的問題，通過引入軸向力作用對試函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，分析了兩端固支和固支－自由邊界條件下的Timoshenko運(yùn)動梁在軸向壓力作用下振動特性。結(jié)果表明：分析軸向受壓運(yùn)動梁的低階彈性振動時，軸向力作用不可忽略；改進(jìn)方法在軸向載荷較大時計算低階頻率有較大改進(jìn)，而且對于不同邊界條件有很好的適應(yīng)性；軸向壓力和運(yùn)動效應(yīng)的共同作用更易引起梁的失穩(wěn)狀態(tài)。

Galerkin法；軸向受壓；軸向運(yùn)動梁；振動特性

軸向運(yùn)動系統(tǒng)在航空航天、工程機(jī)械等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［1－3］，對其橫向振動特性的研究對于其設(shè)計和改善系統(tǒng)性能有著重要的意義。?z等［4］采用多尺度方法研究了軸向運(yùn)動速度變化梁的非線性振動和穩(wěn)定性問題；劉寧等［5］采用修正Galerkin方法求解了移動質(zhì)量作用下的軸向運(yùn)動懸臂梁系統(tǒng)的振動特性；李彪等［6］采用復(fù)模態(tài)方法研究了端部扭簧作用的混雜邊界的軸向運(yùn)動梁的橫向振動。以上研究都是基于Bernoulli-Euler梁理論對軸向運(yùn)動梁進(jìn)行建模，而采用Timoshenko梁進(jìn)行建?？梢钥紤]剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的影響，更加精確。Tang等［7］建立了軸向受拉運(yùn)動梁的橫向振動Timoshenko梁模型，也通過復(fù)模態(tài)方法分析了不同對稱邊界條件下梁的固有頻率和振型；采用Galerkin截斷方法計算同一模型的固有頻率時，簡支工況下與復(fù)模態(tài)方法具有較好一致性［8］，而對于固支邊界條件下的分析，發(fā)現(xiàn)剛度系數(shù)較大時Galerkin方法與復(fù)模態(tài)或DQM方法相比誤差較大［9］。

以上模型都是建立在軸向不受載或受拉力載荷基礎(chǔ)上的，并未針對軸向受壓力作用的運(yùn)動梁的振動特性開展研究，而且都未對軸向載荷對運(yùn)動梁振動特性的影響進(jìn)行深入分析。但對于靜態(tài)梁來說，不同邊界條件下軸向壓力效應(yīng)對低階振動影響很大［10－11］，而且對于很多航天器或其部件來說，低階振動在實(shí)際服役過程中占主導(dǎo)，所以對低階特性的精確分析有著重要的意義。之前的研究都未考慮軸向壓力和運(yùn)動效應(yīng)的耦合作用，因此本文建立了軸向受壓運(yùn)動Timoshenko梁的控制方程，通過引入軸向壓力的作用構(gòu)造了基于Galerkin截斷法的改進(jìn)方法，在對稱和非對稱邊界條件下對模型的振動特性進(jìn)行分析，并與微分求積法（Differential Quadrature Method，DQM）的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證比較，并給出了相關(guān)結(jié)論。

1 力學(xué)模型及數(shù)值求解

其中：k1、k2表征剪切模量的大小，k3、k4分別表征扭轉(zhuǎn)角度及彎曲剛度的大??；式（2）包含了橫向振動關(guān)于無量綱軸向坐標(biāo)x和時間t的1～4階偏導(dǎo)數(shù)。不同邊界條件將在算例中給出。

兩端固支梁的靜態(tài)屈曲臨界載荷為Ncr＝4π2EI/L2，定義無量綱載荷系數(shù)為實(shí)際壓力與臨界壓力的比值：

由圖1可見，其中λ2、λ3和λ4基本呈線性緩慢下降，但λ1下降速度快些，它在kn＞0.8以后明顯加快，并在kn接近1時急速下降為0。由此可見軸向壓力的影響主要集中在第一階固有頻率，對于其它固有頻率的影響不明顯。

將邊界條件式（6）和式（7）代入式（5），可得軸力作用下梁的振型函數(shù)［10］：

（1）兩端固支梁

圖1 前四階特征值隨壓力系數(shù)的變化Fig.1 First four eigenvalues vs.load

原始Galerkin截斷法（Original Galerkin Method，OGM）不考慮軸向力影響，采用的試函數(shù)無法反映軸力影響。而本文的振型函數(shù)既同時滿足位移和力的邊界條件，同時也已考慮了軸向力的作用，相應(yīng)的分析方法即基于Garlerkin方法的改進(jìn)法（Modified Galerkin Method，MGM）。文獻(xiàn)［9］的分析結(jié)果表明，對于軸向運(yùn)動梁，在一定條件下，復(fù)模態(tài)和DQM方法均能給出高精度結(jié)果，故為進(jìn)行對比，本文同時采用DQM方法計算相同模型的固有頻率，詳細(xì)過程略去。

2 算例及結(jié)果

設(shè)置典型的薄壁圓筒結(jié)構(gòu)的軸向均勻梁參數(shù)，L＝1 m，I＝1.67×10－5m4，A＝0.02 m2，E＝100 GPa，μ＝0.3，ρ＝1.89×103kg/m3，分別對兩種邊界條件進(jìn)行分析。

2.1 兩端固支梁

采用改進(jìn)方法在載荷系數(shù)較小kn＝0.01～0.1時分別取不同截斷項數(shù)n＝1，2，4，計算系統(tǒng)的1、2階無量綱固有頻率ω與DQM方法進(jìn)行對比。

計算第1、2階固有頻率，比較不同截斷項數(shù)對計算誤差的影響，如圖2所示。計算第一階頻率時截斷項數(shù)n＝1，OGM和MGM誤差均較大，而取n＝2時結(jié)果收斂，并與DQM法一致性很好；計算第2階頻率時，取n＝2，當(dāng)梁軸向運(yùn)動速度較大時OGM和MGM法誤差均較大，而n＝4結(jié)果兩種方法對應(yīng)的都較好，可見截斷項數(shù)對計算誤差影響很大，后面部分都采用四階截斷項數(shù)。在剛度系數(shù)k4較大時，即kn＜0.1時，OGM和MGM結(jié)果與DQM法一致性很好，可見當(dāng)軸向壓力較小時OGM和MGM可以得到較好的結(jié)果。

圖3給出了當(dāng)kn＝0.9，0.93時，三種方法計算得到的前兩階固有頻率。當(dāng)kn＝0.9時，MGM計算得到的前兩階頻率與DQM結(jié)果一致性較好，而OGM誤差較大。kn＝0.93時，OGM計算得到的第1階固有頻率已經(jīng)降為0，而MGM與DQM較為接近，三種方法計算得到的第二階頻率較為接近。計算結(jié)果表名明對于對稱邊界條件下計算系統(tǒng)一階頻率時，當(dāng)載荷系數(shù)較大（接近臨界載荷）時MGM能夠得到更好的結(jié)果，而OGM誤差變大的原因在于此時試函數(shù)所用第一階特征根與無軸力時相比差別最大。對于二階模態(tài)，因?yàn)榈诙?、三和四階特征根受軸向壓力影響有限，則三種方法計算得到的結(jié)果差別不大。

圖2 軸力較小OGM/MGM/DQM第一、二階頻率與速度關(guān)系Fig.2 1st，2ndnatural frequencies vs.speed of OGM/MGM/DQMat low loads

圖3 軸力較大OGM/MGM/DQM法第1、2階頻率與速度關(guān)系對比Fig.3 1st、2ndnatural frequencies vs.speed by OGM/MGM/DQMat high loads

2.2 懸臂梁

首先比較OGM法與DQM法計算前兩階頻率結(jié)果。從圖4中可看出，當(dāng)kn較大時，OGM得到的一階頻率結(jié)果誤差變大，即不考慮軸力作用，在不同速度下計算得到的梁的固有頻率偏高，而這種誤差隨著軸力的增大而增大?？紤]軸向運(yùn)動效應(yīng)時，第一階臨界載荷變小，而相應(yīng)OGM計算得到的臨界載荷偏大。OGM計算得到的二階頻率與DQM一致性很好，原因在于高階特征值隨載荷增大下降緩慢，而低階截斷模態(tài)的誤差難以影響高階模態(tài)。可見采用Galerkin截斷法求解此類問題，所取試函數(shù)低階特性對高階頻率的結(jié)果影響不明顯。

圖4 OGM/DQM法第一、二階頻率與在不同運(yùn)動速度下與載荷系數(shù)關(guān)系Fig.4 1stand 2ndnatural frequencies vs.load and speed by OGM/DQM

通過引入軸力效應(yīng)之后，結(jié)果如圖5所示。MGM得到的前兩階頻率結(jié)果與DQM的一致性都很好。對比有無軸向運(yùn)動速度的情況，軸向運(yùn)動速度越大，則梁對應(yīng)的臨界載荷越小，說明軸向壓力和運(yùn)動速度耦合作用更易引起梁的失穩(wěn)狀態(tài)。

圖6給出了kn＝0.1，0.3，0.5時三種方法計算得到的前兩階固有頻率隨軸向運(yùn)動速度變化的對比，OGM得到的臨界速度大于MGM和DQM方法，可見不考慮軸向力效應(yīng)，非對稱邊界條件的梁臨界速度偏大，而這種情況當(dāng)軸向壓力越大時越明顯?？梢娨隡GM對于非對稱邊界條件的受壓運(yùn)動梁有很好的適用性。

通過三種方法的對比，可以發(fā)現(xiàn)MGM在計算一階頻率時明顯優(yōu)于OGM。另一方面，與DQM相比，MGM能夠給出軸向載荷影響運(yùn)動系統(tǒng)低階固有頻率的根本原因，即軸向壓力作用使得一階頻率在接近臨界載荷時的急速下降，同時其它階下降緩慢，且高階頻率與試函數(shù)低階特性無關(guān)。

圖5 MGM/DQM法第一、二階頻率與在不同運(yùn)動速度下與載荷系數(shù)關(guān)系Fig.5 1st and 2nd natural frequencies vs.load and speed by MGM/DQM

圖6 OGM/MGM/DQM法第1、2階頻率與在不同運(yùn)動速度下與載荷系數(shù)關(guān)系Fig.6 1st and 2nd natural frequency vs.speed and load by OGM/MGM/DQM

3 結(jié) 論

通過在控制方程和邊界條件中考慮軸向壓力作用，分析了不同邊界條件下的軸向受壓運(yùn)動Timoshenko梁的橫向振動特性，采用基于Galerkin截斷法的改進(jìn)方法揭示了軸向壓力對運(yùn)動梁固有頻率影響的根本原因，并得到以下結(jié)論：

（1）改進(jìn)方法在處理軸向受載運(yùn)動梁問題時，在對稱和非對稱邊界條件下適用性很好，可以應(yīng)用于此類問題的動力學(xué)分析；

（2）對軸向受壓的運(yùn)動梁，對稱且無自由端的邊界條件下，當(dāng)軸向壓力接近一階臨界載荷時須考慮其對一階模態(tài)的影響；非對稱有自由端的邊界條件下，則必須考慮軸向壓力在較大范圍內(nèi)對一階模態(tài)的影響；

（3）Timoshenko梁在軸向壓力和運(yùn)動效應(yīng)耦合作用下與僅有其中一種作用相比，更易引起失穩(wěn)狀態(tài)。

［1］Swope R D，AmesWF.Vibrations of amoving threadline［J］.Journal of the Franklin Institute，1963，275（1）：36－55.

［2］Simpson A.Transversemodes and frequencies ofbeams translating between fixed end supports［J］.J.Mech Eng Sci，1973，15：159－164.

［3］Wang L，Chen H H.He X D.Modal frequency characteristics of axiallymoving beam with Supersonic/Hypersonic speed［J］.Transactions of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，2011，28（2）：163－168.

［4］?z H R，Pakdemirli M，Boyacm H.Non-Linear vibrations and stability of an axially moving beam with time-dependent velocity［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2001，36：107～115.

［5］劉寧，楊國來.移動質(zhì)量作用下軸向運(yùn)動懸臂梁振動特性分析［J］.振動與沖擊，2012，31（3）：102－105.

LIU Ning，YANGGuo-lai.Vibration property analysis of axially moving cantilever beam considering the effect of moving mass［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（3）：102－105.

［6］李彪，丁虎，陳立群.兩端受套筒約束軸向運(yùn)動梁的橫向固有頻率和模態(tài)函數(shù)［J］.振動與沖擊，2010，29（9）：55－57.

LIBiao，DING Hu.CHEN Li-qun.Natural frequencies and modal functions of transverse vibration of axially moving beam constrained by rotating sleeves with rotational springs［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29（9）：55－57.

［7］Tang You-qi，Chen Li-qun，Yang Xiao-dong.Natural frequenciesmodes and critical speeds of axially moving Timoshenko beamswith different boundary conditions［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2008，50：1448－1458.

［8］楊曉東，唐有綺，戈新生.軸向運(yùn)動Timoshenko梁固有頻率的求解方法研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2009，31（2）：208－210.

YANG Xiao-dong，TANG You-qi，GE Xin-sheng.Dynamics of transverse vibrations of axially moving beam for Timoshenko model［J］.Journal of Mechanical Strength，2009，31（2）：208－210.

［9］張計光，胡超榮，唐有綺，等.軸向運(yùn)動Timoshenko固支梁固有頻率的數(shù)值仿真［J］.上海大學(xué)學(xué)報，2011.17（5）：648－652.

ZHANG Ji-guang，HU Chao-rong，TANG You-qi，et al.Numerical simulation of natural frequencies of axially moving Timoshenko fixed beam［J］.Journal of Shanghai University（Natural Science），2011，17（5）：648－652.

［10］Bokaian A.Natural frequencies of beams under compressive axial loads［J］.Journal of Sound and Vibration，1988，126（1）：49－65.

［11］Joshi A.Transonic drag effect on vibration characteristics of single-stage space vehicles［J］.Journal of spacecraft，1996，33，（2）：308－309.

Numerical analysis of free vibration of an axially moving beam under com pressive load

CHEN Hong-yong，CHEN Hai-bo，ZHANG Pei-qiang
（CASKey Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials，Department of Modern Mechanics，University of Science and Technology of China，Hefei230026，China）

Errors become larger when using Galerkin method to calculate lower order natural frequencies of an axially moving beam with axial load.By introducing the effect of axial compressive load，the test functions weremodified and the vibration characteristics of an axially moving Timoshenko beam under clamped-clamped and clamped-free boundary conditions were investigated.Simulation results showed that the effect of axial load can not be ignored when calculating lower order natural frequencies of the axial moving beam with axial compressive load；the proposed modification approach based on Galerkinmethod improves the numerical results greatlywhen the axial compressive load is larger，and it also has a good applicability for different boundary conditions；the common action of axial compressive load and axiallymoving causes the beam state to be instablemore easily.

Galerkin method；axial compressive load；axially moving beam；vibration characteristic

O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.017

2013－10－21 修改稿收到日期：2013－12－12

陳紅永男，博士生，1986年5月生

陳海波男，博士，教授，1968年2月生